有關(guān)線性代數(shù)矩陣問題的解題技巧及在考研中的應(yīng)用畢業(yè)論文(完整版)
【正文】 稱矩陣的定義來解決。（2）當(dāng)可逆時，試證明為對稱矩陣。設(shè)2階方陣，矩陣的代數(shù)余子式。為了幫助考生加深對矩陣知識的理解，掌握有關(guān)矩陣問題的解題方法和技巧，提高應(yīng)試能力，本論文總結(jié)了有關(guān)矩陣的概念、定理，矩陣與矩陣的關(guān)系、性質(zhì)和解題的技巧方法，列舉出數(shù)學(xué)考研有關(guān)矩陣的典型例題。線數(shù)考研I第一章 前 言 1第二章 幾種矩陣的判定和應(yīng)用 1 1 1 1 2 2 3 6 6 6 6 7 7 7 8 11 11 12 12 13 13 13： 13 14 16 16 16 17 17 17第三章 矩陣與矩陣之間的關(guān)系和應(yīng)用 21 21 21 21 22 22 24 24 24 24 25 26 26 27 27結(jié)束語 29致謝 29參考文獻(xiàn) 30結(jié)束語第一章 前 言隨著改革開放和現(xiàn)代化建設(shè)事業(yè)的需要，特別是“科教興國”、“知識經(jīng)濟(jì)”等戰(zhàn)略性措施日益廣泛實(shí)施，國家機(jī)關(guān)、企事業(yè)單位以及各行各業(yè)對高素質(zhì)、高學(xué)歷人才的需求量越來越大。引導(dǎo)考生在較短時間內(nèi)掌握解有關(guān)矩陣問題的要領(lǐng)，并順利通過研究生入學(xué)考試。所以，其伴隨矩陣。解：（1）設(shè)，則。例2 已知，試求和。證:（1）顯然有（2）顯然可求得為對稱矩陣且的全部特征值為0(重〕，1(1重)。若，那么它的伴隨矩陣 (其中表示矩陣中元素的代數(shù)余子式)。例2(吉林工業(yè)大學(xué)，吉林大學(xué))設(shè),，均為階方陣，求證。設(shè)的所有互異特征值為，其重?cái)?shù)分別為，且。解：因?yàn)橛腥齻€線性無關(guān)的特征向量，是的二重特征值，所以的對應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量有兩個，故。例2 設(shè)矩陣的特征方程有一個二重根，求的值，并討論是否可相似對角化。令，即，得。例4 （天津大學(xué)）設(shè)三階實(shí)對稱矩陣（1）求一個正交矩陣及對角形矩陣，使。解：（1）因?yàn)闉檎ň仃嚕瑸閷?shí)對稱矩陣，則存在可逆矩陣，使，所以為實(shí)對稱矩陣，所以存在正交矩陣使得。例1 （南京大學(xué)）設(shè)為階實(shí)對稱矩陣，為階實(shí)反對稱矩陣，且為滿秩矩陣，試證：為正交矩陣。矛盾，即證結(jié)論。令，則為正交陣，且。第三步：構(gòu)造正交矩陣，則。若其特征值互異，則可通過解來求對應(yīng)的特征向量，然后直接將其單位化。（1）階實(shí)對稱矩陣是正定的充分必要條件是與單位矩陣合同；（2）階實(shí)對稱矩陣是正定的充分必要條件是，存在階實(shí)可逆矩陣，使得；（3）階實(shí)對稱矩陣是正定的充分必要條件是的順序主子式都為正，即；（4）階實(shí)對稱矩陣是正定的充分必要條件是的特征值全為正；（5）是正定矩陣，由的對稱正定性知，存在正交矩陣，使得，其中。由于，則齊次線性方程組只有零解，從而對于任意實(shí)維列向量有。證：（這是證明兩矩陣之差為正定矩陣，可采用定義證之）因?yàn)槭钦ň仃嚕?，且對任意維實(shí)列向量有。設(shè)是的特征值，由正定知。求證：對充分小的正數(shù)，為正定矩陣。必要性：若，則存在，令，則。又的特征值為，從而。即是正交矩陣，且。 這個結(jié)論的證明如下：因?yàn)槭钦ň仃?，?1)知存在可逆矩陣，使，又矩陣也是實(shí)對稱矩陣，故有正交矩陣，使，令，則滿足題目的結(jié)論的形式,又，因此是多項(xiàng)式的根。（法2）對采用相同的初等行、列變換化為對角矩陣（因不需求合同變換矩陣,故不必構(gòu)造矩陣進(jìn)行化簡），故的秩為3，且正慣性指數(shù)為2。解題技巧：就本題要求出使兩矩陣合同的可逆矩陣。設(shè),是數(shù)域上的階矩陣(1) 當(dāng)、都成立時，與相似（這是與相似的必要條件）；(2) 當(dāng)與均相似于同一個對角矩陣，則與相似(所給的條件僅是充分的)；(3) 對于抽象矩陣與，常用定義判斷其是否相似。證明： (1) ,彼此相似；(2)如果，則至少有兩個特征根等于0。例4 已知與相似，試求的值。如果解出的未知元素不都是單根，則需要“回代檢驗(yàn)”這個過程?？梢娕c的秩相同且初等因子相同，故它們等價。結(jié)束語高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課，它對培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力，以及后續(xù)課程的學(xué)習(xí)起著非常重要的作用，而數(shù)學(xué)碩士研究生入學(xué)考試的命題分析與命題趨勢是每位輔導(dǎo)老師和考生共同關(guān)注的問題，還有很多專家在對此進(jìn)行深入的研究，同時，考研作為一種選拔性水平考試，試題規(guī)范，規(guī)律性很強(qiáng)，不少題型反復(fù)出現(xiàn)。需要提醒讀者注意的是，有些高校的試題似乎常把第一題出得比較難，或者把最難的題目放在試卷中間位置，以考查考生的心理素質(zhì)，希望考生能夠靈活以對，不必拘泥于題目的順序。如果的所有階子式的最大公因式不等于零，則稱這個多項(xiàng)式為的階行列式因子，記為。（1）兩個矩陣,等價的充分必要條件：存在可逆的級矩陣與可逆的級矩陣，使；（2）反身性:每一個矩陣與自己等價；（3）對稱性:若與等價，則與等價；（4）傳遞性:若與等價，與等價，則與等價。因?yàn)槎疾皇菃胃?，所以需要回?
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