【正文】 混合在一起，而后每個人隨機地選取一項，求每人拿到自己的帽子的人數(shù) X的均值和方差。 首頁 離散型 若隨機變量 （ X， Y） 的聯(lián)合分布律 分別稱為 （ X， Y） 關(guān)于 X和 Y的邊緣分布律 。 nAAA ， ?21則稱事件 A， B相互獨立 。 首頁 2．樣本空間 隨機試驗所有可能結(jié)果的集合，記為 ?。 對樣本空間 ?的每一個事件 E，都有一實數(shù) P（ E）與之對應(yīng)，且滿足： （ 1） 3．隨機事件 4．概 率 10 ?? ）（ EP 1?? ）（P?， 21 EE（ 3）對 兩兩互不相容 的事件序列 （ 2） )11??????iiiiEPEP （）（ ?則稱 P（ E）為事件 E的 概率 。 ???? )(?X)(?X2．分布函數(shù) 隨機變量 X取值不超過 x的概率 ， 稱為 X的分布函數(shù) （ 其中 x為任意實數(shù) ） ， 記為 即 )( xXP ?)(xF)()( xXPxF ?? ?????? x 首頁 分布函數(shù) F（ x） 具有下列性質(zhì)： 1 2 是非降函數(shù) ， 即當(dāng) 時 ， 有 )(xF1)(0 ?? xF ?????? x21 xx ?)()( 21 xFxF ?0)(l i m ???? xFx 1)(l i m ???? xFx3 4 )()0( xFxF ??F（ x）是右連續(xù)的，即 首頁 3．分布密度 最常見的隨機變量是離散型和連續(xù)型兩種 。 0) ?? jyYP （jijjjiji ppyYPyYxXPyYxXP????????)),)|（（（ixX ?jyY ?????????iijijiij ppxXPyYxXPxXyYP)),)|（（（同樣 為在條件 下，隨機變量 Y的條件分布律。 還可寫成 )(tX? ][ s i n][ c o s tXiEtXE ?? 首頁 4．特征函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系 特征函數(shù)與分布函數(shù) 相互唯一確定。 首頁 三、條件期望的應(yīng)用 定理 2 設(shè) X、 Y是隨機變量， 是 Borel函數(shù)， 證 下面的命題說明在均方意義下 ， 在已知隨機變量 X的條件下 ， 是 Y的最佳預(yù)測 。 ts?首頁 考慮一個有兩名營業(yè)員的郵局。 )(1)( tFtF ?? )( tXP ??存活函數(shù) 首頁 2． 的直觀解釋 為了闡明的意義，把 X設(shè)想為某種元件的壽命，且 X假定已經(jīng)存活 t 小時，我們要求再過時間 dt它失效的概率，即考慮 由于 可見 表示一個 t 歲的元件將失效的可能性大小， 即元件將失效的概率強度。 ??n nS首頁 第二章 隨機過程的基本概念 第一節(jié) 隨機過程的定義及其分類 第二節(jié) 隨機過程的分布及其數(shù)字特征 第三節(jié) 復(fù)隨機過程 第四節(jié) 幾種重要的隨機過程簡介 第一節(jié) 隨機過程的定義及其分類 一、直觀背景及例 電話站在時刻 t時以前接到的呼叫次數(shù) 例 1 一般情況下它是一個隨機變數(shù) X ，并且依賴時間 t，即隨機變數(shù) X（ t）， t?[0， 24]。一直拋擲下去，便可得到一無窮序列 因為每次拋擲的結(jié)果是一個隨機變量（ 1或 0），所以無窮次拋擲的結(jié)果是一隨機變量的無窮序列，稱為隨機序列，也可稱為隨機過程。 稱這個特性為馬爾可夫性，簡稱馬氏性。{ )( tX ， Tt ? } 的一維， ,? n 維特征函數(shù)的全體{ ),( 11 nntt ??? ?? ； ， Ttt n ?,1 ? ， 1?n }注 隨機過程 )( tX 的有限維分布函數(shù)族與有限維特征函數(shù)族相互唯一決定 返回 首頁 第三節(jié) 復(fù)隨機過程 一、定義 是兩個實隨機過程 則 設(shè) { )( tX , Tt ? } 與 { )( tY , Tt ? })()()( tiYtXtZ ?? ， Tt ?