【正文】 來提供，即任何力都可能提供向心力，向心力的作用是只改變線速度的方向，不改變線速度的大小． (2)大?。?F 向 ＝ ma＝ mv2r ＝ mω2r＝ m4π2T2 r ＝ 4mπ2f2r (牛頓第二定律 ) 3．圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題 分析圓周運(yùn)動(dòng)的臨 界問題時(shí)，一般應(yīng)從與研究對(duì)象相聯(lián)系的物體 (如：繩、桿、軌道等 )的力學(xué)特征著手． (1)如圖 3－ 1 所示，繩系小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)及小球沿豎直圓軌道的內(nèi)側(cè)面做圓周運(yùn)動(dòng)過最高點(diǎn)的臨界問題 (小球只受重力、繩或軌道的彈力 )． 圖 3－ 1 由于小球運(yùn)動(dòng)到圓軌跡的最高點(diǎn)時(shí)，繩或軌道對(duì)小球的作用力只能向下，作用力最小為零，所以小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)在最高點(diǎn)應(yīng)有一最小速度 vmin．當(dāng)小球剛好能通過最高點(diǎn)時(shí)，有： mg＝ mvmin2r 解得： vmin＝ gr ． 又由機(jī)械能守恒定律有： 12mv 下 2＝ 12mv 上 2＋ mg2 R＋ 12m( gR)2 得 ha≥ 52R．故選項(xiàng) C 錯(cuò)誤、 D 正確． [答案 ] D 【點(diǎn)評(píng)】 除了天體問題和帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)外，豎直方向的圓周運(yùn)動(dòng)問題是較常出現(xiàn)的題型．本例題較典型地包含這類問題中的動(dòng)力學(xué)關(guān)系和動(dòng)能關(guān)系． 二、天體質(zhì)量、密度及表面重力加速度的計(jì)算 1．星體表面的重力加速度： g＝ GMR2 2．天體質(zhì)量常用的計(jì)算公式： M＝ rv2G ＝4π2r3GT2 ●例 2 假設(shè)某個(gè)國(guó)家發(fā)射了一顆繞火星做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星．已知該衛(wèi)星貼著火星表面運(yùn)動(dòng)，把火星視為均勻球體，如果知道該衛(wèi)星的運(yùn)行周期為 T，引力常量為 G，那么 ( ) A．可以計(jì)算火星的質(zhì)量 B．可以計(jì)算火星表面的引力加速度 C．可以計(jì)算火星的密度 D．可以計(jì)算火星的半徑 【解析】 衛(wèi)星繞火星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供，則有： GMmr2 ＝ m4π2T2 r 而火星的質(zhì)量 M＝ ρ43πr3 聯(lián)立解得：火星的密度 ρ＝ 3πGT2 由 M＝ 4π2r3GT2， g＝ GMr2＝4π2T2 r 知，不能確定火星的質(zhì)量、半徑和其的表面引力加速度，所以 C 正確． [答案 ] C 【點(diǎn)評(píng)】 歷年的高考中都常見到關(guān)于星體質(zhì)量 (或密度 )、重力加速度的計(jì)算試題，如 2021年高考全國(guó)理綜卷 Ⅰ 第 19 題，江蘇物理卷第 3題， 2021 年高考上海物理卷 1(A)等． ★同類拓展 1 我國(guó)探月的嫦娥工程已啟動(dòng)，在不久的將來，我國(guó)宇 航員將登上月球．假如宇航員在月球上測(cè)得擺長(zhǎng)為 l 的單擺做小振幅振動(dòng)的周期為 T，將月球視為密度均勻、半徑為r的球體，則月球的密度為 ( ) A． 3πGT2 B． 3πl(wèi)GrT2 C． 16πl(wèi)3GrT2 D． 3πl(wèi)16GrT2 【解析】 設(shè)月球表面附近的重力加速度為 g0． 