【正文】 由于三階中心矩是一個(gè)名 數(shù)，它受到計(jì)量單位的影響。變異系數(shù)（離散系數(shù)）是以相對數(shù)的形式，將各種以絕對數(shù)或平均數(shù)形式表現(xiàn)的變異指標(biāo)與平均數(shù)對比，用于比較不同現(xiàn)象總體或不同水平數(shù)據(jù)的變異程度的情況。其計(jì)算公 式： 與四分位差相類似，還可以計(jì)算八分位差、十六分位 差等，它們的作用都是排除極端數(shù)值對數(shù)據(jù)分布變異情況的 影響。 其次，兩者所依據(jù)的統(tǒng)計(jì)資料屬性不同，各種數(shù)值平均數(shù) 對數(shù)據(jù)的量化尺度要求只能應(yīng)用定距數(shù)據(jù)和定比數(shù)據(jù)，而位置 平均數(shù)則不同，它們還適用于各種定序尺度的數(shù)據(jù)，眾數(shù)甚至 還適用于各種定類數(shù)據(jù)。類似地，還可以定義出四分位數(shù)、八分位數(shù)、十分位數(shù)和百分位數(shù)等。 21kk? 21( ) ( )M k M k?12 ... nx x x? ? ?ix19 第二節(jié) 分布的集中趨勢 —— 位置平均數(shù) 一、眾數(shù)（ ） 眾數(shù)是指在一個(gè)統(tǒng)計(jì)總體或分布數(shù)列中出現(xiàn)頻數(shù)或頻率最 多的所對應(yīng)的標(biāo)志值，用 表示。 12 三、調(diào)和平均數(shù)（ ） 調(diào)和平均數(shù)也有簡單與加權(quán)兩種形式，其計(jì)算公式分別為： 簡單調(diào)和平均數(shù) 加權(quán)調(diào)和平均數(shù) 調(diào)和平均數(shù)也可以看作是 x的倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，故 也稱為倒數(shù)平均數(shù)，由于提供資料的不同，而有算術(shù)平均數(shù) 和調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算形式，但從求平均數(shù)計(jì)算這個(gè)意義上 講，都要符合標(biāo)志值總量除以單位總量的實(shí)質(zhì)要求。 5 x = 1112320niiiniixff?????= （件 / 人） x = 111()nii niiini iiixffxff?????????= （件 / 人） 6 ? 上述由分組數(shù)列計(jì)算的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)大小受兩個(gè)因素影響，一是各組標(biāo)志值的大小，二是各組權(quán)數(shù)或各組權(quán)數(shù)占總權(quán)數(shù)比重（頻率）大小的影響。所謂權(quán)數(shù)，就是各組中的次數(shù)或頻數(shù)，它對平均數(shù)起了權(quán)衡大小的影響，出現(xiàn)次數(shù)多的標(biāo)志值，它對平均數(shù)的影響就大些，出現(xiàn)次數(shù)少的標(biāo)志值，它對平均數(shù)的影響就小些。 H1 2 1() 1 1 1 1...nni innHx x x x???? ? ? ?1 2 112112...()...nininn iin imm m mHmmm mx x x x??? ? ???? ? ???13 [ 例 4 7] 某品種蔬菜在三個(gè)市場的單價(jià)分別為 元、 元、和 元，當(dāng)他們各賣出一元時(shí)，求該品種蔬菜的平均價(jià)格。 確定眾數(shù)，先要對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，形成分組數(shù)列，有單項(xiàng)式分 組數(shù)列和組距式分組數(shù)列，它們確定眾數(shù)的方法也不同。 （一）四分位數(shù) 四分位數(shù)是在二分位數(shù)的基礎(chǔ)上，將數(shù)據(jù)再對半分，分別記為1Q、2Q和3Q，1Q稱為下四分位數(shù)，2Q就是中位數(shù)，3Q稱為上四分位數(shù)。 31 （二）算術(shù)平均數(shù)與眾數(shù)、中位數(shù)的關(guān)系 數(shù)據(jù)的集中趨勢表明數(shù)據(jù)更多的圍繞趨勢值（平均數(shù)）上 下波動分布。 