【正文】 ?? XPXP)3()3()3( ?????? XPXPXP??)()()( nXPnXPnXP ??????? ???最后對(duì)每一叢向列求和，即得。 返回 首頁(yè) 一、指數(shù)分布的定義 第六節(jié) 指數(shù)分布 若連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度為 分布函數(shù)為 則稱 X具有參數(shù)為 的指數(shù)分布。 )()()(tFtft ???? ???? ??ttee于是 ?4．失效率函數(shù) 與分布函數(shù)關(guān)系 )(t? )(tF（ 1）失效率函數(shù) 唯一決定分布 原因是 )()()(tFtFdtdt???首頁(yè) 積分得 即 令 得 因而 即 kdtttF t ??? ? )()(l og 0 ?})(e xp {)( 0 dttctF t ?????0?t 1?c})(e xp{)( 0 dtttF t ????})(e xp {1)( 0 dtttF t ?????（ 2） 決定 )(t?)(tF （有的定義可知） 一個(gè)概率分布可用它的失效率（如果存在的話）來描述 。 注 如果固定觀測(cè)時(shí)刻 t，則它的試驗(yàn)結(jié)果是屬于兩個(gè)樣本點(diǎn)（ 0， 1）所組成的樣本空間 如果在二個(gè)不同時(shí)刻 1t ， 2t 觀測(cè)試驗(yàn)結(jié)果則樣本空間出現(xiàn)的值為（ 0,0） ,（ 0,1） ,（ 1,0） ,（ 1,1） 則 { 21 , xx } 是一個(gè)二維隨機(jī)變量首頁(yè) 三、隨機(jī)過程的分類 按參數(shù)集和狀態(tài)分類 參數(shù)集 T的是一個(gè)可列集 T={0， 1， 2， …} 離散參數(shù) 連續(xù)參數(shù) 參數(shù)分類 參數(shù)集 T的是一個(gè)不可列集 }0|{ ?? ttT狀態(tài)分類 離散狀態(tài) 連續(xù)狀態(tài) )(tX取值是離散的 取值是連續(xù)的 首頁(yè) T離散、 I離散 T離散、 I非離散（連續(xù)） 參數(shù) T狀態(tài) I分類 概率結(jié)構(gòu)分類 2．按過程的概率結(jié)構(gòu)分類 T非離散（連續(xù)） 、 I離散 T非離散（連續(xù)） 、 I非離散（連續(xù)） 獨(dú)立隨機(jī)過程 獨(dú)立增量隨機(jī)過程 馬爾可夫過程 平穩(wěn)隨機(jī)過程 首頁(yè) （ 1）獨(dú)立隨機(jī)過程 簡(jiǎn)稱獨(dú)立隨機(jī)過程。首頁(yè) 二 、 泊松過程 1．計(jì)數(shù)過程 則 且滿足： 如果用 )( tX 表示 [0 ， t ] 內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的總數(shù)，隨機(jī)過程 { )( tX ， 0?t } 稱為一個(gè)計(jì)數(shù)過程（ 1 ） 0)( ?tX（ 2 ） )( tX 是整數(shù)值（ 3 ）對(duì)任意兩個(gè)時(shí)刻 210 tt ?? ，有 )()( 21 tXtX ?（ 4 ）對(duì)任意兩個(gè)時(shí)刻 210 tt ?? ，)()( 12 tXtX ? 等于在區(qū)間 ],( 21 tt 中發(fā)生的事件的個(gè)數(shù)首頁(yè) 注 如果在不相交的時(shí)間區(qū)間中發(fā)生的事件個(gè)數(shù)是獨(dú)立的，則稱計(jì)數(shù)過程有獨(dú)立增量。{ )( tX ， Tt ? } 的一維， ,? n 維特征函數(shù)的全體{ ),( 11 nntt ??? ?? ； ， Ttt n ?,1 ? ， 1?n }注 隨機(jī)過程 )( tX 的有限維分布函數(shù)族與有限維特征函數(shù)族相互唯一決定 返回 首頁(yè) 第三節(jié) 復(fù)隨機(jī)過程 一、定義 是兩個(gè)實(shí)隨機(jī)過程 則 設(shè) { )( tX , Tt ? } 與 { )( tY , Tt ? })()()( tiYtXtZ ?? ， Tt ?稱為復(fù)隨機(jī)過程 記作 { )( tZ , Tt ? } ，簡(jiǎn)記作 )( tZ并稱 實(shí)隨機(jī)過程 )( tX 、 )( tY 的聯(lián)合分布為復(fù)隨機(jī)過程 )( tZ 的分布首頁(yè) 二、數(shù)字特征 1．