有： T＝ 2π lg0 又由 g0＝ GMr2， ρ＝ 3M4πr3 可解得 ρ＝ 3πl(wèi)GrT2． [答案 ] B 三、行星、衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)問題 不同軌道的行星 (衛(wèi)星 )的速度、周期、角速度的關(guān)系在 “ 要點(diǎn)歸納 ” 中已有總結(jié)，關(guān)于這類問題還需特別注意分析清楚衛(wèi)星的變軌過程及變軌前后的速度、周期及向心加速度的關(guān)系． ●例 3 2021 年 9 月 25日到 28日，我國(guó)成功發(fā)射了神舟七號(hào)載人航天飛行并實(shí)現(xiàn)了航天員首次出艙．飛船先沿橢圓軌道飛行，后在遠(yuǎn)地點(diǎn) 343 千米處點(diǎn)火加速，由橢圓軌道變成高度為 343千米的圓軌道，在此圓軌道上飛船運(yùn)行周期約為 90 分鐘．下列判斷正確的是 [2021年高考 寧夏理綜卷 ] 【解析】 設(shè)兩顆恒星的 質(zhì)量分別為 m m2，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為 r r2，角速度分別為 ω ω2．根據(jù)題意有： ω1＝ ω2 r1＋ r2＝ r 根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律，有： Gm1m2r2 ＝ m1r1ω12 Gm1m2r2 ＝ m2r2ω22 聯(lián)立解得： r1＝ m2rm1＋ m2 根據(jù)角速度與周期的關(guān)系知 ω1＝ ω2＝ 2πT 聯(lián)立解得： m1＋ m2＝ 4π2r3T2G． [答案 ] 4π2r3T2G 【點(diǎn)評(píng)】 在雙星系統(tǒng)中，當(dāng) 其中一星體質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于另一星體時(shí)，它們的共同圓心就在大質(zhì)量星球內(nèi)部且趨近于球心． 經(jīng)典考題 1． 天文學(xué)家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行星．這顆行星的體積是地球的 倍，質(zhì)量是地球的 25 倍．已知某一近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的周期約為 小時(shí)，引力常量 G＝ 10－11 N四川理綜卷 ]( ) A． 小時(shí) B． 小時(shí) C． 小時(shí) D． 24 小時(shí) 【解析】 由開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律可知， R3T2＝恒量，所以(r＋ h1)3t12 ＝(r＋ h2)3t22 ，其中 r 為地球的半徑， h1， t1， h2， t2 分別表示望遠(yuǎn)鏡到地表的距離、望遠(yuǎn)鏡的周期、同步衛(wèi)星距地表的距離、同步衛(wèi)星的周期 (24 h)，代入解得： t1＝ h． [答案 ] B 【點(diǎn)評(píng)】 高考對(duì)星體航天問題的考查以圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為主，具體常涉及求密度值、同步衛(wèi)星的參量、變軌的能量變化等．在具體解題時(shí)要注意運(yùn)用好幾個(gè)常用的代換． 4． 我國(guó)發(fā)射的嫦娥一號(hào)探月衛(wèi)星沿近似于圓形的軌道繞月飛行．為了獲得 月球表面全貌的信息，讓衛(wèi)星軌道平面緩慢變化，衛(wèi)星將獲得的信息持續(xù)用微波信號(hào)發(fā)回地球．設(shè)地球和月球的質(zhì)量分別為 M和 m，地球和月球的半徑分別為 R 和 R1，月球繞地球的軌道半徑和衛(wèi)星繞月球的軌道半徑分別為 r 和 r1，月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為 T．