【正文】 運動并且從最高點飛出， A 小球的最小高度為 5R2 ， B 小球在 hB2R的任何高度均可 【解析】 當 hB＝ 2R 時， B 小球能沿圓管運動到達最高點， 且由機械能守恒定律知到達最高點時速度減為零，故當 hA＝ 2R時， A小球到達最高點前已離開圓弧軌道；同理，當 hA＝ hB＝ 32R時， B小球能恰好上升至 32R， A小球上升至 3R2 前已離開圓弧，故選項 A、 B 錯誤． 要使小球從軌道最高點飛出后恰好落在軌道右端口，在最高點的初速度應為 v0＝ R2Rg＝ Rg2 又因為 A小球沿凹槽到達最高點的條件為 mv2R≥ mg，即 v≥ gR，故 A小球不可能從軌道最高點飛出后恰好落在軌道右端口處． 又由機械能守恒定律， A小球能到達凹槽軌道高點的條件為： mgha≥ mg2 R＋ 12m( gR)2 得 ha≥ 52R．故選項 C 錯誤、 D 正確． [答案 ] D 【點評】 除了天體問題和帶電粒子在勻強磁場中運動外，豎直方向的圓周運動問題是較常出現(xiàn)的題型．本例題較典型地包含這類問題中的動力學關系和動能關系． 二、天體質量、密度及表面重力加速度的計算 1．星體表面的重力加速度： g＝ GMR2 2．天體質量常用的計算公式： M＝ rv2G ＝4π2r3GT2 ●例 2 假設某個國家發(fā)射了一顆繞火星做圓周運動的衛(wèi)星．已知該衛(wèi)星貼著火星表面運動，把火星視為均勻球體，如果知道該衛(wèi)星的運行周期為 T，引力常量為 G，那么 ( ) A．可以計算火星的質量 B．可以計算火星表面的引力加速度 C．可以計算火星的密度 D．可以計算火星的半徑 【解析】 衛(wèi)星繞火星做圓周運動的向心力由萬有引力提供，則有： GMmr2 ＝ m4π2T2 r 而火星的質量 M＝ ρ43πr3 聯(lián)立解得：火星的密度 ρ＝ 3πGT2 由 M＝ 4π2r3GT2， g＝ GMr2＝4π2T2 r 知，不能確定火星的質量、半徑和其的表面引力加速度，所以 C 正確． [答案 ] C 【點評】 歷年的高考中都常見到關于星體質量 (或密度 )、重力加速度的計算試題，如 2021年高考全國理綜卷 Ⅰ 第 19 題，江蘇物理卷第 3題， 2021 年高考上海物理卷 1(A)等． ★同類拓展 1 我國探月的嫦娥工程已啟動，在不久的將來，我國宇 航員將登上月球．假如宇航員在月球上測得擺長為 l 的單擺做小振幅振動的周期為 T，將月球視為密度均勻、半徑為r的球體，則月球的密度為 ( ) A． 3πGT2 B． 3πl(wèi)GrT2 C． 16πl(wèi)3GrT2 D． 3πl(wèi)16GrT2 【解析】 設月球表面附近的重力加速度為 g0． 有： T＝ 2π lg0 又由 g0＝ GMr2， ρ＝ 3M4πr3 可解得 ρ＝ 3πl(wèi)GrT2． [答案 ] B 三、行星、衛(wèi)星的動力學問題 不同軌道的行星 (衛(wèi)星 )的速度、周期、角速度的關系在 “ 要點歸納 ” 中已有總結，關于這類問題還需特別注意分析清楚衛(wèi)星的變軌過程及變軌前后的速度、周期及向心加速度的關系． ●例 3 2021 年 9 月 25日到 28日，我國成功發(fā)射了神舟七號載人航天飛行并實現(xiàn)了航天員首次出艙．飛船先沿橢圓軌道飛行，后在遠地點 343 千米處點火加速，由橢圓軌道變成高度為 343千米的圓軌道，在此圓軌道上飛船運行周期約為 90 分鐘．下列判斷正確的是 [2021年高考 山東理綜卷 ]( ) A． 飛船變軌前后的機械能相等 B．飛船在圓軌道上時航天員出艙前后都處于失重狀態(tài) C．飛船在此圓軌道上運動的角速度大于同步衛(wèi)星運動的角速度 D．飛船變軌前通過橢圓軌道遠地點時的加速度大于變軌后沿圓軌道運動的加速度 【解析】 飛船點火變軌，反沖力對飛船做正功，飛船的機械能不守恒， A錯誤．飛船在圓形軌道上繞行時，航天員 (包括飛船及其他物品 )受到的萬有引力恰好提供所需的向心力，處于完全失重狀態(tài)， B正確．神舟七號的運行高度遠低于同步衛(wèi)星，由 ω2∝ 1r3知， C 正確．由牛頓第二定律 a＝ F引m＝ GMr2知，變軌前后過同一點的加速度相等． [答案 ] BC 【點評】 對于這類衛(wèi)星變軌的問題，特別要注意比較加速度時不能根據(jù)運動學公式 a＝v2r＝ ω2r，因為變軌前后衛(wèi)星在同一點的速度、軌道半徑均變化，一般要通過決定式 a＝ Fm來比較． ★同類拓展 2 為紀念伽利略將望遠鏡用于天文觀測 400周年， 2021年被定為以 “ 探索我的宇宙 ” 為主題的國際天文年．