均值 函數(shù) 2．自協(xié)方差函數(shù) 其中記號(hào)“ — ”表示“共軛” )]([)]([)]([)( tYiEtXEtZEtm Z ???)()( timtm YX ??{ )( tZ ， Tt ? } 在時(shí)刻 Ttt ?21 , 的狀態(tài))( 1tZ 與 )( 2tZ 的二階中心混合矩),( 21 ttK Z ]})()()][()({[ 2211 tmtZtmtZE ZZ ???稱為復(fù)隨機(jī)過程 )( tZ 的自協(xié)方差函數(shù)首頁(yè) 3． 自相關(guān)函數(shù) 自協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 4． 方差 函數(shù) ])()([E),( 2121 tZtZttR Z ?)()(),(),( 212121 tmtmttRttK ZZZZ ??]|)()([|)( 2tmtZEtD ZZ ??它實(shí)際上等于自協(xié)方差函數(shù) ),( ttK Z且有 )( tDZ )()( tDtD YX ??首頁(yè) 證 由于 所以 即 )( tDZ )()( tDtD YX ??)()( tmtZ Z?))()(())()(( timtmtiYtX YX ????))()(())()(( tmtYitmtX YX ????)( tD Z ]))()(())()([( 22 tmtYtmtXE YX ????]))()([(]))()([( 22 tmtYEtmtXE YX ????)()( tDtD YX ??首頁(yè) 5 ． 互協(xié)方差函數(shù) 6． 互相關(guān)函數(shù) 設(shè) )(1 tZ ， )(2 tZ 是兩個(gè)復(fù)隨機(jī)過程對(duì)固定的 Ttt ?21 ,?),( 2121 ttK ZZ ]})()()][()({[ 22211121 tmtZtmtZE ZZ ??稱為 )(1 tZ 與 )(2 tZ 的互協(xié)方差函數(shù)。一直拋擲下去，便可得到一無窮序列 因?yàn)槊看螔仈S的結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)變量（ 1或 0），所以無窮次拋擲的結(jié)果是一隨機(jī)變量的無窮序列，稱為隨機(jī)序列，也可稱為隨機(jī)過程。 )(1)( tFtF ?? )( tXP ??存活函數(shù) 首頁(yè) 2． 的直觀解釋 為了闡明的意義，把 X設(shè)想為某種元件的壽命，且 X假定已經(jīng)存活 t 小時(shí)，我們要求再過時(shí)間 dt它失效的概率，即考慮 由于 可見 表示一個(gè) t 歲的元件將失效的可能性大小， 即元件將失效的概率強(qiáng)度。 首頁(yè) 三、條件期望的應(yīng)用 定理 2 設(shè) X、 Y是隨機(jī)變量， 是 Borel函數(shù)， 證 下面的命題說明在均方意義下 ， 在已知隨機(jī)變量 X的條件下 ， 是 Y的最佳預(yù)測(cè) 。 0) ?? jyYP （jijjjiji ppyYPyYxXPyYxXP????????)),)|（（（ixX ?jyY ?????????iijijiij ppxXPyYxXPxXyYP)),)|（（（同樣 為在條件 下，隨機(jī)變量 Y的條件分布律。 對(duì)樣本空間 ?的每一個(gè)事件 E，都有一實(shí)數(shù) P（ E）與之對(duì)應(yīng)，且滿足： （ 1） 3．隨機(jī)事件 4．概 率 10 ?? ）（ EP 1?? ）（P?， 21 EE（ 3）對(duì) 兩兩互不相容 的事件序列 （ 2） )11??????iiiiEPEP （）（ ?則稱 P（ E）為事件 E的 概率 。 nAAA ， ?21則稱事件 A， B相互獨(dú)立 。 首頁(yè) 1．協(xié)方差 計(jì)算協(xié)方差時(shí)通常用下列關(guān)系式： 二、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) ),(C o v YX ))]())(([( YEYXEXE ???),(C o v YX )()()( YEXEXYE ?? )()(),(CovYDXDYXrXY ?