【正文】 g x f x a? ? ?． （Ⅰ） 若函數(shù) )(xg 在 1?x 處有極值，求 )(xg 的解析式； （Ⅱ） 若函數(shù) )(xg 在區(qū)間 ]1,1[? 上為增函數(shù)，且 )(42 xgmbb ??? 在區(qū)間 ]1,1[? 上都成立，求實數(shù) m 的取值范圍． 。( ) 0fx? 因此 ()fx在 0 1x? 處取得極小值 4? ∴ 4abc? ? ?? ① ， 39。 ?xf 得到兩個根； 第二步：畫兩圖或列表； 第三步：由圖表可知； 其中 不等式恒成立問題的實質(zhì)是函數(shù)的最值問題， 常見處理方法有三種： 第一種：分離變量求最值 用分離變量時要特別注意是否需分類討論（ 0,=0,0） 第二種：變更主元 （即關(guān)于某字母的一次函數(shù)） （ 已知誰的范圍就把誰作為主元 ）； 例 1：設(shè)函數(shù) ()y f x? 在區(qū)間 D 上的導(dǎo)數(shù)為 ()fx? ， ()fx? 在區(qū)間 D 上的導(dǎo)數(shù)為 ()gx，若在區(qū)間 D上， ( ) 0gx? 恒成立，則稱函數(shù) ()y f x? 在區(qū)間 D 上為“凸函數(shù)”，已知實數(shù) m 是常數(shù)，4 3 23() 1 2 6 2x m x xfx ? ? ? （ 1）若 ()y f x? 在區(qū)間 ? ?0,3 上為“凸函數(shù)”，求 m 的取值 范圍； （ 2） 若對滿足 2m? 的任何一個實數(shù) m ， 函數(shù) ()fx在區(qū)間 ? ?,ab 上都為 “ 凸函數(shù) ”，求 ba? 的最大值 . 解 :由函數(shù) 4 3 23() 1 2 6 2x m x xfx ? ? ? 得 32( ) 332x m xf x x? ? ? ? 2( ) 3g x x m x? ? ? ? （ 1） ()y f x? 在區(qū)間 ? ?0,3 上為“凸函數(shù)”， 則 2( ) 3 0g x x m x? ? ? ? ? 在區(qū)間 [0,3]上恒成立 解法一：從 二次函數(shù)的區(qū)間最值 入手：等價于 max( ) 0gx? ( 0 ) 0 3 0 2( 3 ) 0 9 3 3 0g mgm? ? ???? ? ???? ? ? ??? 解法二： 分離變量法： ∵ 當(dāng) 0x? 時 , 2( ) 3 3 0g x x m x? ? ? ? ? ? ?恒成立 , 當(dāng) 03x??時 , 2( ) 3 0g x x m x? ? ? ?恒成立 等價于 2 33xmxxx?? ? ?的最大值（ 03x??）恒成立， 而 3()h x x x?? （ 03x??）是 增函數(shù) ，則 max ( ) (3) 2h x h?? 2m?? (2)∵當(dāng) 2m? 時 ()fx在區(qū)間 ? ?,ab 上都為 “ 凸函數(shù) ” 則 等價于當(dāng) 2m? 時 2( ) 3 0g x x m x? ? ? ? 恒成立 變更主元法 再等價于 2( ) 3 0F m m x x? ? ? ?在 2m? 恒成立 （視為關(guān)于 m 的一次函數(shù)最值問題） 22( 2 ) 0 2 3 0 11( 2 ) 0 2 3 0F x x xF xx?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ? 2ba? ? ? 2 2 例 2：設(shè)函數(shù) ),10(3231)( 223 Rbabxaaxxxf ???????? （Ⅰ）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間和極值； （Ⅱ）若對任意的 ],2,1[ ??? aax 不等式 ()f x a? ? 恒成立，求 a 的取值范圍 . （二次函數(shù)區(qū)間最值的例子） 解：（Ⅰ） ? ? ? ?22( ) 4 3 3f x x a x a x a x a? ? ? ? ? ? ? ? ? 01a?? 令 ,0)( ?? xf 得 )(xf 的單調(diào)遞增區(qū)間為（ a,3a） 令 ,0)( ?? xf 得 )(xf 的單調(diào)遞減區(qū)間 為（－ ? ， a）和（ 3a， +? ） ∴當(dāng) x=a 時， )(xf 極小值 = 。 2211( 1 ) 4 ( 1 ) 04211( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 022bbbb? ? ? ? ? ? ? ???? ?? ? ? ? ? ? ???( , 1 ) ( 1 , 3 ) ( 3 , )b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 題 2：切線的條數(shù)問題 ====以切點 0x 為未知數(shù)的方程的根的個數(shù) 例 已知函數(shù) 32()f x a x b x cx? ? ?在點 0x 處取得極小值－ 4， 使其導(dǎo)數(shù) 39。()fx=0,得 ? ?12 40 , 2 ,13xx? ? ? ? 因為 0?a ，所以可得下表： x ? ?2,0? 0 ? ?0,1 39。 ???? axxxaxxf 當(dāng) 0?a 時，令 0)(39。 1 2 1 20 , ( ) 0 , 1 , 1 , ,a f x x x a x x?? ? ? ? ? ? ?當(dāng) 時 由 得 且 單調(diào)增區(qū)間： ( , 1), ( 1, )a?? ? ? ?? 單調(diào)增區(qū)間： ( 1, 1)a?? a1 1 ()fx? （ II）當(dāng) ( ) [ 0 ,1 ] ,fx 在 上 單 調(diào) 遞 增 則 ? ?0,1 是上述增區(qū)間的子集： 0a? 時， ( ) ( , )fx ?? ??在 單調(diào)遞增 符合題意 ? ? ? ?0,1 1,a? ? ??， 10a? ? ? 1a?? 綜上， a 的取值范圍是 [0， 1]。39。 需： ( 1) 0(2) 0gg ???? ?? 2 3 1 2 9 01 6 1 2 2 4 9 0mm? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? 1611mm???? ??? 故： 11 16m? ? ? ； 因此所求實數(shù) m 的范圍為： ( 11,16)? 題 3：已知 ()fx在給定區(qū)間上的極值點個數(shù) 則有 導(dǎo)函數(shù) =0 的根的個數(shù) 解法：根分布或判別式法 例 解：函數(shù)的定義 域為 R （ Ⅰ ） 當(dāng) m＝ 4 時， f (x)＝ 13x3－ 72x2＋ 10x， ()fx? ＝ x2－ 7x＋ 10，令 ( ) 0fx? ? ， 解得 5,x? 或 2x? . 令 ( ) 0fx? ? ， 解得 25x?? 可知函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ( ,2)?? 和（ 5，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為 ? ?2,5 ． （ Ⅱ ） ()fx? ＝ x2－ (m＋ 3)x＋ m＋ 6, 要使 函數(shù) y＝ f (x)在（ 1，＋∞）有兩個極值點 , ()fx??