假定在衛(wèi)星繞月運(yùn)行的一個(gè)周期內(nèi)衛(wèi)星軌道平面與地月連心線共面，求在該周期內(nèi)衛(wèi)星發(fā)射的微波信號(hào)因月球遮擋而不能到達(dá)地球的時(shí)間． (用 M、 m、 R、 R r、 r1 和 T表示，忽略月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)遮擋時(shí)間的影響 )． [2021 年高考 ＝ 33 gR2T24π2 ，選項(xiàng) D 正確． [答案 ] D 9．發(fā)射通信衛(wèi)星的常用方法是，先用火箭將衛(wèi)星送入一近地橢圓軌道運(yùn)行；然后再適時(shí)開動(dòng)星載火箭，將其送上與地球自轉(zhuǎn)同步運(yùn)行的軌道．則 ( ) A．變軌后瞬間與變軌前瞬間相比，衛(wèi)星的機(jī)械能增大，動(dòng)能增大 B．變軌后瞬間與變軌前瞬間相比，衛(wèi)星的機(jī)械能增大，動(dòng)能減小 C．變軌后衛(wèi)星運(yùn)行速度一定比變軌前衛(wèi)星在橢圓軌道上運(yùn)行時(shí)的最大速度要大 D．變軌后衛(wèi)星運(yùn)行速度一定比變軌前衛(wèi)星在橢圓軌道上運(yùn)行時(shí)的最大速度要小 【解析】 火箭是在橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)加速進(jìn)入同步運(yùn)行軌道的，故動(dòng)能增大，機(jī)械能 增大， A正確． 設(shè)衛(wèi)星在同步軌道上的速度為 v1，在橢圓軌道的近地點(diǎn)的速度為 v2，再設(shè)橢圓軌道近地點(diǎn)所在的圓形軌道的衛(wèi)星的速度為 v3． 由 GMmr2 ＝ mv2r，知 v3v1；又由向心力與萬有引力的關(guān)系知 v2v3．故 v1v2．選項(xiàng) C錯(cuò)誤， D 正確． [答案 ] AD 10．如圖所示，在水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，一絕緣細(xì)線的一端固定在 O 點(diǎn)，另一端系一帶正電的小球，小球在重力、電場(chǎng)力、繩子的拉力的作用下在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球所受的電場(chǎng)力的大小與重力相等．比較 a、 b、 c、 d這 四點(diǎn)，小球 ( ) A．在最高點(diǎn) a 處的動(dòng)能最小 B．在最低點(diǎn) c 處的機(jī)械能最小 C．在水平直徑右端 b處的機(jī)械能最大 D．在水平直徑左端 d處的機(jī)械能最大 【解析】 ① 由題意知，小球受的重力與電場(chǎng)力的合力沿 ∠ bOc的角平分線方向，故小球在 a、 d 兩點(diǎn)的動(dòng)能相等； ② 小球在運(yùn)動(dòng)過程中，電勢(shì)能與機(jī)械能相互轉(zhuǎn)化，總能量守恒，故在 d點(diǎn)處機(jī)械能最小， b點(diǎn)處機(jī)械能最大． [答案 ] C 二、非選擇題 (共 60 分 ) 11． (7 分 )圖甲是 “ 研究平拋物體的運(yùn)動(dòng) ” 的實(shí)驗(yàn)裝置圖． (1)圖乙是正確實(shí)驗(yàn)取得的數(shù)據(jù)，其中 O 為拋出點(diǎn)，則此小球做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度為______________m/s． (2)在另一次實(shí)驗(yàn)中將白紙換成方格紙，每小格的邊長(zhǎng) L＝ 5 cm，通過實(shí)驗(yàn)，記錄了小球在運(yùn)動(dòng)途中的三個(gè)位置，如圖丙所示，則該小球做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度為 ________m/s； B 點(diǎn)的豎直分速度為 ________m/s． 【解析】 (1)方法一 取點(diǎn) (,)分析可得： ＝ 12 t12 ＝ v0t1 解得： v0＝ m/s． 方法二 取點(diǎn) (,)分析可得： ＝ 12 t22 ＝ v0t2 解得： v0＝ m/s． (2)由圖可知，物體由 A→ B和由 B→ C所用的時(shí)間相等，且有