首頁(yè) 3． 性質(zhì) （ 1） （ 2）若 X和 Y相互獨(dú)立，則 （ 4） 的充要條件是 X與 Y以概率 1 線性相關(guān)，即 ),(C o v2)()(1,11jnjijiiniinii XXXDXD ?????????0),(C o v ?YX1|| ?XYr（ 3） 1|| ?XYr1)( ??? baXYP返回 首頁(yè) 例 1 設(shè) X?N（ 0， 1），求 解 當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)，由分部積分得 當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)， )( nXE)( nXE dxex xn 2221 ????????0)( ?nXE)( nXE dxexnxn 22221 ??????????)()1( 2??? nXEn依次遞推，注意到 ，故 1)( 0 ?xE???????????? 偶數(shù)奇數(shù)2!)!1(135)3)(1(0)(nnnnnXE n?首頁(yè) 在一次集會(huì)上， n個(gè)人把他們的帽子放到房間的中央混合在一起，而后每個(gè)人隨機(jī)地選取一項(xiàng)，求每人拿到自己的帽子的人數(shù) X的均值和方差。 ?????????0,00,)(xxexfx????????????????0,00,1)()(xxedyyfxFxx?)0???（ 首頁(yè) 二、無記憶性 若隨機(jī)變量 X滿足 則稱隨機(jī)變量 X是 無記憶的 。 因此 返回 首頁(yè) 一、收斂性 第七節(jié) 收斂性和極限定理 1．概率 1收斂（或幾乎處處收斂） 如果 隨機(jī)變量序列 以概率 1收斂于 X，或稱 幾乎處處收斂于 X，記作 1}l i m{ ???? XXP nn則稱 nXnXXX san ? ?? .首頁(yè) 如果 2．均方收斂 對(duì)于所有的 有 隨機(jī)變量序列 以均方收斂于 X，記作 且 nXnX ??]|[| 2nXE??]|[| 2XE則稱 0]|[|l i m 2 ???? XXE nnXX nn???l. i. m首頁(yè) 如果 3．依概率收斂 對(duì)于任意給定的正數(shù) ，有 隨機(jī)變量序列 依概率收斂于 X，記作 nX則稱 0??0}|{|l i m ??????XXP nnXX Pn ? ??首頁(yè) 如果 4．依分布收斂 設(shè) ， 分別為隨機(jī)變量 及 X 的 分布函數(shù) 隨機(jī)變量序列 以分布收斂于 X，記作 nX則稱 )(xFn )(xF nX 對(duì)于的每一個(gè)連續(xù)點(diǎn) x，有 )(xF)()(l i m xFxF nn ???XX dn ? ??首頁(yè) （ 1）若 均方收斂，則 必為依概率收斂； 收斂性之間的關(guān)系 nXnX（ 2）若 以概率 1收斂，則 必為依概率收斂； nX nX（ 3）若 依概率收斂，則 必為依分布收斂。 設(shè) { )( tX ， Tt ? } 對(duì)任意 n 個(gè)不同的 1t ， 2t ，?， Tt n ? )( 1tX ， )( 2tX ，?， )( ntX 是相互獨(dú)立的則稱 )( tX 為具有獨(dú)立隨機(jī)變量的隨機(jī)過程，首頁(yè) （ 2）獨(dú)立增量隨機(jī)過程 是相互獨(dú)立的， 設(shè) { )( tX ， Tt ? } 對(duì)任意 n 個(gè)不同的 1t ， 2t ，?， Tt n ? 且 nn tttt ???? ? 121 ?)()( 12 tXtX ? ， )()( 23 tXtX ? ，?， )()( 1?? nn tXtX則稱 )( tX 為具有獨(dú)立增量的隨機(jī)過程。 2． 泊松過程 滿足 若在任一時(shí)間區(qū)間中發(fā)生的事件個(gè)數(shù)的分布只依賴于時(shí)間區(qū)間的長(zhǎng)度，則稱計(jì)數(shù)過程有平穩(wěn)增量。 所以 設(shè)兩個(gè)隨機(jī)過程 2)( UttX ? ， 3)( UttY ?其中 U 是隨機(jī)變量且 5)( ?UD)( tX 和 )( tY 的均值函數(shù)][)( 2UtEtm X ? ][2 UEt?][)( 3UtEtm Y ? ][3 UEt?