【正文】 1）知 ①當 ? ?1,0)(,20 在時 xfa ?? 上是增函數(shù) 1)12()1()]([ m a x ?????? afxf ?????? 10 分 ②當 ? ?1,011,0)(,2 2 ?????? axxfa 令時 8261520 0)(1110)(11022???????????xfxaxfax時時 1)11()]([ 22m a x ?????? aaafxf ???? 13 分 1)12()]([,20 m a x ?????? axfa 時當 當 1)]([,2 2m a x ???? aaxfa 時 ????? 14 分 (福建省福州三中高三年級第二次月考 )某商場從 生產(chǎn)廠家以每件 20 元購進一批商品，若該商品零售價為 p 元，則銷量 Q（單位：件）與零售價 p（單位：元）有如下關(guān)系：Q=8300－ 170p－ p2，問該商品售價定為多少時利潤最大，并求出利潤的最大值。 11 、 (廈門市第二外國語學校 2020— 2020 學年高三數(shù)學第四次月考 ) 設(shè)函數(shù)2 1 3 2() xf x x e a x b x?? ? ?，已知 2x?? 和 1x? 為 ()fx的極值點． （ Ⅰ ）求 a 和 b 的值； （ Ⅱ ）討論 ()fx的單調(diào)性； 解：（ Ⅰ ）因為 1 2 2( ) e ( 2 ) 3 2xf x x x ax bx?? ? ? ? ?1e ( 2) ( 3 2 )xx x x ax b?? ? ? ?， 又 2x?? 和 1x? 為 ()fx的極值點，所以 ( 2) (1) 0ff??? ? ?， 因此 6 2 03 3 2 0abab? ? ??? ? ? ?? ， ，解方程組得 13a?? ， 1b?? ． （ Ⅱ ）因為 13a?? ， 1b?? ，所以 1( ) ( 2 ) ( e 1)xf x x x ?? ? ? ?， 令 ( ) 0fx? ? ，解得 1 2x?? ， 2 0x? ， 3 1x? ． 因為當 ( 2)x? ?? ?， (01)， 時， ( ) 0fx? ? ； 當 ( 2 0) (1 )x ? ? ? ?， ， 時， ( ) 0fx? ? ． 所以 ()fx在 ( 20)?， 和 (1 )??， 上是單調(diào)遞增的；在 ( 2)???， 和 (01)， 上是單調(diào)遞減的． 1 (重慶市大足中學 2020 年高考數(shù)學模擬試題 )已知函數(shù) )(xf 是偶函數(shù)，當 ?? 0,4??x時 . axxxxf ??? 2331)(（ a 為實數(shù)） . （ 1）若 )(xf 在 2??x 處有極值，求 a 的值。經(jīng)測算，如果將樓房建為 x（ x? 10）層，則每平方米的 平均建筑費用為 560+48x（單位：元）。 (Ⅱ ) 點 P (x0, y0 ) (0 x0 1 )在曲線 y＝ f(x)上 ,求曲線在點 P 處的切線與 x軸和 y軸的正向所圍成的三角形面積表達式 (用 x0表達 ). 證明：（ I） ????????????????),1(,11]1,0(,11|11|)(xxxxxxf? 故 f(x)在（ 0， 1]上是減函數(shù)，而在（ 1， +∞）上是增函數(shù)，由 0ab 且 f(a)=f(b)得 0a1b和 abbaabbaba 22211,1111 ????????? 即 故 1,1 ?? abab 即 （ II） 0x1 時， 10,1)(,11|11|)(020039。 （ 1）求數(shù)列 ??na 的通項公式。 （ I）求函數(shù) )(xf 的最小值； （ Ⅱ ） 已知 210 xx ?? ，求證：11ln1 1212 ????? xxe xx。 23 ???????????? ttttttth ∵ 240 ??? tt 且 ， 0)(39。 解：（ I）由函數(shù) ? ?2,1,]1,0[14)( 234 在區(qū)間單調(diào)遞增在區(qū)間???? axxxxf 單調(diào)遞減。)( txtftfy ??? ∴ )4(3123)( 239。???????? 12 分 2 (福建省莆田第四中學 2020 屆第二次月考 )已知函數(shù) ||121)( xexxf ??