【正文】 ?? 。 把這些數(shù)中 3的倍數(shù)抽出來從大到小排好： {351， 348， 345，?， 6， 3}，共 117 個(gè)數(shù)，依次將入 A1， A2， ?， A117 中，其余的 234 個(gè)數(shù)從小到大排列并分成兩段，每段 117個(gè)數(shù)，即 {1， 2， 4， 5， 7，?， 173， 175}和 {176， 178， 179，?， 349， 350}，將這兩段數(shù)分別順次放入 A1， A2， ?， A117之中便滿足要求。 而 a+b≤ 99，即 c（ a1+b1）≤ 99，所以 3≤ a1+b1≤ 9。 首先，令 ai=1011+10i, a10+i=101110i(i=1,2,?， 10)，則 {ai+aj|≤ i≤ j≤ 20}中共有（ 20+19+?+1） 10+1=201 個(gè)不同的元素，而 {aiaj||1≤ i≤ j≤ 20}={210i}i=1， 2，?， 10}∪ {|10i? 10j||1≤ ij≤ 10}共有 10+2 210C =100 個(gè)不同的元素。當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，有 n38 ，所以 8?n ，當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，有138 ?n ，所以 5?n ，當(dāng) 5?n 時(shí)，集合 {1， 11， 4}， {2， 13， 5}， {3， 15， 6}， {9， 12，7}， {10， 14， 8}滿足條件，所以 n 的最小值為 5。從而在 2n1 個(gè)人（ A除外）中，必有一個(gè)人在偶數(shù)個(gè)這樣的朋友集中出現(xiàn)，但與 A的公共朋友數(shù)為偶數(shù)。 答案： 先證明下面的引理。將其中一組重復(fù)一次，得到 A的 2k個(gè)分劃，讓其中每個(gè)分劃與 B 的一個(gè)元素搭配作出 k 個(gè) X 的三元子集。 ⅰ）若 0?k ，則③有實(shí)根，所以 0?k 。 答案： （ 1）集合 I可劃分為三個(gè)不相交的子集； A\B， B\A， IBA ,? 中的每個(gè)元素恰屬于其中一個(gè)子集， 10 個(gè)元素 共有 310 種可能，每一種可能確定一個(gè)滿足條件的集合對，所以集合對有 310個(gè)。 答案： 將 I 的子集作如下配對：每個(gè)子集和它的補(bǔ)集為一對，共得 12?n 對，每一對不能同在這k 個(gè)子集中，因此， 12?? nk ；其次，每一對中必有一個(gè)在這 k 個(gè)子集中出現(xiàn)，否則，若有一對子集未出現(xiàn)，設(shè)為 C1A與 A，并設(shè) ??1AA? ，則 ACA 11 ? ，從而可以在 k 個(gè)子集中再添加 AC1 ，與已知矛盾，所以 12?? nk 。因此32 ??? nn aa ，所以 1221 1 aaaa nn ???? ?? ，這又矛盾，所以只有 22 aan ?? ，所以 4?n 。 因?yàn)?CCA ?? ，所以 AC? ，若 ??C ，則 082 ???? m ，即 2222 ??? m ，若 ??C ，則 C?1 或 C?2 ，解得 .3?m 綜上所述， 2?a 或 3?a ； 3?m 或 2222 ??? m 。 答案： 8. 解析 :由條件知 ,每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組 ,故不可能出現(xiàn)一名同學(xué)同時(shí)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組 , 設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)構(gòu)成的集合分別為 ,ABC ,則( ) 0c ar d A B C? ? ?. . ( ) 6 , ( ) 4c ard A B c ard B C? ? ? ?, 由公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c ard A B C c ard A c ard B c ard C c ard A B c ard A C c ard B C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 易知 36=26+15+1364 ()card A C? 故 ()card A C? =8 即同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有 8 人 . 