【正文】 小組的人數(shù)分別為 26， 15， 13，同時參加數(shù)學(xué)和物理小組的有 6 人，同時參加物理和化學(xué)小組的有 4 人，則同時參加數(shù) 學(xué)和化學(xué)小組的有 人。 答案： （ 1） }102|{ ??? xxBA ? 。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 },023{ 2 ???? xxxA },01{ 2 ???? aaxxxB 02{ 2 ???? mxxxC }，若CCAABA ?? ?? , ，求 .,ma 答案： 依題設(shè)， }2,1{?A ，再由 012 ???? aaxx 解得 1??ax 或 1?x ， 因為 ABA ?? ，所以 AB? ，所以 Aa ??1 ，所以 11??a 或 2，所以 2?a 或 3。 答案： 記 }）2（2,1001{},100,3,2,1{ xxxxAI 記為整除能被且???? ? ， }5,1001{},3,1001{ xxxCxxxB ?????? ，由容斥原理， CBA ?? CBAACCBBACBA ????? ??????? ??????????????? 31002100 7430100151001010061005100 ??????????????????????????????????? ，所以不能被 2， 3，5 整除的數(shù)有 26?? CBAI ?? 個?？紤] 3?na ，有23 ??? nn aa 或 ??? nn aa 3 3a ，即 3a =3，于是 123 ???? nn aaaa ，矛盾。下證當(dāng) 5?n 時，不存在 naaa , 21 ? 滿足條件。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 給定集合 },3,2,1{ nI ?? 的 k 個子集： kAAA , 21 ? ，滿足任何兩個子集的交集非空，并且再添加 I 的任何一個其他子集后將不再具有該性質(zhì)，求 k 的值。 答案： .16min ?n 設(shè) B 中每個數(shù)在所有 iA 中最多重復(fù)出現(xiàn) k 次，則必有 4?k 。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 集合 A， B， C 是 I={1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 0}的子集，（ 1）若 IBA ?? ，求有序集合對（ A， B）的個數(shù)；（ 2）求 I 的非空真子集的個數(shù)。 2 ?????? bk 。 答案： 假設(shè)存在這樣的 Nbk ?, ，則 ??CBA ?? )( ，所以 ???? ??? ?? 012 xybkxy ①與???? ?? ???? bkxy yxx 05224 2 ②均無解，由①得 ?01)12( 222 ????? bxkbxk ③。滿足題設(shè)要求。由引理可知， A的全部二元子集可分為 2k1組，每組是 A的一個分劃。 連接 2n 與 1，作 n1 條以 2n1 邊形頂點(diǎn)為端點(diǎn)且垂直于 1 與2n 連線的線段，便得到 X1 的 n 個二元子集構(gòu)成 X1的 n 個二元子集。 2? 。滿足： （ 1） X 的任意一個二元子集至少被族 amp。因此，所有 2m個這 樣的朋友集的元素個數(shù)之和為偶數(shù)。 答案： 證明：用反證法：設(shè) S 為一個由 2n 個人組成的集合， S 中每兩個人的公共朋友數(shù)為奇數(shù)， S 中的任意一個人 A，記 M={F1，?， Fn}為 A的朋友集。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 集合 {1， 2，?， 3n}可以劃分成 n 個互不相交的三元集合 },{ zyx ，其中 zyx 3?? ，求滿足條件的最小正整數(shù) 答案： 設(shè)其中第 i 個三元集為 ,2,1},{ nizyx ii ?? 則 1+2+? + ???ni izn 1 ,43 所以 ???? ni iznn142)13(3 。 另一方面， S 的“好子集” {x, y, z,w}的個數(shù)等于 ? ? )1(21ii ss，這里的 si為 S中滿足b+c=I, b≤ c 的數(shù)對（ b, c）的個數(shù)，其中 i 為正整數(shù)。 答案： 所給集合的元素個數(shù)的最小值為 100。令 T=SM。又由于（ a1+b1, a1） =1, （ a1+b1, b1） =1, 因此 a1+b1|c。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 某人寫了 n 封信，同時寫了 n 個信封，然后將信任意裝入信封，問：每封信都裝錯的情況有多少種？ 答案： 本題使用錯位排列，因此每封信都裝錯的情況有 n! ?????? ?????? n ！?。。?n 1)1(3121111 ?