【正文】 問題之間有一定的差別，這種誤差稱為“模型誤差”。 使用計算機解決科學(xué)計算問題時大致經(jīng)歷如下幾個過程： 5 隨著科學(xué)技術(shù)的突飛猛進，無論是工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)還是國防尖端技術(shù)，例如機電產(chǎn)品設(shè)計、工程項目設(shè)計、氣象預(yù)報、武器研制、火箭發(fā)射等 ，都有大量復(fù)雜的數(shù)值計算問題急待解決。 3 絕對誤差和相對誤差 167。 ??? ??14 1 2 3 4 序 號 算 式 計 算 結(jié) 果 5/72 ? 12/172 ?表 11 1 6???????0 0 5 0 7 9 71 ?1 6 6 6 6 ??? ?6???????6???????15 ? 由 表 11可見，按不同算式和近似值計算出的結(jié)果各不相同，有的甚至出現(xiàn)了負值，這真是差之毫厘，謬以千里。 22 數(shù)學(xué)模型一旦建立，進入具體計算時所要考慮和分析的就是截斷誤差 和舍入誤差了。這說明要評價一個近似值的精確度，除了要看其絕對誤差的大小外，還必須考慮該量本身的大小，這就需要引進相對誤差的概念。 33 167。有效數(shù)字的位數(shù)越多 ,其絕對誤差限也就越小。因此，有另一種情況，例如 x = ， x* = ，這時 x* 的誤差為 ，其絕對值超過 （第三位小數(shù)的半個單位），但卻沒有超過 （第二位小數(shù)的半個單位），即 * ??? xx顯然， 雖然有三位小數(shù)但卻只精確到第二位小數(shù)，因此，它只具有二位有效數(shù)字。 ? *x30 在實際計算中，由于真值 總是無法知道的，因此往往取 ** )()(xxxr?? ?x() 作為相對誤差的另一定義。 顯然 ， 這個近似值的絕對誤差限就是半個毫米 ， 則有 *x)(21)( * 毫米??? lll?ll 1 3 ??ll l* l*如果讀出的長度是 513 毫米，則有 26 這樣，雖仍不知準確長度 是多少，但由 （ ） 式可得到不等式 ≤l≤ (毫米 ) 這說明 必在 [,]毫米區(qū)間內(nèi)。這就是由于截斷了無窮級數(shù)自第四項起。 10 算法取得不恰當(dāng)，不僅影響到計算的速度和效率，由于數(shù)值計算的近似性和誤差的傳播、積累，直接影響到計算結(jié)果的精度，甚至關(guān)系到計算的成敗。高等教育出版社 ? 《 計算方法簡明教程 》 王能超 高等教育出版社 ? 徐長發(fā) 實用計算方法 華中科技大學(xué)出版社。 8 選擇適合的算法是整個數(shù)值計算中非常重要的一環(huán)。這樣就要對某種無窮過程進行“ 截斷 ” ，即僅保留無窮過程的前段有限序列而舍棄它的后段。 越小， ??*x??*x x ?25 表示該近似值 的精度越高。 相對誤差是個無名數(shù)，它沒有量綱。例如， 是 的具有五位有效數(shù)字的近似值，精確到 . *xnm?10 n??? , 21 ? *x*x*x?36 如， 203 和 都是具有三位有效數(shù)字的有效數(shù)。 上述關(guān)系的逆也是成立的，即當(dāng)用 () 表示的近似值 x*，如果其相對誤差 能滿足 )(* xr?11* 10)1(21)( ????? nr x??() 40 即 x* 至少具有 n位有效數(shù)字 。這種近似值取法的特點是誤差限為其末位的半個單位，即