【正文】 ④⑤⑥ 由④，⑤得 3+6aa22+4aa2，即 a21 。 來源： 09 年高考上海卷 題型：填空題，難度：中檔 集合 }1,12,3{},3,1,{ 22 ??????? mmmNmmM ，若 }3{??NM ? ，則?m _______。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：較難 求 1， 2， 3，?， 100 中不能被 2， 3， 5 整除的數(shù)的個(gè)數(shù)。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：較難 設(shè) A={1， 2， 3， 4， 5， 6}， B={7， 8， 9，??， n}，在 A中取三個(gè)數(shù)， B 中取兩個(gè)數(shù)組成五個(gè)元素的集合 iA ， .201,2,20,2,1 ????? jiAAi ji ?? 求 n 的最小值。 上面得到的 k2k3=6k2個(gè) X 的三元子集組成的族 amp。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：較難 集合 ??? NkkX },6,2,1{ ? ，試作出 X 的三元子集族 amp。 若存在一個(gè)使所給集合的元素個(gè)數(shù)小于 100 的集合 S={a1, a2,? ,a10}，我們計(jì)算 S 的“好子集” {x,y,z,w}的個(gè)數(shù)，這里 xy≤ zw， 且 x+w=y+z. 對(duì) S 中滿足 bc 的數(shù)對(duì)（ b,c）（共 190 對(duì)），考慮它們的差 bc，由于至多有 99 個(gè)不同的差（這里用反證法假設(shè)），故必須至少 91 個(gè)數(shù)對(duì)（ b, c），使得存在 b’, c’ ∈ S， 滿足 b’b, c’c, 且 bc=b’c’，對(duì)這樣的 91 個(gè)數(shù)對(duì)（ b, c），它與其相應(yīng)的 b’, c’ 形成 S 的一個(gè) 4 元集 {b, c, b’, c’}，可得到 S的一個(gè)“好子集” {x, y, z, w}，且至多兩個(gè)數(shù)對(duì)（ b, c）形成相同的子集 {x, y ,z, w}（只能是（ b,c） =(w, z)和（ w, y）），故 S 的“好子集”至少有 46 個(gè)。由此可見，放入每個(gè) Ai的 3 個(gè)數(shù)之和都是 528。 （ 4） C 由四個(gè)元素 xyzt 構(gòu)成，必有 x=1,否則 xyzt≥2345=120yzt=54yzt,2≤yzt。 答案： 首先aa ??11（否則 012 ???aa ，但 041 ???? ），由 SaSa ??? 1 1,得Saa?????11111 1，且 aa??11（理由同上）。 （ 2）若 r=4,5，從 m, m+1 中的奇數(shù)開始分 組，最后余下至少 3 個(gè)數(shù)，且以奇數(shù)開頭。從而 n=?? ????????51 11i ikm =f(m， k)。 ． 答案： （Ⅰ）由 2 02? ??xx 得 22x? ? ? .∴ ? ?22A x x? ? ? ?. 由 21x??.得 13x??.∴ ? ?13B x x? ? ? . （Ⅱ）∵ ? ?22A x x? ? ? ?， U?R ， ∴ ? ? ? ?, 2 2 ,U A ? ?? ? ??240。下面確定 n 與 m、 k的關(guān)系。 只需分 m=6k+1, 6k+3, 6k+5 三類討論即可。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：較難 已知 S 是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，且滿足 1） 2。故此情況不成立。 答案： 將集合 {1， 2，?， 1989}中的數(shù)從小到大順次分成 17 段，每段含 117 個(gè)數(shù)，從第 4 段數(shù)開始，將偶數(shù)段的數(shù)從小到大依次放入 A1， A2， ?， A117 中，并將奇數(shù)段的數(shù)從大到小依次放入這 117 個(gè)子集中，易見，所有集合中的 14 個(gè)數(shù)之 和都相等，于是問題歸結(jié)為如何將前三段數(shù) {1， 2，?， 351}的每 3 個(gè)一組分別放入每個(gè)集中，且使每組 3 個(gè)數(shù)之和都相等。 答案： 所給集合的元素個(gè)數(shù)的最小值為 100。因此，所有 2m個(gè)這 樣的朋友集的元素個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)。由引理可知， A的全部二元子集可分為 2k1組，每組是 A的一個(gè)分劃。