【正文】 確定一個單值可導(dǎo)、且 0?x 時 1?y的隱函數(shù) )( xfy ? ，并求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo) 數(shù)在 0?x 的值 . 解 令 1),( 22 ??? yxyxF則 ,2 xF x ? ,2 yF y ?,0)1,0( ?F ,02)1,0( ??yF依定理知方程 0122 ??? yx 在點 )1,0( 的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個單值可導(dǎo)、且 0?x 時 1?y 的函數(shù) )( xfy ? ．函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)為ddxyFyxF?? ,yx??0d 0,d xyx ? ?222ddy y xyxy????2yyxxy ?????????? ,13y??220d 1.d xyx ???例 2 已知 xyyx ar c t anln 22 ??，求 dd yx . 解 令 則 ,ar c t anln),( 22 xyyxyxF ???,),( 22 yx yxyxF x ??? ,),( 22 yx xyyxF y ???ddxyFyxF?? .xyyx????隱函數(shù)存在定理 2 設(shè)函數(shù) ),( zyxF 在點 ,(0xP),00zy 的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且 ,(0xF0),00?zy ， 0),(000?zyxFz，則方程 ,( yxF0) ?z 在點 ),(000zyxP 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)),( yxfz ? ，它滿足條件 ),(000yxfz ? ，并有 zxFFxz????， zyFFyz????.0),(.2 ?zyxF例 3 設(shè) 04222 ???? zzyx ，求 22xz?? .解 令 則 ,4),( 222 zzyxzyxF ????,2 xF x ? ,42 ?? zF z ,2 zxFFxzzx??????22xz??2)2()2(zxzxz?????? 2)2(2)2(zzxxz??????.)2( )2( 322zxz????例 4 設(shè) ),( x yzzyxfz ??? ，求 xz?? ， yx?? ， zy?? .思路： 把 z 看成 yx , 的函數(shù)對 x 求偏導(dǎo)數(shù)得xz??，把 x 看成 yz , 的函數(shù)對 y 求偏導(dǎo)數(shù)得yx??，把 y 看成 zx , 的函數(shù)對 z 求偏導(dǎo)數(shù)得 zy?? .解 令 ,zyxu ??? ,xy zv ?則 ),( vufz ?把 z 看成 yx , 的函數(shù)對 x 求偏導(dǎo)數(shù)得xz?? )1(xzfu ????? ),(xzxyyzfv ?????整理得 xz?? ,1vuvux y ffyzff????把 x 看成 yz , 的函數(shù)對 y 求偏導(dǎo)數(shù)得)1(0 ????? yxf u ),( yxyzxzf v ?????整理得 ,vuvuy z ffx z ff????yx??把 y 看成 zx , 的函數(shù)對 z 求偏導(dǎo)數(shù)得)1(1 ????? zyf u ),( zyxzxyf v ?????整理得 zy?? .1vuvux z ffx y ff?????????0),(0),(vuyxGvuyxF二、方程組的情形 隱函數(shù)存在定理 3 設(shè) ),( vuyxF 、 ),( vuyxG 在點 ),(0000vuyxP 的某一鄰域內(nèi)有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 0),(0000?vuyxF , ),(0000vuyxG0? ，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式 （或稱雅可比式） vGuGvFuFvuGFJ????????????),(),(在點 ),(0000vuyxP 不等于零，則方程組