【正文】 1 xtX ?= |)(( nn xtXP ? 11 )( ?? ? nn xtX ），則稱 )( tX 為馬爾可夫過程首頁 馬氏過程的特點(diǎn) 馬氏性實(shí)質(zhì)上是無后效性 ， 所以也稱馬氏過程為 無后效過程 。 所以 設(shè)兩個(gè)隨機(jī)過程 2)( UttX ? ， 3)( UttY ?其中 U 是隨機(jī)變量且 5)( ?UD)( tX 和 )( tY 的均值函數(shù)][)( 2UtEtm X ? ][2 UEt?][)( 3UtEtm Y ? ][3 UEt?),( 21 ttK XY )]}()()][()({[ 322211 UEttYUEttXE ???]))([( 23221 UEUEtt ?? )(3221 UDtt? 32215 tt?)( tX 和 )( tY 的 互 協(xié)方差 函數(shù) 首頁 三、隨機(jī)過程的特征函數(shù) 1．一維特征函數(shù) 則 注 設(shè) )( tX 是一個(gè)隨機(jī)過程對固定的 Tt ?1][),( )(11 11 tXieEt ??? ?111 )(11 dxxtfe xi ；???????（ )( 11 xtf ； 是 )( 1tX 的一維密度函數(shù)， 1? 是實(shí)數(shù)）稱為隨機(jī)過程 )( tX 的一維特征函數(shù)它是 1t 與 1? 的二元函數(shù)首頁 2． n維特征函數(shù) 則 維特征函數(shù)族 設(shè) )( tX 是一個(gè)隨機(jī)過程對固定的 Ttt n ?,1 ?， ，][),( )()((11 11 nn tXtXinn eEtt ????? ??? ??? ；稱為隨機(jī)過程 )( tX 的 n 維特征函數(shù)其中 1? ， n?,? 是實(shí)數(shù)。 解 )5)(,1)(( ?? XXP)4)()(,1)(( ???? XXXP)4)2(()1)(( ??? XPXP1!1)( ???? e 244!4)24( ???? e?設(shè) 表示在時(shí)間 t時(shí)到達(dá)的顧客數(shù) )(tX首頁 3． 到達(dá)時(shí)間間隔和等待時(shí)間的分布 定義 則稱 設(shè) { )( tX ， 0?t } 為泊松過程，)( tX 表示到時(shí)刻 t 為止已發(fā)生的事件的總數(shù)iW （ ?,2,1?i ）表示事件第 i 次發(fā)生的等待時(shí)間{ nW ， 1?n } 為等待時(shí)間序列以 nT （ 1?n ）表示第 1?n 次發(fā)生到第 n 次發(fā)生之間的時(shí)間間隔則稱 {nT ， 1?n } 為到達(dá)時(shí)間間隔序列首頁 定理 1 證 或 設(shè) { )( tX ， 0?t } 是參數(shù)為 ? （ 0?? ）的泊松過程，則到達(dá)時(shí)間間隔序列 ?， 21 TT 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且都有相同的均值為 ?/1 的指數(shù)分布。 2． 泊松過程 滿足 若在任一時(shí)間區(qū)間中發(fā)生的事件個(gè)數(shù)的分布只依賴于時(shí)間區(qū)間的長度，則稱計(jì)數(shù)過程有平穩(wěn)增量。 分析 先求概率密度 首頁 所以 解 對每一個(gè)確定的時(shí)刻 t， )( tX 的概率密度為3tte)(tX3231P )(11xtF ； ))((11xtXP ?? ??????????????ttexexttx，13,323,011 首頁 二、隨機(jī)過程的數(shù)字特征 1．均值函數(shù) 或稱為數(shù)學(xué)期望 說明 設(shè)隨機(jī)過程 { )( tX ， Tt ? } ，則 )]([)( tXEtm ? ， Tt ? ，稱為隨機(jī)過程 )( tX 的均值函數(shù))( tm 是 )( tX 的所有樣本函數(shù)在時(shí)刻 t 的函數(shù)值的平均它表示隨機(jī)過程 )( tX 在時(shí)刻 t 的擺動中心首頁 2．方差函數(shù) 說明 隨機(jī)過程 { )( tX ， Tt ? } 的二階中心矩]))()([()]([)( 2tmtXEtXDtD ???