來源： 09 年高考陜西卷 題型：填空題，難度：中檔 已知集合 ? ?|1A x x??， ? ?|B x x a??，且 A B R?? ，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是______________________ 答案： a≤ 1 【解析】因?yàn)?A∪ B=R，畫數(shù)軸可知，實(shí)數(shù) a必須在點(diǎn) 1 上或 在 1 的左邊，所以，有 a≤ 1。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：填空題，難度：較難 設(shè)集合 A={5,log2(a+3)},集合 B={a,b}.若 A∩B={2}, 則 A∪B= . 答案： {1,2,5} 來源： 04 年上海 題型：填空題，難度：中檔 集合 A={(x， y)｜ y=a│x│}，集合 B={(x， y)｜ y=x+a}，若集合 A∩B中有 2個(gè)元素，那么 a的取值范圍是 ________________． 答案： a＞ 1或 a＜ 1 來源： 題型：填空 題，難度：中檔 集合 }01{},06{ 2 ??????? mxxMxxxP ，且 PM? ，則滿足條件的 m 值構(gòu)成的集合為 ___________。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：填空題，難度：中檔 集合 ??????? xBxxRxA {},06|{ 2 R| }2|2| ??x ，則 BA? = . 答案： }30|{ ?? xx 來源： 05 年重慶 題型：填空題 ，難度：中檔 設(shè) a, b 是整數(shù)，集合 A={(x,y)|(xa)2+3b≤ 6y}，點(diǎn)（ 2， 1） ∈ A，但點(diǎn)（ 1， 0） ? A，（ 3，2） ? A 則 a,b 的值是 _________. 答案： a=b=1。 答案： B 的非空真子集有 6223 ?? 個(gè)，一般地，由乘法原理可知 n 元集合的了集有 n2 個(gè)。 答案： 因?yàn)?A=B 且 022 ??yx ，所以 0?xy 。 答案： 乘法 來源： 1 題型：填空題，難度：較難 已知集合 }01{},023{ 2 ??????? axxNxxxM ，若 MN? ，則由滿足條 件的實(shí)數(shù) a 組成的集合 P=___________。但當(dāng) 0?m時(shí)， }3{}3,1{ ????NM ? ，所以 1??m 。 （ 2） }107,32|{)( ????? xxxBAC R ? （ 3） 3?a 來源： 09 年江蘇高郵月考一 題型：解答題，難度：中檔 (文）某班共 30 人，其中 15 人喜愛籃球運(yùn)動(dòng)， 10 人喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)， 8 人對這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛，則喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為 __________ 答案： 設(shè)所求人數(shù)為 x ，則只喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為 10 (15 ) 5xx? ? ? ?， 故 15 5 30 8 12xx? ? ? ? ? ?. 注：最好作出韋恩圖！ 來源： 09 年高考湖南卷 題型：填空題，難度：容易 (文） 設(shè)集合 A=(x∣ log2x1), B=(x∣ 21??xx 1), 則 A B? = . 答案： ? ?| 0 1xx?? . 【解析】易得 A=? ?| 0 2xx?? B=? ?| 2 1xx? ? ? ∴ A∩ B=? ?| 0 1xx??. 來源： 09 年高考湖北卷 題型：填空題，難度：中檔 某班共 30人，其中 15 人喜愛籃球運(yùn)動(dòng)， 10 人喜愛兵乓球運(yùn)動(dòng)， 8 人對這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛，則喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為 ___ 答案： 12 【解析】設(shè)兩者都喜歡的人數(shù)為 x 人，則只喜愛籃球的有 (15 )x? 人，只喜愛乒乓球的有 (10 )x? 人，由此可得 (15 ) (10 ) 8 30x x x? ? ? ? ? ?