(其中 e 為自然對數(shù)的底數(shù) ) （Ⅰ）判斷 )(xf 的奇偶性； （Ⅱ）在 )0,(?? 上求函數(shù) )(xf 的極值； 解： （Ⅰ） )(1)( 1)( ||12||12 xfexexxf xx ????????()fx? 是偶函數(shù)。而 是 的 一 個 減 區(qū) 間分分 1 (重慶市大足中學 2020年高考數(shù)學模擬試題 )已知函數(shù) xbxaxxf 3)( 22 ??? 在 1??x處取得極值。 （ 1）求 f (x)的表達式； （ 2）試在函數(shù) f (x)的圖象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在區(qū)間 [－ 1， 1]上； （ 3）求證： |f (sin x)－ f (cos x) | ≤ 2 23 (x∈ R)． 解： ∵ f? (x)＝ 4a0x3＋ 3a1x2＋ 2a2x+a3為偶函數(shù)， ∴ f ?(?x) = f ?(x), ∴ ?4a0x3 +3a1x2 ?2a2x + a3 = 4a0x3+3a1x2 +2a2x + a3, ∴ 4a0x3 + 2a2x =0 對一切 x ? R 恒成立 ， ∴ a0＝ a2＝ 0， ∴ f (x)＝ a1x3＋ a3x 又當 x＝－ 22 時， f (x)取得極大值 23 ∴???f(－ 22 )＝ 23 ，f ? (－ 22 )＝ 0， 解得?????a1＝ 23，a3＝－ 1，∴ f (x)＝ 23x3－ x， f? (x)＝ 2x2－ 1 4 分 ⑵ 解：設(shè)所求兩點的橫坐標為 x x2 (x1 x2)，則 (2x12－ 1)(2x22－ 1)＝－ 1 又 ∵ x1， x2∈ [－ 1， 1]， ∴ 2x12－ 1∈ [－ 1， 1]， 2x22－ 1∈ [－ 1， 1] ∴ 2x12－ 1， 2x22－ 1 中有一個為 1，一個為－ 1， ∴ ??? x1=0 x2=1 或 ??? x1 = ?1 x2=0 ， ∴ 所求的兩點為 (0， 0)與 (1，－ 13)或 (0， 0)與 (－ 1， 13)。 ⑶ 證明：易知 sin x∈ [－ 1， 1]， cos x∈ [－ 1， 1]。 (1)求 )(xf 的極值。 (Ⅱ )當 0?x 時， xexxf121)( ? )12(1)1(12)( 1421213 ???????? xexxexexxf xxx 令 0)( ?? xf 有 ??x ， 當 x變化時 )(),( xfxf? 的變化情況如下表 : 由表可知： x )21,(?? 21? （ )0,21? )(xf? + 0 － )(xf 增 極大值 減 當 x＝－ 12時 f(x)取極大值 24?e . 2 (福建省莆田第一中學 2020～ 2020 學年度上學期第一學段段考 )已知函數(shù)? ? 2472xfx x?? ? ， ? ?01x? ， （Ⅰ）求 ??fx的單調(diào)區(qū)間和值域； （Ⅱ）設(shè) 1a? ，函數(shù) ? ? ? ?223 2 0 1g x x a x a x? ? ? ?， ，若對 于任意 ? ?1 01x? ， ， 總存在 ? ?0 01x ? ， ，使得 ? ? ? ?01g x f x? 成立，求 a 的取值范圍 解： 對函數(shù) ??fx求導，得 ? ?? ?2 24 1 6 72xxfx x? ? ?? ? ? ? ?? ?? ?22 1 2 72xxx???? ? 令 ? ? 0fx? ? 解得 1 12x?或2 72x? 2 分 當 x 變化時， ??fx， 、 ??fx的變化情況如下表： x 0 102??????， 12 112??????， 1 ??fx， ? 0 ? ??fx 72? ↘ 4? ↗ 3? 4 分 所以，當 102x ???????，時， ??fx是減函數(shù)；當 112x ???????，時， ??fx是增函數(shù)； 當 ? ?01x? ， 時， ??fx的值域為 ? ?43??， 。 ????? ttttTfK AB ，聯(lián)立方程組 ??? ? ??? )( ))((39。 知 0)1(,1 ???? fx 取得極大值時 ???? 2 分 axxxxf 2124)( 3 ????? ???? 3 分 402124 ?????? aa ???? 