稱為隨機(jī)過程 )( tX 的方差函數(shù))( tD 的平方根 ?)( t? )( tD均方差函數(shù) 它表示 )( tX 在各個(gè)時(shí)刻 t 對于 )( tm 的偏離程度首頁 3．協(xié)方差函數(shù) 二階中心混合矩 簡稱協(xié)方差函數(shù) 隨機(jī)過程 )( tX 在 Ttt ?21 , 的狀態(tài) )( 1tX 和 )( 2tX ),( 21 ttK ) ) ]()() ) (()([( 2211 tmtXtmtXE ???稱為隨機(jī)過程 )( tX 的自協(xié)方差函數(shù) 當(dāng) Tttt ??? 21 ，有注 ),()( ttKtD ? ]))()([( 2tmtXE ??首頁 4．互協(xié)方差函數(shù) 其中 設(shè) )( tX 和 )( tY 是兩個(gè)隨機(jī)過程對任意 Ttt ?21 , ，則),( 21 ttK XY )]()()][()([ 2211 tmtYtmtXE YX ???稱為隨機(jī)過程 )( tX 與 )( tY 的互協(xié)方差函數(shù))]([)( 11 tXEtm X ?)]([)( 22 tYEtm Y ?首頁 5．相關(guān)函數(shù) 簡稱相關(guān)函數(shù) 注 對任意 Ttt ?21 ,)( 1tX 和 )( 2tX 的二階原點(diǎn)混合矩 ),( 21 ttR )]()([ 21 tXtXE?稱為隨機(jī)過程 )( tX 的自相關(guān)函數(shù)，當(dāng) 0)( ?tm 時(shí)，有 ),( 21 ttR = ),( 21 ttK首頁 6．互相關(guān)函數(shù) 注 對任意 Ttt ?21 ,設(shè) )( tX 和 )( tY 是兩個(gè)隨機(jī)過程 ),( 21 ttR XY )]()([ 21 tYtXE?稱為隨機(jī)過程 )( tX 與 )( tY 的互相關(guān)函數(shù) ),( 21 ttK XY = ),( 21 ttR XY )()( 21 tmtm YX?則 首頁 7．互不相關(guān) 注 對任意 Ttt ?21 ,設(shè) )( tX 和 )( tY 是兩個(gè)隨機(jī)過程 ),( 21 ttK XY =0則稱隨機(jī)過程 )( tX 與 )( tY 互不相關(guān)有 若隨機(jī)過程 )( tX 與 )( tY 互不相關(guān)則 ),(21 ttR XY )()( 21 tmtm YX?即 )]([)]([)]()([2121 tYEtXEtYtXE ?若 首頁 例 2 解 求： （ 1） 均值函數(shù)； （ 2） 協(xié)方差函數(shù)； （ 3） 方差函數(shù) 。 設(shè) { )( tX ， Tt ? } 對任意 n 個(gè)不同的 1t ， 2t ，?， Tt n ? )( 1tX ， )( 2tX ，?， )( ntX 是相互獨(dú)立的則稱 )( tX 為具有獨(dú)立隨機(jī)變量的隨機(jī)過程，首頁 （ 2）獨(dú)立增量隨機(jī)過程 是相互獨(dú)立的， 設(shè) { )( tX ， Tt ? } 對任意 n 個(gè)不同的 1t ， 2t ，?， Tt n ? 且 nn tttt ???? ? 121 ?)()( 12 tXtX ? ， )()( 23 tXtX ? ，?， )()( 1?? nn tXtX則稱 )( tX 為具有獨(dú)立增量的隨機(jī)過程。 首頁 說明 2 因?yàn)? 隨機(jī)過程 { )( tX ， Tt ? } 是一個(gè)二元函數(shù)對于每一個(gè)固定的時(shí)刻 Tt ?0 ，)( 0tX是一個(gè)隨機(jī)變量， 并稱作隨機(jī)過程 )( tX 在 0tt ? 時(shí)的一個(gè)狀態(tài)，它反映了 )( tX 的 “隨機(jī)”性；對于每一個(gè) ??0? ，)( tX 是一個(gè)確定的樣本函數(shù)，它反映了 )( tX 的變化 “過程”。 因此 返回 首頁 一、收斂性 第七節(jié) 收斂性和極限定理 1．概率 1收斂（或幾乎處處收斂） 如果 隨機(jī)變量序列 以概率 1收斂于 X，或稱 幾乎處處收斂于 X，記作 1}l i m{ ???? XXP nn則稱 nXnXXX san ? ?? .