【正文】 ＝ GMm2r 越小，引力勢能越大，總機(jī)械能越大． 2．若假設(shè)距某星球 無窮遠(yuǎn)的引力勢能為零，則距它 r處衛(wèi)星的引力勢能 Ep＝－ GMmr (不需推導(dǎo)和記憶 )．在星球表面處發(fā)射物體能逃逸的初動能為 Ek≥ |Ep|＝ GMmR ． ●例 4 2021 年 12 月，天文學(xué)家們通過觀測的數(shù)據(jù)確認(rèn)了銀河系中央的黑洞 “ 人馬座A*” 的質(zhì)量與太陽質(zhì)量的倍數(shù)關(guān)系．研究發(fā)現(xiàn)，有一星體 S2繞人馬座 A*做橢圓運(yùn)動，其軌道半長軸為 102 天文單位 (地球公轉(zhuǎn)軌道的半徑為一個天文單位 )，人馬座 A*就處在該橢圓的一個焦點上．觀測得到 S2 星的運(yùn)動周期為 年． (1)若將 S2 星的運(yùn)行軌道視為半徑 r＝ 102 天文單位的圓軌道，試估算人馬座 A*的質(zhì)量 MA 是太陽質(zhì)量 MS的多少倍． (結(jié)果保留一位有效數(shù)字 ) (2)黑洞的第二宇宙速度極大，處于黑洞表面的粒子即使以光速運(yùn)動，其具有的動能也不足以克服黑洞對它的引力束縛．由于引力的作用，黑洞表面處質(zhì)量為 m 的粒子具有的勢能為 Ep＝－ GMmR (設(shè)粒子在離黑洞無限遠(yuǎn)處的勢能為零 )，式中 M、 R 分別表示黑洞的質(zhì)量和半徑．已知引力常量 G＝ 10－ 11 N四川理綜卷 ]( ) A． 小時 B． 小時 C． 小時 D． 24 小時 【解析】 由開普勒行星運(yùn)動定律可知， R3T2＝恒量，所以(r＋ h1)3t12 ＝(r＋ h2)3t22 ，其中 r 為地球的半徑， h1， t1， h2， t2 分別表示望遠(yuǎn)鏡到地表的距離、望遠(yuǎn)鏡的周期、同步衛(wèi)星距地表的距離、同步衛(wèi)星的周期 (24 h)，代入解得： t1＝ h． [答案 ] B 【點評】 高考對星體航天問題的考查以圓周運(yùn)動的動力學(xué)方程為主，具體常涉及求密度值、同步衛(wèi)星的參量、變軌的能量變化等．在具體解題時要注意運(yùn)用好幾個常用的代換． 4． 我國發(fā)射的嫦娥一號探月衛(wèi)星沿近似于圓形的軌道繞月飛行．為了獲得 月球表面全貌的信息，讓衛(wèi)星軌道平面緩慢變化，衛(wèi)星將獲得的信息持續(xù)用微波信號發(fā)回地球．設(shè)地球和月球的質(zhì)量分別為 M和 m，地球和月球的半徑分別為 R 和 R1，月球繞地球的軌道半徑和衛(wèi)星繞月球的軌道半徑分別為 r 和 r1，月球繞地球轉(zhuǎn)動的周期為 T．假定在衛(wèi)星繞月運(yùn)行的一個周期內(nèi)衛(wèi)星軌道平面與地月連心線共面，求在該周期內(nèi)衛(wèi)星發(fā)射的微波信號因月球遮擋而不能到達(dá)地球的時間． (用 M、 m、 R、 R r、 r1 和 T表示，忽略月球繞地球轉(zhuǎn)動對遮擋時間的影響 )． [2021 年高考 2 R＋ 12m( gR)2 得 ha≥ 52R．故選項 C 錯誤、 D 正確． [答案 ] D 【點評】 除了天體問題和帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動外，豎直方向的圓周運(yùn)動問題是較常出現(xiàn)的題型．本例題較典型地包含這類問題中的動力學(xué)關(guān)系和動能關(guān)系． 二、天體質(zhì)量、密度及表面重力加速度的計算 1．星體表面的重力加速度： g＝ GMR2 2．天體質(zhì)量常用的計算公式： M＝ rv2G ＝4π2r3GT2 ●例 2 假設(shè)某個國家發(fā)射了一顆繞火星做圓周運(yùn)動的衛(wèi)星．已知該衛(wèi)星貼著火星表面運(yùn)動，把火星視為均勻球體，如果知道該衛(wèi)星的運(yùn)行周期為 T，引力常量為 G，那么 ( ) A．可以計算火星的質(zhì)量 B．可以計算火星表面的引力加速度 C．可以計算火星的密度 D．可以計算火星的半徑 【解析】 衛(wèi)星繞火星做圓周運(yùn)動的向心力由萬有引力提供，則有： GMmr2 ＝ m4π2T2 r 而火星的質(zhì)量 M＝ ρ43πr3 聯(lián)立解得：火星的密度 ρ＝ 3πGT2 由 M＝ 4π2r3GT2， g＝ GMr2＝4π2T2 r 知，不能確定火星的質(zhì)量、半徑和其的表面引力加速度，所以 C 正確． [答案 ] C 【點評】 歷年的高考中都常見到關(guān)于星體質(zhì)量 (或密度 )、重力加速度的計算試題，如 2021年高考全國理綜卷 Ⅰ 第 19 題，江蘇物理卷第 3題， 2021 年高考上海物理卷 1(A)等． ★同類拓展 1 我國探月的嫦娥工程已啟動，在不久的將來，我國宇 航員將登上月球．