稱為復(fù)隨機過程 記作 { )( tZ , Tt ? } ，簡記作 )( tZ并稱 實隨機過程 )( tX 、 )( tY 的聯(lián)合分布為復(fù)隨機過程 )( tZ 的分布首頁 二、數(shù)字特征 1．均值 函數(shù) 2．自協(xié)方差函數(shù) 其中記號“ — ”表示“共軛” )]([)]([)]([)( tYiEtXEtZEtm Z ???)()( timtm YX ??{ )( tZ ， Tt ? } 在時刻 Ttt ?21 , 的狀態(tài))( 1tZ 與 )( 2tZ 的二階中心混合矩),( 21 ttK Z ]})()()][()({[ 2211 tmtZtmtZE ZZ ???稱為復(fù)隨機過程 )( tZ 的自協(xié)方差函數(shù)首頁 3． 自相關(guān)函數(shù) 自協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 4． 方差 函數(shù) ])()([E),( 2121 tZtZttR Z ?)()(),(),( 212121 tmtmttRttK ZZZZ ??]|)()([|)( 2tmtZEtD ZZ ??它實際上等于自協(xié)方差函數(shù) ),( ttK Z且有 )( tDZ )()( tDtD YX ??首頁 證 由于 所以 即 )( tDZ )()( tDtD YX ??)()( tmtZ Z?))()(())()(( timtmtiYtX YX ????))()(())()(( tmtYitmtX YX ????)( tD Z ]))()(())()([( 22 tmtYtmtXE YX ????]))()([(]))()([( 22 tmtYEtmtXE YX ????)()( tDtD YX ??首頁 5 ． 互協(xié)方差函數(shù) 6． 互相關(guān)函數(shù) 設(shè) )(1 tZ ， )(2 tZ 是兩個復(fù)隨機過程對固定的 Ttt ?21 ,?),( 2121 ttK ZZ ]})()()][()({[ 22211121 tmtZtmtZE ZZ ??稱為 )(1 tZ 與 )(2 tZ 的互協(xié)方差函數(shù)。事件 { tT ?1 } 的發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)沒有泊松事件在 ]0[ t， 內(nèi)發(fā)生故當(dāng) 0?t 時，有}0)({}{ 1 ??? tXPtTP tt eet ??? ?? ??!0)( 0}{ 1 tTP ? te ???? 1故 1T 的分布函數(shù)為首頁 那么類似地有 ??????????0,00,1)(1 ttetFtT?即 1T 是服從均值為 ?/1 的指數(shù)分布。首頁 二 、 泊松過程 1．計數(shù)過程 則 且滿足： 如果用 )( tX 表示 [0 ， t ] 內(nèi)隨機事件發(fā)生的總數(shù)，隨機過程 { )( tX ， 0?t } 稱為一個計數(shù)過程（ 1 ） 0)( ?tX（ 2 ） )( tX 是整數(shù)值（ 3 ）對任意兩個時刻 210 tt ?? ，有 )()( 21 tXtX ?（ 4 ）對任意兩個時刻 210 tt ?? ，)()( 12 tXtX ? 等于在區(qū)間 ],( 21 tt 中發(fā)生的事件的個數(shù)首頁 注 如果在不相交的時間區(qū)間中發(fā)生的事件個數(shù)是獨立的，則稱計數(shù)過程有獨立增量。 首頁 聯(lián)合分布函數(shù) n + m維隨機向量 分布函數(shù) 設(shè) )( tX 和 )( tY ， nttt , 21 ? ， Tttt m ???? , 21 ?