【正文】 問(wèn)題之間有一定的差別，這種誤差稱(chēng)為“模型誤差”。 使用計(jì)算機(jī)解決科學(xué)計(jì)算問(wèn)題時(shí)大致經(jīng)歷如下幾個(gè)過(guò)程： 5 隨著科學(xué)技術(shù)的突飛猛進(jìn)，無(wú)論是工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)還是國(guó)防尖端技術(shù)，例如機(jī)電產(chǎn)品設(shè)計(jì)、工程項(xiàng)目設(shè)計(jì)、氣象預(yù)報(bào)、武器研制、火箭發(fā)射等 ，都有大量復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題急待解決。 3 絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差 167。 ??? ??14 1 2 3 4 序 號(hào) 算 式 計(jì) 算 結(jié) 果 5/72 ? 12/172 ?表 11 1 6???????0 0 5 0 7 9 71 ?1 6 6 6 6 ??? ?6???????6???????15 ? 由 表 11可見(jiàn)，按不同算式和近似值計(jì)算出的結(jié)果各不相同，有的甚至出現(xiàn)了負(fù)值，這真是差之毫厘，謬以千里。 22 數(shù)學(xué)模型一旦建立，進(jìn)入具體計(jì)算時(shí)所要考慮和分析的就是截?cái)嗾`差 和舍入誤差了。這說(shuō)明要評(píng)價(jià)一個(gè)近似值的精確度，除了要看其絕對(duì)誤差的大小外，還必須考慮該量本身的大小，這就需要引進(jìn)相對(duì)誤差的概念。 33 167。有效數(shù)字的位數(shù)越多 ,其絕對(duì)誤差限也就越小。因此，有另一種情況，例如 x = ， x* = ，這時(shí) x* 的誤差為 ，其絕對(duì)值超過(guò) （第三位小數(shù)的半個(gè)單位），但卻沒(méi)有超過(guò) （第二位小數(shù)的半個(gè)單位），即 * ??? xx顯然， 雖然有三位小數(shù)但卻只精確到第二位小數(shù)，因此，它只具有二位有效數(shù)字。 ? *x30 在實(shí)際計(jì)算中，由于真值 總是無(wú)法知道的，因此往往取 ** )()(xxxr?? ?x() 作為相對(duì)誤差的另一定義。 顯然 ， 這個(gè)近似值的絕對(duì)誤差限就是半個(gè)毫米 ， 則有 *x)(21)( * 毫米??? lll?ll 1 3 ??ll l* l*如果讀出的長(zhǎng)度是 513 毫米，則有 26 這樣，雖仍不知準(zhǔn)確長(zhǎng)度 是多少，但由 （ ） 式可得到不等式 ≤l≤ (毫米 ) 這說(shuō)明 必在 [,]毫米區(qū)間內(nèi)。這就是由于截?cái)嗔藷o(wú)窮級(jí)數(shù)自第四項(xiàng)起。 10 算法取得不恰當(dāng)，不僅影響到計(jì)算的速度和效率，由于數(shù)值計(jì)算的近似性和誤差的傳播、積累，直接影響到計(jì)算結(jié)果的精度，甚至關(guān)系到計(jì)算的成敗。高等教育出版社 ? 《 計(jì)算方法簡(jiǎn)明教程 》 王能超 高等教育出版社 ? 徐長(zhǎng)發(fā) 實(shí)用計(jì)算方法 華中科技大學(xué)出版社。 8 選擇適合的算法是整個(gè)數(shù)值計(jì)算中非常重要的一環(huán)。這樣就要對(duì)某種無(wú)窮過(guò)程進(jìn)行“ 截?cái)?” ，即僅保留無(wú)窮過(guò)程的前段有限序列而舍棄它的后段。 越小， ??*x??*x x ?25 表示該近似值 的精度越高。 相對(duì)誤差是個(gè)無(wú)名數(shù)，它沒(méi)有量綱。例如， 是 的具有五位有效數(shù)字的近似值，精確到 . *xnm?10 n??? , 21 ? *x*x*x?36 如， 203 和 都是具有三位有效數(shù)字的有效數(shù)。 上述關(guān)系的逆也是成立的，即當(dāng)用 () 表示的近似值 x*，如果其相對(duì)誤差 能滿足 )(* xr?11* 10)1(21)( ????? nr x??() 40 即 x* 至少具有 n位有效數(shù)字 。這種近似值取法的特點(diǎn)是誤差限為其末位的半個(gè)單位，即