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：較難 集合 A， B， C 是 I={1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 0}的子集，（ 1）若 IBA ?? ，求有序集合對(duì)（ A， B）的個(gè)數(shù)；（ 2）求 I 的非空真子集的個(gè)數(shù)?？紤] 3?na ，有23 ??? nn aa 或 ??? nn aa 3 3a ，即 3a =3，于是 123 ???? nn aaaa ，矛盾。 解析 2 {1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 , 7, 8}U ? ，而 ( ) { | ( ) { 2 , 4 , 8 }UUA B n U n A B? ? ?痧 來源： 09 年高考重慶卷 題型： 填空題，難度：容易 若 ? ?3A x R x? ? ?， ? ?21xB x R? ? ?，則 AB? . 答案： （ 0， 3） 【解析】因?yàn)?? ? ? ?| 3 3 , | 0 ,A x x B x x? ? ? ? ? ?所以 (0,3)AB?I 來源： 09 年高考重慶卷 題型：填空題，難度：容易 (文 )設(shè)全集 ? ?1lg|* ????? xNxBAU ，若? ?4,3,2,1,0,12| ????? nnmmBCA U ，則集合 B=__________. 答案： {2， 4， 6， 8} 【解析】 }9,8,7,6,5,4,3,2,1{??? BAU }9,7,5,3,1{?? BCA U }8,6,4,2{?B 來源： 09 年高考天津卷 題型：填空題，難度：中檔 (文） 某班有 36 名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組，已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為 26， 15， 13，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的有 6 人，同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有 4 人，則同時(shí)參加數(shù) 學(xué)和化學(xué)小組的有 人。 答案： 因?yàn)?Aa? ，所以 113 ???aa ，所以 0)1( 2 ??aa ，所以 10 ?? 或a 。又 0?y ，所以 0?x ，所以 yy ??2 。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：填空題，難度：中檔 設(shè)集合 }1995,3,2,1{ ??M ，集合 A滿足： MA? ，且當(dāng) Ax? 時(shí)， Ax?15 ，則A中元素最多有 ___________個(gè)。由題目條件可知每相鄰兩個(gè)數(shù)至多有一個(gè)屬于 S，將這 11 個(gè)數(shù)按連續(xù)兩個(gè)為一組，分成 6 組，其中一組只有一個(gè)數(shù)，若 S 含有這11 個(gè)數(shù)中至少 6 個(gè)，則必有兩個(gè)數(shù)在同一組，與已知矛盾，所以 S 至多含有其中 5 個(gè)數(shù)。 ia 必各不相同，但只能是 2， 3， 4， 5， 6 這 5 個(gè)數(shù)，這不可能，所以 .4?k 20 個(gè) iA 中， B 中的數(shù)有 40 個(gè)，因此至少是 10 個(gè)不同的，所以 16?n 。 答案： 先證 MBA ?)( ? ，若 )( BAx ?? ，因?yàn)?BAMA ?? ? ，所以 MxMAx ?? ,? ，所以 MBA ?)( ? ； 再證 )( BAM ?? ，若 Mx? ，則 .BAMBAx ??? ?? 1）若 Ax? ，則BAMAx ?? ?? ； 2）若 Bx? ，則 BAMBx ?? ?? 。amp。設(shè) T 為這樣的 i組成的集合，易知 s中有 220C 對(duì)（ b,c）滿足 bc，有 20 對(duì)（ b,c）滿足 b=c,所以 ?? ???Ti i Cs 21020220 ，于是? ?? ? ???Ti Ti iii sss )55()1(21 =5（ 210201）。 答案： 設(shè)有 a,b∈ S滿足 (a+b)|ab，記 c=(a, b)，于是 a=ca1, b=cb1，其中 a1, b1∈ N+且有（ a1,b1）=1, a1? b1，不妨設(shè) a1b1。