【正文】 )(l i m 1 ininEP???? ? )(l imnn EP???首頁 設(shè) E為隨機(jī)試驗(yàn) ， ?為其樣本空間 ， A、 B 為任意兩個(gè)事件 ， 四 、 條件概率 0?）（ AP）（）（）（APABPABP ?|為事件 A出現(xiàn)的情況下，事件 B的 條件概率 ，或簡稱事件 B關(guān)于事件 A的 條件概率 。 樣本空間的一個(gè) 子集 E。 金融資產(chǎn)定價(jià)之應(yīng)用 隨機(jī) 過程 基礎(chǔ)知識(shí) 基本概念 馬爾可夫過程 隨機(jī)分析 平穩(wěn)過程 鞅和鞅表示 維納過程 Ito定理 基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格 衍生產(chǎn)品定價(jià) 第一章 基 礎(chǔ) 知 識(shí) 第一節(jié) 概 率 第二節(jié) 隨機(jī)變量及其分布 第三節(jié) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 第四節(jié) 矩母函數(shù)和特征函數(shù) 第五節(jié) 條件期望 第六節(jié) 指數(shù)分布 第七節(jié) 收斂性和極限定理 第一節(jié) 概 率 一、基本概念 1．隨機(jī)試驗(yàn) 其結(jié)果在事先不能確定的試驗(yàn)。其中每一個(gè)結(jié)果，稱為 樣本點(diǎn) 。 這樣可定義一個(gè) 新的事件 ，記為 nn E??limiinn EE?????1l i m ? 1?? nn EEiinn EE?????1lim ?1?n1?? nn EE1?n首頁 2．連續(xù)性定理 若 是遞增的或遞減的事件序列， }1{ ?nEn，)l i ml i m nnnnEPEP????? （）（證明 }1{ ?nE n， nF11 EF ? cnncininnEEEEF 111)( ????? ? 1?nnF nEiEni ?則 即 由包含在 中但不在任何 前面的 （ ）中的點(diǎn)組成。 1．定義 兩個(gè) n個(gè) 首頁 2．獨(dú)立性的性質(zhì) 定理 4 若事件 A， B相互獨(dú)立，則 ； ； 分別也相互獨(dú)立 . 定理 5 設(shè)事件 相互獨(dú)立 ， 若其中 任意 個(gè)事件相應(yīng)地?fù)Q成它們的 對立事件 ， 則所得的 n個(gè)事件仍然相互獨(dú)立 。 設(shè) 是離散型隨機(jī)變量 X的 所有可能的取值， 是 的概率： ),2,1( ??kx kkp kxkk pxXP ?? )( ),2,1( ??k則稱上式為 X的 概率分布 或 分布率 。 ?,2,1( ?i),2,1 ??jijji pyYxXP ??? ),(ijjii pxXPp ???? ???1)(則 ijijj pyYPp ???? ???1)(X和 Y相互獨(dú)立 的充要條件是 jiij ppp ?? ?? 首頁 連續(xù)型 若隨機(jī)變量 （ X， Y） 的概率密度為 則 X和 Y相互獨(dú)立 的充要條件是 ),( yxf分別稱為（ X， Y）關(guān)于 X和 Y邊緣概率密度。 同樣 稱為在條件 下，隨機(jī)變量 Y的條件分布律。 例 2（匹配問題） 解 利用表達(dá)式 nXXXX ???? ?21其中 ??????其它個(gè)人拿到自己的帽子如果第，01 iiX即求 EX、 DX 故 因 nXP i /1)1( ??nXE i /1)( ? 22 1)1(1)( nnnnXD i ????首頁 又 ),(C o vji XX )()()( jiji XEXEXXE ??而 ??????其它個(gè)人都拿到自己的帽子個(gè)人與第如果第，01 jiji XX得 }11{)( ???jiji XXPXXE ，}1|1{}1{ ???? iji XXPXP 111 ??? nn故 ),(C o v ji XX )1( 1?? nn21???????n所以 1)( ?XE1)1( 121)( 22 ????? nnCnnXD n)1(12 ?? nn返回 首頁 一、矩母函數(shù) 第四節(jié) 矩母函數(shù)和特征函數(shù) 1．