我國發(fā)射的嫦娥一號衛(wèi)星繞月球經(jīng)過一年多的運行，完成了既定任務，于 2021 年 3 月 1 日 16 日 13分成功撞 月．圖示為嫦娥一號衛(wèi)星撞月的模擬圖，衛(wèi)星在控制點 1 開始進入撞月軌道．假設衛(wèi)星繞月球做圓周運動的軌道半徑為 R，周期為 T，引力常量為 G．根據(jù)題中信息 ( ) A．可以求出月球的質量 B．可以求出月球對嫦娥一號衛(wèi)星的引力 C．可知嫦娥一號衛(wèi)星在控制點 1 處應減速 D．可知嫦娥一號在地面的發(fā)射速度大于 km/s 【解析】 由 GMmR2 ＝ m4π2T2 R可得月球的質量 M＝4π2R3GT2 ， A正確．由于不知嫦娥一號的質量，無法求得引力， B 錯誤．衛(wèi)星在控制點 1開始做近月運動，知在該點萬有引力要大于所需的向心力，故知在控制點 1應減速， C 正確．嫦娥一號進入繞月軌道后，同時還與月球一起繞地球運行，并未脫離地球，故知發(fā)射速度小于 km/s， D 錯誤． [答案 ] AC 四、星體、航天問題中涉及的一些功能關系 1．質量相同的繞地做圓周運動的衛(wèi)星，在越高的軌道動能 Ek＝ 12mv2＝ GMm2r 越小，引力勢能越大，總機械能越大． 2．若假設距某星球 無窮遠的引力勢能為零，則距它 r處衛(wèi)星的引力勢能 Ep＝－ GMmr (不需推導和記憶 )．在星球表面處發(fā)射物體能逃逸的初動能為 Ek≥ |Ep|＝ GMmR ． ●例 4 2021 年 12 月，天文學家們通過觀測的數(shù)據(jù)確認了銀河系中央的黑洞 “ 人馬座A*” 的質量與太陽質量的倍數(shù)關系．研究發(fā)現(xiàn)，有一星體 S2繞人馬座 A*做橢圓運動，其軌道半長軸為 102 天文單位 (地球公轉軌道的半徑為一個天文單位 )，人馬座 A*就處在該橢圓的一個焦點上．觀測得到 S2 星的運動周期為 年． (1)若將 S2 星的運行軌道視為半徑 r＝ 102 天文單位的圓軌道，試估算人馬座 A*的質量 MA 是太陽質量 MS的多少倍． (結果保留一位有效數(shù)字 ) (2)黑洞的第二宇宙速度極大，處于黑洞表面的粒子即使以光速運動，其具有的動能也不足以克服黑洞對它的引力束縛．由于引力的作用，黑洞表面處質量為 m 的粒子具有的勢能為 Ep＝－ GMmR (設粒子在離黑洞無限遠處的勢能為零 )，式中 M、 R 分別表示黑洞的質量和半徑．已知引力常量 G＝ 10－ 11 Nm2 /kg2，光速 c＝ 108 m/s，太陽質量 MS＝ 1030 kg，太陽半徑 RS＝ 108 m，不考慮相對論效應，利用上問結果，在經(jīng)典力學范圍內(nèi)求人馬座 A*的半徑 RA與太陽半徑 RS之比應小于多少． (結果按四舍五入保留整數(shù) ) [2021 年高考 天津理綜卷 ] 【解析】 (1)S2 星繞人馬座 A*做圓周運動的向心力由人馬座 A*對 S2 星的萬有引力提供，設 S2 星的質量為 mS2，角速度為 ω，周期為 T，則有： GMAmS2r2 ＝ mS2ω2r ω＝ 2πT 設地球質量為 mE，公轉軌道半徑為 rE，周期為 TE，則： GMSmErE2 ＝ mE(2πTE)2rE 綜合上述三式得： MAMS＝ (rrE)3(TET)2 上式中 TE＝ 1 年， rE＝ 1 天文單位 代入數(shù)據(jù)可得： MAMS＝ 4 106． (2)引力對粒子作用不到的地方即為無限遠處，此時粒子的勢能為零． “ 處于黑洞表面的粒子即使以光速運動，其具有的動能也不足以克服黑洞對它的引力束縛 ” ，說明了黑洞表面處以光速運動的粒子在遠離黑洞的過程中克服引力做功，粒子在到達無限遠之前，其動能便減小 為零，此時勢能仍為負值，則其能量總和小于零．根據(jù)能量守恒定律可知，粒子在黑洞表面處的能量也小于零，則有： 12mc2－ GMmR ＜ 0 依題意可知： R＝ RA， M＝ MA 可得： RA＜ 2GMAc2 代入數(shù)據(jù)得： RA＜ 1010 m 故 RARS＜ 17． [答案 ] (1)4 106 (2)RAR