，解得 3x? ，所以 15 12x?? ，即所求人數(shù)為 12 人。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 S 是集合 {1， 2，?， 2020}的子集， S 中的任意兩個(gè)數(shù)的差不等于 4 或 7，問 S 中最多含有多少個(gè)元素？ 答案： 將任意連續(xù)的 11 個(gè)整數(shù)排成一圈如右圖所示。 令 naaa ???? ?210 ，則 .2 )1( ?? nnan 所以必存在某兩個(gè)下標(biāo) ji? ，使得 1??? nji aaa ，所以 1111 ?? ???? nnn aaaa 或21 aaa nn ??? ，即 12?a ，所以 1,2 )1( 1 ???? ? nnn aanna 或 2 )1( ?? nnan ， 12?a 。若不然，數(shù) m 出現(xiàn) k 次（ 4?k ），則 .123 ?k 在 m 出現(xiàn)的所有 iA 中，至少有一個(gè) A中的數(shù)出現(xiàn) 3 次，不妨設(shè)它是 1，就有集合 {1， 121 , bmaa } },1{},1{ 365243 bmaabmaa ，其中 61, ??? iAai ，為滿足題意的集合?；喌?208)1( 2 ??? bk ⑤，所以 2?b 。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 設(shè) A， B是兩個(gè)集合，又設(shè)集合 M滿足 BAMBMA ??? ?? ， BAMBA ??? ?求集合 M（用 A， B 表示）。這樣， X1 的全部 )12(22 ?? nnC n 個(gè)二元子集被分成 2n1 組，且每組 n 個(gè)集合構(gòu)成 X1的一個(gè)分劃。中的一個(gè)三元子集包含； （ 2） ）k 的元素個(gè)數(shù)表示 amp?？梢宰C明：每個(gè) A， k 都為偶數(shù)。 注意到，對于每個(gè) i, S中的每個(gè)元素 s 至多出現(xiàn)在上面的一個(gè)數(shù)對（ b, c）中（事實(shí)上，當(dāng) s≤ is 時(shí)， s 出現(xiàn)在數(shù)對（ s, is）中，其余情況出現(xiàn)在（ is, s）中），于是 si≤ 0?is時(shí) 1 ≤ si≤ 10，故 55)1(21 ???iii sss，由于集合 {ai+aj|1≤ i≤ j≤ 20}中有 201 個(gè)不同的元素，故使得 si≥ 1 的正數(shù) i有 201 個(gè)。則 T 中任何兩數(shù)都不能成為滿足要求的數(shù)對（ a,b）。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：中檔 設(shè)集合 S={1， 2， … ， 50}，求最小自然數(shù) k ，使 S 的任意一個(gè) s 元子集中都存在兩個(gè)不同的數(shù) a 和 b，滿足 abba )( ? 。 否則，設(shè) S1， S2， S3 中的最小正元素為 a，不妨設(shè) a∈ S1，設(shè) b 為 S2， S3中最小的非負(fù)元素，不妨設(shè) b∈ S2，則 ba∈ S3. 若 b0, 則 0≤bab，與 b 的取法矛盾，所以 b=0。 綜上可知， B， C 有 3 組解。 所以 r∈ Q+,所以 S? Q+，所以 S=Q+. 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 求集合 B 和 C，使得 }10,2,1{ ?? ?CB ，并且 C 的元素乘積等于 B 的元素和。另一方面， }21,1,2{ ??S 滿足條件，故 S 至少含有 3 個(gè)元素。顯然， 14個(gè)子集中每一個(gè)都不存在兩個(gè)元素滿足題中不等式。由引理可知一共至多取出4k+r14k+r=g(n)+1 個(gè)數(shù)，矛盾。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：中檔 對于整數(shù) 4?n ，求出最小的整數(shù) )(nf ，使得對于任何正整數(shù) m ，集合}1,1,{ ??? nmmm ? 的任一個(gè) )(nf 元子集中，均有至少 3 個(gè)兩兩互質(zhì)的元素。 來源： 07 年全國高中數(shù)學(xué)競賽 題型：解答題，難度：較難 已知集合 }1),{(},1),{(},1),{( 22 ????????? yxyxCayxyxByaxyxA ，問：當(dāng) a 取何值時(shí)， C