【正文】 dtdWdttvvutvdrv????????????????????另一個簡單例子： ? CIR(1980), Ahn and Gao(1999) )()()())(()()(/。 ? 對二次 —— 高斯模型而言，因為它屬于高斯模型，所以也可以對 LPY進行估計和擬合。 ? 總的來說，同時包括布朗運動和其他運動形式的利率期限結(jié)構(gòu)模型是今后模型的一個發(fā)展方向。（ CVY） （一） LPY的實證方法： ? 第一種，直接對 和 之間的相關(guān)關(guān)系，比較好的模型能夠得出向下的曲線。這就使得模型變得十分復(fù)雜。 1)( ?tSt ??Duarte(2020) ? 假設(shè)： ? 在這條件下，風險價格就可以隨著時間的變化而變化。一般的做法都是通過對狀態(tài)變量的參數(shù)模型設(shè)置進行分析和研究。 tdWdtrMdM tttt ????tr)(tWt?)(),(),()(),),((),),((tdWtYdttYutdYttYttYrrPYPYtt???????一個簡單的證明： ? 時刻 t本身的貼現(xiàn)因子為 1， ? 時刻 t+1的貼現(xiàn)因子為 ? 所以 ? 一般化的式子就是 1?tMtttftttt rrRMEME ?????????? 1)e xp (111,1ttttt rMMME ???? 1dttrMdMEttt )(??在存在 n個不確定性源的條件下， ? 因此， ? 由于不確定性源同隨機貼現(xiàn)因子的協(xié)方差（用比例表示）與不確定性源同瞬時利率的協(xié)方差相反，因此可以表示為： ? 可以表示不確定源對利率的影響程度，因此可以用表示風險的市場價格。但是筆者認為，這種方法是不合適的。 ])([0????jjtjt CUE ?11 )( ?? ?? tttt RCWW動態(tài)優(yōu)化求解 ? 構(gòu)建貝爾曼動態(tài)方程： ? 一階條件為： ? 包絡(luò)條件為 ),)(()(),( 11 ????? tttttttt CRCWVECUCWV ?),()(39。 隨機貼現(xiàn)因子 （ stochastic discount factor） ? 由于債券，包括無違約風險（ default free）債券，屬于資產(chǎn)的一種。 ? 在某個時點 t,利率水平是確定的，因此它和隨機貼現(xiàn)因子之間的協(xié)方差為 0。這方面的思想和工作直接得益于 Dai and Singleton(2020)。()|(39。 ? 如果 就變成 Vasicek 模型。()()()(39。 存在跳躍行為的利率期限結(jié)構(gòu)模型 ? 假設(shè)： ? 代表跳躍風險的市場價格， ? 代表現(xiàn)實世界中跳躍行為的條件均值 ])()()(),([)()39。 ? 而且，美國的數(shù)據(jù)表明，不同時期的波動率形狀會發(fā)生差異，１９７３年之前是駝背狀，１９７３年之后是駝峰狀。 美國的利率波動率和期限對應(yīng)圖 總結(jié)： ? 對利率期限結(jié)構(gòu)模型，選擇的標準是能夠同時有效的預(yù)測LPY和 CVY。因此，如果沒有發(fā)生體制轉(zhuǎn)換，則風險價格為 0，而且，在兩個體制中互相轉(zhuǎn)換的風險價格的絕對數(shù)額應(yīng)該相等。 ? 對現(xiàn)實世界中沒有做出任何假設(shè)，因此，可以對它做出任何假設(shè)，只要能夠保證狀態(tài)變量在現(xiàn)實世界中是線性的。0tdWtbradttrktdrtbratttrtYrYY???????????