4 分 （ II）函數(shù) )(1)( 2 xfbxxg 的圖象與函數(shù)?? 的圖象恰好有 3 個交點，等價于方程 .31144 2234 個不等實根恰有????? bxxxx ???? 6 分 0)4(41。)()( txtftfxf ??? 即 ))(123( 22323 txttbttbxx ?????? ∵ 不重合BA, ， ∴ tx? ∴ btx ??? 2 又另一交點為 ))(,( mfmB ∴ btm ??? 2 ∴ )4()2(227)4(3)2(29|)()(|||21)( 22 tttttttfmftmtS ?????????? 其中 )4,2()2,0( ??t ，令 tttttttth 16208)4()2()( 2342 ???????? ，則 )22)(22)(2(4)4106(4)(39。 12 分 2 (福建省莆田第一中學 2020～ 2020 學年度上學期第一學段段考 )已知函數(shù))1ln ()( ??? xexf x 。（ 7 分） ? ?231 ( ) 3 2 3 13 2 3 03 2 3 01 , 0( ) 3 3( 1 ) 2( 1 ) 2 52 ( ) 1 ( 1 ) 2. ( 1 ) 2( ) 2 , 2 8f x ax bxa b a babf x x xfff x x f ffx? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?????? ? ? ? ? ???解 ： （ ） 分分極 大 值極 小 值 分（ ） 只 在 取 得 極 值 ， 且在 上 一 定 有 最 大 值 分 分時或當又 122)(.21 2)2(,2)2( m a x ??????? ???? xfx ff 14 、 ( 重慶市大足中學 2020 年高考數(shù)學模擬試 題 ) 已知數(shù)列 ? ? ? ?nn ba 和 中， .),0( 221 tatta ??? 當 tx? 時，函數(shù) )2(,)()(31)( 131 ????? ?? nxaaxaaxf nnnn 取得極值。 ∴ f (x)在 [0， 22 ]為減函數(shù)，在 [ 22 ， 1]上為增函數(shù)， 又 f (0)＝ 0， f ( 22 )＝－ 23 ， f (1)＝－ 13，而 f (x)在 [－ 1， 1]上為奇函數(shù)， ∴ f (x)在 [－ 1， 1]上最大值為 23 ，最小值為－ 23 ，即 | f (x) | ≤ 2 3 , ∴ | f (sin x) | ≤ 2 3 ， | f (cos x)| ≤ 2 3 ， ∴ | f (sin x)－ f (cos x)| ≤ | f (sin x)|＋ | f (cos x) | ≤ 2 23 4 、 ( 遼寧省大連市第二十四中學 2020 屆 高 三 高 考 模 擬 ) 已知),1(,1)1l n ()()(,)()( 2 ????????? ? xxexfxgeaaxxxf xx （ 1）當 a=1時，試求函數(shù) )(xg 的單調(diào)區(qū)間，并證明此時方程 )(xg =0 只有一個實數(shù)根，并求出此實數(shù)根； （ 2）證明： ).,2(,2 1ln1131211 *Nnnnn ????????? ? 解：（ 1）當 a=1 時， ),1(),1l n ()( 2 ?????? xxxxxg 則 0,10)(,1 )32(1112)( ?????? ??????? xxxgx xxxxxg 得及令，所以單調(diào)增區(qū)間為（ 0， +∞），令 0110)( ??????? xxxg 得及 ，所以單調(diào)減區(qū)間為（－ 1， 0） .2分 又 .00)(,),0[)(,0)0( ?????? xxgxgg 只有一個實根上單調(diào)遞增在且? …4 分 （ 2） ].)2([)()2()( 22 xaxeeaaxxeaxxf xxx ?????????? ??? 令 axxxf ????? 20,0)( 或解得 （ i）當 2－ a=0 即 a=2 時， 0)( ?? xf 無極值，舍去 . （ ii）當 2－ a0 即 a2 時， )(),( xfxf? 的變化情況如 下表（一）： x （－ ∞， 0） 0 （ 0