2D.13 Q ??38 四、異眾比率（ ） 它是指非眾數(shù)組的頻數(shù)與全部頻數(shù)之比，更多地用來 反映定類尺度的眾數(shù)的代表性。最常見的變異系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，其計(jì)算公式： V%1 00?? xV ?49 [例 419]有兩個(gè)城市居民人均收入資料，如下表 ? 上表數(shù)據(jù)計(jì)算表明，乙城市的居民人均年收入比甲城市高，標(biāo)準(zhǔn)差也比甲城市高，但從變異系數(shù)來看，甲城市為 %，乙城市為 %，說明乙城市居民年收入的離散程度比甲城市低一些。為消除計(jì)量單位的影響，分布 的偏度由三階矩處以標(biāo)準(zhǔn)差的三次方，公式如下： 當(dāng) 時(shí)，變量分布為對稱分布； 當(dāng) 時(shí)，變量分布為正（右）偏分布； 當(dāng) 時(shí)，變量分布為負(fù)（左）偏分布。通常用三階 中心矩來測定變量分布的偏度。為了消除計(jì)量單位對計(jì)算的影響，對不同的離異指標(biāo)計(jì)算變異系數(shù)。 Rm inm a x xxR ??m inm a x LUR ??maxUminL37 三、四分位差（ ） 它是從變量值中剔除了極端數(shù)值，是上四分位和下四 分位數(shù)值之差后求平均，說明中位數(shù)的代表性。對兩類 平均數(shù)的應(yīng)用，應(yīng)該根據(jù)統(tǒng)計(jì)研究目的和數(shù)據(jù)的特征，分別采 用適合的方法加以分析。從向上累計(jì)和向下累計(jì)的數(shù)據(jù)可看出中位數(shù)在 5000 5500 這一組，對其求中位數(shù)： 下限公式? ? 20015525005000 ???????eM（元） 上限公式? ? 20014525005500 ???????eM（元） 26 三、 其它分位數(shù) 由于中位數(shù)是處于一組數(shù)列的中間位置的標(biāo)志值，能將數(shù)列全部標(biāo)志值分為頻數(shù)相等的兩個(gè)部分，所以中位數(shù)亦可稱為二分位數(shù)（21M）。 在對經(jīng)濟(jì)管理的數(shù)據(jù)分析時(shí)，經(jīng)常遇到各變量值（ ）各 不相等，它就要根據(jù)數(shù)據(jù)的特征而靈活采用不同的平均數(shù)計(jì) 算公式。 上述列表計(jì)算表明： 1( ) 0niixx???? 21()niixx????2 ，21()niixa????5 ，21()niixb????5 即不管 a x 或 b x ，21()niixx???的值總是最小的，這個(gè)性質(zhì)對理解求回歸方程的最小二乘法（最小平方法）的應(yīng)用非常重要。兩者的計(jì)算公式： 簡單算術(shù)平均數(shù) = 加權(quán)算術(shù)平均數(shù) = x總 體 某 標(biāo) 志 值 總 量總 體 單 位 總 量1 2 1...ninixx x xnn?? ? ? ??1 1 2 2 111211...()...nii nn n i iinniniiiixfx f x f x f fxf f f ff????? ? ?? ? ?? ? ?????4 1. 簡單算術(shù)平均數(shù) [ 例 4 1] 車間某班組的 5 個(gè)工人一個(gè)小時(shí)生產(chǎn)零件分別為5 、 4 、 7 、 6 、 8 件，則該班組工人在一個(gè)小時(shí)內(nèi)生產(chǎn)零件的平均數(shù)為： 5 4 7 6 8 3 0655x? ? ? ?? ? ?（件 / 人） 2. 加權(quán)平均數(shù) [ 例 4 2] 某車間 20 個(gè)工人一小時(shí)生產(chǎn)零件的分組資料如下，求每個(gè)工人生產(chǎn)零件的平均數(shù)。簡單算術(shù)平均數(shù)可看成是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的特例，即各組標(biāo)志值的權(quán)數(shù)都是相等。 131. 211111. 20 1. 00 1. 50ni inHx