【正文】 (λL，λK)＝λ　　mieq \o(n,\s\do4(L，K))2L＋K　　.　Leq \f(2,3)Keq \f(1,3)＝800　　L(L，K，μ)＝2L＋K＋μ(800－Leq \f(2,3)Keq \f(1,3))將拉格朗日函數(shù)分別對L、K和μ求偏導(dǎo)，得極值的一階條件　　eq \f(?L,?L)＝2－eq \f(2,3)μL－eq \f(1,3)Keq \f(1,3)＝0(1)　　eq \f(?L,?K)＝1－eq \f(1,3)μLeq \f(2,3)K－eq \f(2,3)＝0(2)　　eq \f(?L,?μ)＝800－Leq \f(2,3)Keq \f(1,3)＝0(3)由式(1)、式(2)可得　　eq \f(K,L)＝eq \f(1,1)即　　　K＝L將K＝L代入約束條件即式(3)，有　　800－Leq \f(2,3)Leq \f(1,3)＝0解得　　L＝800且有　　K＝800再將L*＝K*＝800代入目標函數(shù)即成本等式，得最小的成本　　C＝2L＋1在這種情況下，廠商只要從a點出發(fā)，沿著等產(chǎn)量曲線eq \o(Q,\s\up6(－))往下向E點靠攏，或者，從b點出發(fā)，沿著等產(chǎn)量曲線eq \o(Q,\s\up6(－))往上向E點靠攏，就都可以在既定的產(chǎn)量條件下，通過對生產(chǎn)要素投入量的調(diào)整，不斷地降低成本，最后在等產(chǎn)量曲線eq \o(Q,\s\up6(－))與等成本線A′B′的相切處E點，實現(xiàn)最小的成本。K＝3 000　　L(L，K，λ)＝Leq \f(2,3)Keq \f(1,3)＋λ(3 000－2L－K)將拉格朗日函數(shù)分別對L、K和λ求偏導(dǎo)，得極值的一階條件　　eq \f(?L,?L)＝eq \f(2,3)L－eq \f(1,3)Keq \f(1,3)－2λ＝0(1)　　eq \f(?L,?K)＝eq \f(1,3)Leq \f(2,3)K－eq \f(2,3)－λ＝0(2)　　eq \f(?L,?λ)＝3 000－2L－K＝0(3)由式(1)、式(2)可得　　eq \f(K,L)＝eq \f(1,1)即　　　K＝L將K＝L代入約束條件即式(3)，可得　　3 000－2L－L＝0解得　　L*＝1 000且有　　K*＝1 000再將L*＝K*＝1 000代入目標函數(shù)即生產(chǎn)函數(shù)，得最大產(chǎn)量　　Q*＝(L*)eq \f(2,3)(K*)eq \f(1,3)＝1 000eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)＝1 000在此略去關(guān)于極大值的二階條件的討論。以上的推導(dǎo)過程表明該生產(chǎn)函數(shù)在短期生產(chǎn)中受邊際報酬遞減規(guī)律的支配。(2)(a)關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)Q＝5Leq \f(1,3)Keq \f(2,3)。圖4—2當(dāng)產(chǎn)量Q＝50時，有5L＝2K＝50，即L＝10，K＝25。由此可得，生產(chǎn)要素L投入量的合理區(qū)間為[4,7]。很顯然，規(guī)模報酬分析可視為長期生產(chǎn)的分析視角。因此，在圖4—1中，在L＝L2時，APL曲線與MPL曲線相交于APL曲線的最高點C′，而且與C′點相對應(yīng)的是TPL曲線上的切點C。第四章 生產(chǎn)論1. 下面(表4—1)是一張一種可變生產(chǎn)要素的短期生產(chǎn)函數(shù)的產(chǎn)量表：表4—1可變要素的數(shù)量可變要素的總產(chǎn)量可變要素的平均產(chǎn)量可變要素的邊際產(chǎn)量122103244125606677080963(1)在表中填空。3. 已知生產(chǎn)函數(shù)Q＝f(L， K)＝2KL－－， 假定廠商目前處于短期生產(chǎn)，且K＝10。5. 已知生產(chǎn)函數(shù)為Q＝min{2L， 3K}。因此，企業(yè)對生產(chǎn)要素L的使用量為6是處于短期生產(chǎn)的合理區(qū)間的。相應(yīng)的Q＝50的等產(chǎn)量曲線如圖4—2所示。當(dāng)PL＝1，PK＝1，Q＝1 000時，由其擴展線方程K＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2PL,PK)))L得　　K＝2L代入生產(chǎn)函數(shù)Q＝5Leq \f(1,3)Keq \f(2,3)得　　5Leq \f(1,3)(2L)eq \f(2,3)＝1 000于是，有L＝eq \f(200,\r(3,4))，K＝eq \f(400,\r(3,4))。12. 令生產(chǎn)函數(shù)f(L，K)＝α0＋α1(LK)eq \f(1,2)＋α2K＋α3L，其中0≤αi≤1，i＝0,1,2,3。(2)根據(jù)廠商實現(xiàn)給定產(chǎn)量條件下成本最小化的均衡條件　　eq \f(MPL,MPK)＝eq \f(w,r)其中　　MPL＝eq \f(dQ,dL)＝eq \f(2,3)L－eq \f(1,3)Keq \f(1,3)　　MPK＝eq \f(dQ,dK)＝eq \f(1,3)Leq \f(2,3)K－eq \f(2,3)　　w＝2　r＝1于是有　eq \f(2,3)L－eq \f(1,3)K