假如宇航員在月球上測得擺長為 l 的單擺做小振幅振動的周期為 T，將月球視為密度均勻、半徑為r的球體，則月球的密度為 ( ) A． 3πGT2 B． 3πl(wèi)GrT2 C． 16πl(wèi)3GrT2 D． 3πl(wèi)16GrT2 【解析】 設(shè)月球表面附近的重力加速度為 g0． 有： T＝ 2π lg0 又由 g0＝ GMr2， ρ＝ 3M4πr3 可解得 ρ＝ 3πl(wèi)GrT2． [答案 ] B 三、行星、衛(wèi)星的動力學(xué)問題 不同軌道的行星 (衛(wèi)星 )的速度、周期、角速度的關(guān)系在 “ 要點歸納 ” 中已有總結(jié)，關(guān)于這類問題還需特別注意分析清楚衛(wèi)星的變軌過程及變軌前后的速度、周期及向心加速度的關(guān)系． ●例 3 2021 年 9 月 25日到 28日，我國成功發(fā)射了神舟七號載人航天飛行并實現(xiàn)了航天員首次出艙．飛船先沿橢圓軌道飛行，后在遠(yuǎn)地點 343 千米處點火加速，由橢圓軌道變成高度為 343千米的圓軌道，在此圓軌道上飛船運(yùn)行周期約為 90 分鐘．下列判斷正確的是 [2021年高考 全國理綜卷 Ⅱ ] 【解析】 如圖所示，設(shè) O 和 O′ 分別表示地球和月球 的中心．在衛(wèi)星軌道平面上， A是地月連心線 OO′ 與地月球表面的公切線 ACD的交點， D、 C和 B分別是該公切線與地球表面、月球表面和衛(wèi)星軌道的交點．過 A點在另一側(cè)作地月球面的公切線，交衛(wèi)星軌道于 E點．衛(wèi)星在圓弧 BE上運(yùn)動時發(fā)出的信號被遮擋． 設(shè)探月衛(wèi)星的質(zhì)量為 m0，引力常量為 G，根據(jù)萬有引力定律有： GMmr2 ＝ m(2πT )2r Gmm0r12 ＝ m0(2πT1)2r1(其中 T1表示探月衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)動的周期 ) 由以上兩式可得： (T1T)2＝ Mm(r1r)3 設(shè)衛(wèi)星的微波信號被遮擋的時間為 t，則由于衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動，有： tT1＝α－ βπ ，其中 α＝ ∠ CO′ A， β＝ ∠ CO′ B 由幾何關(guān)系得： rcos α＝ R－ R1， r1cos β＝ R1 聯(lián)立解得： t＝ Tπ Mr13mr3 (arccosR－ R1r － arccosR1r1)． [答案 ] Tπ Mr13mr3 (arccosR－ R1r － arccosR1r1) 【點評】 航體星體問題有時在高考中也以計算題出現(xiàn)，解答的關(guān)鍵仍是做圓周運(yùn)動的動力學(xué)方程．另外，還需要同學(xué)們具有豐富的想象力，描繪情境圖、難圖化易、化整為零等能力． 能力演練 一、選擇題 (10 4 分 ) 1．在越野賽車時，一輛賽車在水平公路上減速轉(zhuǎn)彎，從俯視圖可以看到，賽車沿 圓周由 P 向 Q 行駛．下列圖中畫出了賽車轉(zhuǎn)彎時所受合力的四種方式，其中正確的是 ( ) 【解析】 將 F 向切向和徑向分解，切向分力使其減速，徑向的分力產(chǎn)生向心加速度，故 D 正確． [答案 ] D 2．備受關(guān)注的京滬高速鐵路預(yù)計在 2021 年投入運(yùn)營．按照設(shè)計，乘高速列車從北京到上海只需 4 個多小時，由于高速列車的速度快，對軌道、軌基的抗震動和抗沖擊力的要求都很高．如圖所示，列車轉(zhuǎn)彎可以看成是做勻速圓周運(yùn)動，若某彎道 的半徑為 R，列車設(shè)計時速為 v，則該彎道處鐵軌內(nèi)外軌的設(shè)計傾角 θ 應(yīng)為 ( ) A． arctanv2Rg B． arcsinv2Rg C． arccotv2Rg D． arccosv2Rg 【解析】 設(shè)計的傾角 θ應(yīng)使列車過彎道時重力與支持力的合力提供向心力： mgtan θ＝mv2R，解得： θ＝ arctan v2Rg． [答案 ] A 年 12 月 11 日 ，有著“送子女神”之稱的小行星“婚神” (Juno)沖日，在此后十多天的時間里，國內(nèi)外天文愛好者憑借雙筒望遠(yuǎn)鏡可觀測到它的 “倩影” ．在太陽系中除了八大行星以外，還有成千上萬顆肉眼看不見的小天體，沿著橢圓軌道不停地圍繞太陽公轉(zhuǎn)．這些小天體就是太陽系中的小行星．沖日是觀測小行星難得的機(jī)遇．此時，小行星、太陽、地球幾乎成一條直線，且和地球位于太陽的同一側(cè)． “婚神 ”星沖日的虛擬圖如圖所示，則 ( ) A． 2021 年 12 月 11 日， “婚神” 星的線速度大于地球的線速度 B． 2021 年 12 月 11 日， “婚神” 星的加速度小于地球的加速度 C． 2021 年 12 月 11 日 ，必將發(fā)生下一次“婚神”星沖日 D．