定義 稱 的數(shù)學(xué)期望 為 X的矩母函數(shù) 2．原點(diǎn)矩的求法 tXe ][)( tXeEt ??利用矩母函數(shù)可求得 X的各階矩，即對 逐次求導(dǎo)并計(jì)算在 點(diǎn)的值： )(t? 0?t][)( tXXeEt ??? ][)() tXnn eXEt ?（?][)0() nn XE?（? 首頁 3．和的矩母函數(shù) 定理 1 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 的 矩母函數(shù)分別為 ， ， … ， ， 則其和 的矩母函數(shù)為 rXXX ， ?21)(1 t? )(2 t? )(tr?rXXXY ???? ?21?)(tY? )(1 t? )(2 t? )(tr?… 首頁 例 1 設(shè) X與 Y是獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，各自的均值為 與 ，方差為 與 ，求 X+Y的矩母函數(shù)。 解 由于 所以 ??? ??? ekkXPk?。?)(tX? ?? ???? ekekkitk！0！kee kitk)(0?? ?????iteee ?? ?? ? )1( ?? itee ?首頁 例 3 設(shè)隨機(jī)變量 X服從 [a， b]上的均勻分布 ， 求 X的特征函數(shù) 。設(shè)任一時(shí)刻都等可能地選中其中一個(gè)通道，試問他到達(dá)安全地點(diǎn)平均要花多長時(shí)間。 首頁 通常當(dāng)我們觀察到 時(shí)， 是一切對 Y的估值中均方誤差最小的一個(gè)，我們稱之為 Y關(guān)于 X的回歸 。 如果我們把 X看作某儀器的壽命，則 X的無記憶性表示 : }{}|{ sXPtXtsXP ?????0?ts， 在儀器已工作了 t 小時(shí)的條件下，它至少工作 小時(shí)的概率與它原來至少工作 s 小時(shí)的概率是相同的。還假設(shè)已告訴 A ，一旦 B或 C離開就為他服務(wù)。 2/12/1首頁 三、失效率函數(shù) 指數(shù)變量的無記憶性可有指數(shù)分布的失效率函數(shù)（也稱風(fēng)險(xiǎn)率函數(shù)）進(jìn)一步予以闡明。 事實(shí)上 指數(shù)分布的失效率函數(shù)是常數(shù)。 nX nX均方收斂與以概率 1收斂不存在確定的關(guān)系。它雖然不能用一個(gè)確定的函數(shù)來描述，但也是有規(guī)律的。首頁 2．貝努利過程 設(shè)每隔單位時(shí)間擲一次硬幣，觀察它出現(xiàn)的結(jié)果。 { 0121 或；，； ?? nn xnx ? }首頁 設(shè) P { 1?nx } = p （第 n 次拋擲出現(xiàn)正面的概率） P { 0?nx } = q = 1 ? p （第 n 次拋擲出現(xiàn)反面的概率）其中 P { 1?nx } = p 與 n 無關(guān)，且 ix 、 kx ( ki ? 時(shí) ) 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。首頁 （ 3）馬爾可夫過程 簡稱馬氏過程。 返回 首頁 第二節(jié) 隨機(jī)過程的分布及其數(shù)字特征 一、隨機(jī)過程的分布函數(shù) 一維分布函數(shù) 其分布函數(shù)為 設(shè) { )( tX ， Tt ? } 是一個(gè)隨機(jī)過程，對于固定的 Tt ?1 ， )( 1tX 是一個(gè)隨機(jī)變量， })({)( 1111 xtXPxtF ??； ， Tt ?1稱 )( 11 xtF ； 為隨機(jī)過程 )( tX 的一維分布函數(shù)。 設(shè)隨機(jī)過程 tUtX 2c o s)( ? ，其中 U 是隨機(jī)變量且 5)( ?UE ， 6)( ?UD（ 1） )(tm ]2c o s[)]([ tUEtXE ??][2c o s UtE? t2c o s5?（ 2） ),( 21 ttK )]()()(()([( 2211 tmtXtmtXE ???]2c o s)5(2c o s)5[( 21 tUtUE ????])5[(2c o s2c o s 221 ?? UEtt][2c o s2c o s 21 UDtt? 21 2c o s2c o s6 tt?