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：較難 集合 S={1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 0}的若干個(gè)五元子集滿足： S 中的任何兩個(gè)元素至多出現(xiàn)在兩個(gè)不同的五元子集中，問：至多有多少個(gè)五元子集？ 答案： 假設(shè)有 9 個(gè)五元子集，重復(fù)計(jì)數(shù)共 59=45 個(gè)元素。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：中檔 集合 A和 B 各含有 12個(gè)元素， BA? 含有 4 個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下列條件的集合 C的個(gè)數(shù)： 1） BAC ?? 且 C 中含有 3 個(gè)元素； 2） ??AC? 。 （ 3）若 r=6，從 m, m+1 中的奇數(shù)開始連續(xù) 6個(gè)整數(shù)為一組，最后余下以奇數(shù)開頭的至少 5 個(gè)整數(shù)，連同第一個(gè)數(shù)（如果第一個(gè)數(shù)為偶數(shù)）作為一組，共分 k+1組。 在（ Ⅰ ）中將 ① 代入 ② 消去 y 得（ 1ax） 2+x2=1. 即（ a2+1） x22ax=0， 所以 x=0 或 x= 122?aa。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：較難 判斷以下命題是否正確：設(shè) A， B 是平面上兩個(gè)點(diǎn)集， }),{( 222 ryxyxC r ??? ，若對(duì)任何 0?r ，都有 BCAC rr ?? ? ，則必有 BA? ，證明你的結(jié)論。由于對(duì)任意 k、 i∈ P且 k≠i，11??ik是無理數(shù)，則對(duì)任意的 k k2∈ P和正整數(shù) m m2， 11 2211 ??? kmkm當(dāng)且僅當(dāng) m1=m2， k1=k2。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：中檔 對(duì)于整數(shù) 4?n ，求出最小的整數(shù) )(nf ，使得對(duì)于任何正整數(shù) m ，集合}1,1,{ ??? nmmm ? 的任一個(gè) )(nf 元子集中，均有至少 3 個(gè)兩兩互質(zhì)的元素。顯然， 14個(gè)子集中每一個(gè)都不存在兩個(gè)元素滿足題中不等式。 所以 r∈ Q+,所以 S? Q+，所以 S=Q+. 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：較難 求集合 B 和 C，使得 }10,2,1{ ?? ?CB ，并且 C 的元素乘積等于 B 的元素和。 否則，設(shè) S1， S2， S3 中的最小正元素為 a，不妨設(shè) a∈ S1，設(shè) b 為 S2， S3中最小的非負(fù)元素，不妨設(shè) b∈ S2，則 ba∈ S3. 若 b0, 則 0≤bab，與 b 的取法矛盾，所以 b=0。則 T 中任何兩數(shù)都不能成為滿足要求的數(shù)對(duì)（ a,b）?？梢宰C明：每個(gè) A， k 都為偶數(shù)。這樣， X1 的全部 )12(22 ?? nnC n 個(gè)二元子集被分成 2n1 組，且每組 n 個(gè)集合構(gòu)成 X1的一個(gè)分劃?；?jiǎn)得?208)1( 2 ??? bk ⑤，所以 2?b 。 令 naaa ???? ?210 ，則 .2 )1( ?? nnan 所以必存在某兩個(gè)下標(biāo) ji? ，使得 1??? nji aaa ，所以 1111 ?? ???? nnn aaaa 或21 aaa nn ??? ，即 12?a ，所以 1,2 )1( 1 ???? ? nnn aanna 或 2 )1( ?? nnan ， 12?a 。 （ 2） }107,32|{)( ????? xxxBAC R ? （ 3） 3?a 來源： 09 年江蘇高郵月考一 題型：解答題，難度：中檔 (文）某班共 30 人，其中 15 人喜愛籃球運(yùn)動(dòng)， 10 人喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)， 8 人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛，則喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為 __________ 答案： 設(shè)所求人數(shù)為 x ，則只喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為 10 (15 ) 5xx? ? ? ?，