首頁 如果 2．均方收斂 對于所有的 有 隨機(jī)變量序列 以均方收斂于 X，記作 且 nXnX ??]|[| 2nXE??]|[| 2XE則稱 0]|[|l i m 2 ???? XXE nnXX nn???l. i. m首頁 如果 3．依概率收斂 對于任意給定的正數(shù) ，有 隨機(jī)變量序列 依概率收斂于 X，記作 nX則稱 0??0}|{|l i m ??????XXP nnXX Pn ? ??首頁 如果 4．依分布收斂 設(shè) ， 分別為隨機(jī)變量 及 X 的 分布函數(shù) 隨機(jī)變量序列 以分布收斂于 X，記作 nX則稱 )(xFn )(xF nX 對于的每一個(gè)連續(xù)點(diǎn) x，有 )(xF)()(l i m xFxF nn ???XX dn ? ??首頁 （ 1）若 均方收斂，則 必為依概率收斂； 收斂性之間的關(guān)系 nXnX（ 2）若 以概率 1收斂，則 必為依概率收斂； nX nX（ 3）若 依概率收斂，則 必為依分布收斂。 由指數(shù)分布的無記憶性，這另一個(gè)人在郵局再花費(fèi)的時(shí)間也服從指數(shù)分布，其均值仍為 ，即仿佛他才開始服務(wù) . ?/1?/1因此由對稱性，他在 A之前結(jié)束服務(wù)的概率為， 故 A最后離開郵局的概率也是 。 ?????????0,00,)(xxexfx????????????????0,00,1)()(xxedyyfxFxx?)0???（ 首頁 二、無記憶性 若隨機(jī)變量 X滿足 則稱隨機(jī)變量 X是 無記憶的 。 )|( YXEyY ? )|( yYXE ?離散型 )]|([ YXEE?)( XE)()|()(1jjjyYPyYXEXE ??? ???dyyfyYXEXE Y )()|()( ?? ? ????首頁 證 只證（ X， Y）是離散型隨機(jī)向量時(shí)的情況 )()|(1jjjyYPyYXE ?????)()|(1 1jjij ii yYPyYxXPx ???? ? ?????),(1 1jij ii yYxXPx ??? ? ?????????????? ??????),(11jijii yYxXPx)()(1XExXPx iii ??? ???首頁 一礦工困在礦井中，要到達(dá)安全地帶，有三個(gè)通道可選擇，他從第一個(gè)通道出去要走 3個(gè)小時(shí)可到達(dá)安全地帶，從第二個(gè)通道出去要走 5個(gè)小時(shí)又返回原處，從第三個(gè)通道出去要走 7個(gè)小時(shí)也返回原處。 首頁 1．協(xié)方差 計(jì)算協(xié)方差時(shí)通常用下列關(guān)系式： 二、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) ),(C o v YX ))]())(([( YEYXEXE ???),(C o v YX )()()( YEXEXYE ?? )()(),(CovYDXDYXrXY ?首頁 3． 性質(zhì) （ 1） （ 2）若 X和 Y相互獨(dú)立，則 （ 4） 的充要條件是 X與 Y以概率 1 線性相關(guān)，即 ),(C o v2)()(1,11jnjijiiniinii XXXDXD ?????????0),(C o v ?YX1|| ?XYr（ 3） 1|| ?XYr1)( ??? baXYP返回 首頁 例 1 設(shè) X?N（ 0， 1），求 解 當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)，由分部積分得 當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)， )( nXE)( nXE dxex xn 2221 ????????0)( ?nXE)( nXE dxexnxn 22221 ??????????)()1( 2??? nXEn依次遞推，注意到 ，故 1)( 0 ?xE???????????? 偶數(shù)奇數(shù)2!)!1(135)3)(1(0)(nnnnnXE n?首頁 在一次集會上， n個(gè)人把他們的帽子放到房間的中央