（ 3） 令 ttt ?? 21得 ttXD 2c o s6)]([ 2?首頁 例 3 解 試求它們的互協(xié)方差函數(shù) 。解 ][)]([ tieEtZE ??? 0][ ?? ?? Ee ti),( 21 ttR ][ 21 titi eeE ?? ?? ??][ 2)( 21 ?? Ee tti ?? )( 21 ttie ?? ?][ 21 titi eeE ?? ?? ???返回 首頁 第四節(jié) 幾種重要的隨機(jī)過程簡介 一、獨(dú)立增量過程 1． 定義 隨機(jī)變量的增量 是相互獨(dú)立的 設(shè) { )( tX , Tt ? } 是一隨機(jī)過程，若對任意正整數(shù) n 及 Ttt n ?,1 ?， ，nn tttt ???? ? 121 ?)()( 12 tXtX ? , )()( 23 tXtX ? ,? , )()( 1?? nn tXtX則稱 )( tX 為獨(dú)立增量的過程首頁 2． 齊次性 或稱時(shí)齊的 注 若對任意的 t ， Tt ?? ? ，增量 )()( tXtX ?? ? 的概率分布只依賴于 ? 而與 t 無關(guān)，則稱隨機(jī)過程 )( tX 為齊次的，若 )( tX 是齊次的，所以只要時(shí)間間隔 ? 相同那么增量服從的分布也相同，具有平穩(wěn)性增量所服從的分布與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)首頁 例 1 證 設(shè) { )( nX ， ?,2,1,0?n } 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，令 )()(0nXiYin???則 { )( iY ， ?,2,1,0?i } 是一個(gè)獨(dú)立增量過程。 設(shè)隨機(jī)過程 { )( tX ， 0?t } 是一個(gè)計(jì)數(shù)過程，（ 1 ） 0)0( ?X（ 2 ） )( tX 是獨(dú)立增量過程首頁 則稱 注意 （ 3 ）對任一長度為 t 的區(qū)間中事件的個(gè)數(shù)服從均值為 t? （ 0?? ）的泊松分布，即對一切 0, ?ts ，有})()({ ksXstXP ??? tkekt ?? ?? !)(?,2,1,0?k)( tX 為具有參數(shù) ? 的泊松過程從條件（ 3）可知泊松過程有平穩(wěn)增量，且 ttXE ??)]([ 并稱 ? 為此過程的生起率或強(qiáng)度 （單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生的事件的平均個(gè)數(shù)） 首頁 說明 要確定計(jì)數(shù)過程是泊松過程，必須證明它滿足三個(gè)條件： 為此給出一個(gè)與泊松過程等價(jià)的定義 滿足 設(shè)隨機(jī)過程 { )( tX ， 0?t } 是一個(gè)計(jì)數(shù)過程，條件 （ 1 ）只是說明事件的計(jì)數(shù)是從時(shí)刻 0?t 開始條件 （ 2 ）通常可從對過程的了解的情況去直接驗(yàn)證然而全然不清楚如何去確定條件 （ 3 ）是否滿足參數(shù)為 ? （ 0?? ），首頁 則稱 )( tX 為具有參數(shù) ? 的泊松過程（ 3 ） )(}1)({ hhhXP ?? ???（ 4 ） )(}2)({ hhXP ???其中 )( h? 表示當(dāng) 0?h 時(shí)對 h 的高階無窮小，（ 1 ） 0)0( ?X（ 2 ）過程有平穩(wěn)與獨(dú)立增量首頁 例 2 顧客到達(dá)某商店服從參數(shù) 4?? 人 /小時(shí)的泊松過程，已知商店上午 9： 00開門，試求到 9： 30時(shí)僅到一位顧客，而到 11： 30時(shí)總計(jì)已達(dá) 5位顧客的概率。對 1?n 和 0121 ??nssst ， ?},|{ 112211 ?? ???? nnn sTsTsTtTP ?內(nèi)沒有事件發(fā)生在 ],({ 1111 tssssP nn ?????? ?? ??},| 112211 ?? ??? nn sTsTsT ?內(nèi)沒