有關(guān)線性代數(shù)矩陣問題的解題技巧及在考研中的應(yīng)用畢業(yè)論文-全文預(yù)覽
【正文】 如果存在數(shù)域上的可逆矩陣，使，則稱與合同。實際上，對于任何正整數(shù)，都有正定矩陣，使得。證明：由是可逆矩陣，則為正定矩陣，于是有正定矩陣，使得 ， 令，顯然有。證：由于實滿秩，所以可逆，從而為正定矩陣，所以存在正交矩陣，使得 ， ①其中。證：因為是正定矩陣，所以存在正定矩陣，使。于是。充分性：已知正定，則對且有。例6 （北京大學(xué)）設(shè)為實對稱矩陣，證明：的充分必要條件是存在一實矩陣，使得正定，其中為的轉(zhuǎn)置。因為存在正交矩陣，使其中為的全部實特征值。因為實對稱矩陣的特征值為實數(shù)，所以的特征值為1或3，即的特征值全大于零，故為正定矩陣。例4 設(shè)是階實對稱矩陣，且滿足。又，從而對任意，有（注意，且當(dāng)時）又，即是實對稱矩陣，故是正定矩陣。故是正定矩陣。例2 設(shè)為階正定矩陣，為階實反對稱矩陣。于是，對任意，有，故為正定矩陣。例1 設(shè)為階實對稱且正定，為實矩陣，為的轉(zhuǎn)置矩陣，試證明：為正定矩陣的充分必要條件是的秩。對于具體給出的矩陣來說：（1）判斷是否為實對稱矩陣。因為本題所求出的特征值互異，所以其對應(yīng)特征向量必正交，從而對特征向量直接單位化即可。例2 （北京航空航天大學(xué)）已知，求滿足關(guān)系的實對稱矩陣。故正交矩陣，使得。解：（1）可求得，的特征值為。又設(shè)對應(yīng)特征值的個線性無關(guān)的特征向量為。注：若為實反對稱矩陣。也可求得正交陣使得。例3 （長春地質(zhì)學(xué)院）設(shè)有二階矩陣，試分別將它們用正交矩陣化為對角矩陣，并求正交矩陣，使。若存在階正交矩陣,使， ①式①右乘得 ，式①變形為，再左乘得 ，由于,是正交矩陣，從而是正交矩陣，此即是正交矩陣。，又由，得。如果階實矩陣滿足，則稱為正交矩陣。（2）由正定可知正定，由（1）可知，存在可逆矩陣，使得，,，由于，所以。（1）證明存在可逆矩陣使，為對角矩陣。解：（1）顯然易見，可求得的特征多項式為，于是的特征值為。單位化得。所用可逆線性變換為，即。例3 已知實對稱矩陣，求可逆矩陣,使為對角矩陣。若是特征方程的二重根，則有，解得。而對應(yīng)于特征值的特征向量為。所以，矩陣。例1 設(shè)矩陣，已知有三個線性無關(guān)的特征向量，是的二重特征值。第二步：對每一特征值，解方程組得對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量（即齊次方程組的基礎(chǔ)解系）。數(shù)域上階矩陣可對角化的判定條件：（1）充分必要條件：有個線性無關(guān)的特征向量；（2）充分必要條件：的所有重特征值對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量的個數(shù)等于其重數(shù)；（3）充分必要條件：的最小多項式?jīng)]有重根；（4）充分必要條件：的不變因子都沒有重根；（5）充分條件：有個互異的特征值；（6）充分條件：是實對稱矩陣。由上面（1）的結(jié)論有。注意到，于是有，可得。（1）；（2）若可逆，則；（3）（例2）；（4）注意到中的每個元素都是矩陣的階子式乘以某個值為或的常數(shù)，于是對于常數(shù)，有。若不可逆，那么的秩小于，不妨設(shè)，于是有可逆矩陣,，使得，取，顯然有，若存在使得，那么對于矩陣，也有，這與的唯一性相矛盾。 于是有。例3（武漢大學(xué)）設(shè)矩陣，其中是維列向量，是的轉(zhuǎn)置，又已知。又因為，其中，可求得，故由得。做本題（2）時，首先要考慮到對稱矩陣的定義：若是對稱矩陣，則。即當(dāng)時，為可逆矩陣。（1）試計算，并指出中元素滿足什么條件時，為可逆矩陣。法2：初等變換法： 矩陣的階大于或等于3的一般采用初等變換法（1）（2）（3）當(dāng)矩陣可逆時，可利用,優(yōu)點：不需求出的逆矩陣和進(jìn)行矩陣乘法，僅通過初等變換即可求出。2階方陣求逆矩陣：2階方陣的伴隨矩陣具有“主對角元互換，次對角元變號”的規(guī)律。當(dāng)矩陣可逆時，逆矩陣由惟一確定，記為。而矩陣不僅是代數(shù)學(xué)的一個主要研究對象，也是高等代數(shù)的很多分支研究問題的工具，它貫穿了整個高等代數(shù)的內(nèi)容。研究生入學(xué)考試現(xiàn)已成為國內(nèi)影響最大、參加人數(shù)最多的國家級選拔高層次人才的水平考試。同時，隨著高等教育的大眾化，本科人才越來越多，相當(dāng)一部分大學(xué)畢業(yè)生找不到理想工作，很多人希望取得更高的學(xué)歷，以增強(qiáng)自己的競爭實力，因此，近年來，“考研熱”持續(xù)升溫。高等代數(shù)是數(shù)學(xué)類專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課，也是數(shù)學(xué)系碩士研究生入學(xué)考試的一門必考科目，矩陣問題在數(shù)學(xué)系碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題中占有相當(dāng)大的比例。第二章 幾種矩陣的判定和應(yīng)用設(shè)是數(shù)域上的一個階方陣，如果存在上的階方陣，使得(為階單位矩陣)，則稱是可逆的，又稱為的逆矩陣。法1：伴隨矩陣法：。所以，注：對分塊矩陣不能按上述規(guī)律求伴隨矩陣。故。解題技巧：做本題
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1