{ )( 1tX , )( 2tX ,? , )( ntX ， )( 1tY ? , )( 2tY ? ,? , )( mtY ? }nXY ttF ,( 1 ? ； mtt ?? ,1 ? ； nxx ,1 ? ； myy ,1 ? ）；nn xtXxtXP ??? )(,)({ 11 ?mm ytYytY ???? ）（）（ ,11 ? }稱為隨機過程和的 n + m維聯(lián)合分布函數(shù) 首頁 相互獨立 n + m維隨機向量 分布函數(shù) 設(shè) )( tX 和 )( tY ， nttt , 21 ? ， Tttt m ???? , 21 ?nXY ttF ,( 1 ? ； mtt ?? ,1 ? ； nxx ,1 ? ； myy ,1 ? ）則稱隨機過程 相互獨立 ；nX ttF ,( 1 ?? nxx ,1 ? ） (YF mtt ?? ,1 ? ； myy ,1 ? ）)( tX 和 )( tY首頁 例 1 袋中放有一個白球，兩個紅球，每隔單位時間從袋中任取一球，取后放回，對每一個確定的 t對應(yīng)隨機變量 ??????時取得白球如果時取得紅球如果tttettX,3)(試求這個隨機過程的一維分布函數(shù)族。 注 如果固定觀測時刻 t，則它的試驗結(jié)果是屬于兩個樣本點（ 0， 1）所組成的樣本空間 如果在二個不同時刻 1t ， 2t 觀測試驗結(jié)果則樣本空間出現(xiàn)的值為（ 0,0） ,（ 0,1） ,（ 1,0） ,（ 1,1） 則 { 21 , xx } 是一個二維隨機變量首頁 三、隨機過程的分類 按參數(shù)集和狀態(tài)分類 參數(shù)集 T的是一個可列集 T={0， 1， 2， …} 離散參數(shù) 連續(xù)參數(shù) 參數(shù)分類 參數(shù)集 T的是一個不可列集 }0|{ ?? ttT狀態(tài)分類 離散狀態(tài) 連續(xù)狀態(tài) )(tX取值是離散的 取值是連續(xù)的 首頁 T離散、 I離散 T離散、 I非離散（連續(xù)） 參數(shù) T狀態(tài) I分類 概率結(jié)構(gòu)分類 2．按過程的概率結(jié)構(gòu)分類 T非離散（連續(xù)） 、 I離散 T非離散（連續(xù)） 、 I非離散（連續(xù)） 獨立隨機過程 獨立增量隨機過程 馬爾可夫過程 平穩(wěn)隨機過程 首頁 （ 1）獨立隨機過程 簡稱獨立隨機過程。說明 1 參數(shù)集 T在實際問題中，常常指的是時間參數(shù)，但有時也用其它物理量作為參數(shù)集。 )()()(tFtft ???? ???? ??ttee于是 ?4．失效率函數(shù) 與分布函數(shù)關(guān)系 )(t? )(tF（ 1）失效率函數(shù) 唯一決定分布 原因是 )()()(tFtFdtdt???首頁 積分得 即 令 得 因而 即 kdtttF t ??? ? )()(l og 0 ?})(e xp {)( 0 dttctF t ?????0?t 1?c})(e xp{)( 0 dtttF t ????})(e xp {1)( 0 dtttF t ?????（ 2） 決定 )(t?)(tF （有的定義可知） 一個概率分布可用它的失效率（如果存在的話）來描述 。三個顧客中 A最后離開郵局的概率是多少？ 例 1 解 考慮 A發(fā)現(xiàn)一個營業(yè)員有空的時刻，此時 B與 C中有一個剛好離開而另一個仍在接受服務(wù)。 返回 首頁 一、指數(shù)分布的定義 第六節(jié) 指數(shù)分布 若連續(xù)型隨機變量 X的概率密度為 分布函數(shù)為 則稱 X具有參數(shù)為 的指數(shù)分布。 解 X的分布律為 所以 )(tX? ）（ XE）（ XDknkkn qpckXP??? ）（?)(tX?knkknnkitk qpce ???0knkitknnkqpec ???? )(0nit qpe )( ??由性質(zhì) 4知 npqpedtdiXE tnit ???? ? 0|)(）（2202222 |)()( pnnpqqpedtdiXEtnit ??????）（故 ）（ XD 22 )][ XEXE （）（ ?? npq?首頁 常見分布的數(shù)學(xué)期望、方差和特征函數(shù) 返回 見教材 首頁 一、條件期望的定義 第五節(jié) 條件期望 離散型 其中