種。 答案： 將集合 {1， 2，?， 1989}中的數(shù)從小到大順次分成 17 段，每段含 117 個數(shù)，從第 4 段數(shù)開始，將偶數(shù)段的數(shù)從小到大依次放入 A1， A2， ?， A117 中，并將奇數(shù)段的數(shù)從大到小依次放入這 117 個子集中，易見，所有集合中的 14 個數(shù)之 和都相等，于是問題歸結(jié)為如何將前三段數(shù) {1， 2，?， 351}的每 3 個一組分別放入每個集中，且使每組 3 個數(shù)之和都相等。 當(dāng)三個集合中的元素都為零時，命題顯然成立。 所以由抽屜原理可知必有 1 個元素出現(xiàn)在三個五元子集中，不 妨設(shè) 1 出現(xiàn)在 A1， A2，A3中，則 0， 1 同時出現(xiàn)在 3 個子集中，不滿足題意，故五元子集數(shù) ≤8。如（ 3），當(dāng) y≥3時無解，故 y=2,2zt+z+t= (2z+1)(2t+1)=105，解得z=3,t=7,從而 C={1， 2， 3， 7}， B={4， 5， 6， 8， 9， 10}。故此情況不成立。 由已知若 r∈ S，因為 0?r ，若 r0，則 r∈ Q+,所以 r∈ S 矛盾。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 S 是 Q 的子集且滿足：若 Qr? ，則 0, ???? rSrSr 恰有一個成立，并且若SbSa ?? , ，則 SbaSab ??? , ，試確定集合 S。所以aaa 11,1 1, ??互不相同，所以 S至少含有 3 個元 素。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 已知 S 是由實數(shù)構(gòu)成的集合，且滿足 1） 2。 表 1 表 2 ????????????564228145541271354402612453117344301624329151141312321AAAAAA 4228145541271354402612453117344301624329151141312321AAAAAA????? 如表 2，第 i行的數(shù)即為子集 Ai中的元素，這時 |Ai|=4(i=1,2,? ,13)， |A14|=3。 綜上所述，假設(shè)不成立。以奇數(shù)開頭的連續(xù) 3 個正整數(shù)兩兩互質(zhì)，從而必有 1 個沒被取出。 只需分 m=6k+1, 6k+3, 6k+5 三類討論即可。 所以 a 的取值范圍是 11 ??? a 。 解得 a=0 或 a=1。因此對任意 n∈ N*，存在 m∈ N*， k∈ P，使得 f(m， k)=n。下面確定 n 與 m、 k的關(guān)系。 證明：定義集合 A={ 1?km |m∈ N*， k∈ P}，其中 N*為正整數(shù)集。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：中檔 設(shè)集合 P={1， 2， 3， 4， 5}，對任意 k∈ P 和正整數(shù) m，記 f(m， k)=?? ?????? ??51 11i ikm ，其中 [a]表示不大于 a的最大整數(shù)。 . ∴ ? ? ? ?2, 3U AB?240。 ． 答案： （Ⅰ）由 2 02? ??xx 得 22x? ? ? .∴ ? ?22A x x? ? ? ?. 由 21x??.得 13x??.∴ ? ?13B x x? ? ? . （Ⅱ）∵ ? ?22A x x? ? ? ?， U?R ， ∴ ? ? ? ?, 2 2 ,U A ? ?? ? ??240。 答案： 不正確，取 }0,),{(},),{( ????? xxyyxBxyyxA 且滿足條件，但 BA? 。求證：對任意正整數(shù) n，存在 k∈ P 和正整數(shù) m，使得 f(m， k)=n。對于任意的正整數(shù) n，設(shè)此數(shù)列中第 n 項為 1?km 。從而 n=?? ????????51 11i ikm =f(m， k)。 當(dāng) x=0 時 y=1，當(dāng) x= 122?aa時， y= .1122aa?? 所以（ Ⅰ ）的解集為 .11,12),1,0( 222 ?????? ???????? ??? aaa a 在（ Ⅱ ）中將 ③ 代入 ④ 解（ Ⅱ ）得 ,1 2,11),0,1( 222?????? ???????? ??? aaaa （ 1）若（ A∪ B） ∩C含有 2 個元素，因為（ 0， 1），（ 1， 0） ?（ A∪ B） ∩C， 所以（ A∪ B） ∩C中只含有這兩個元素，從而 ????????????111012222aaaa或????????????011112222aaaa。 答案： ?。┤?0?a ，則由 )}0,0{(0 ????? ?? BACxyy ?得； ⅱ）若 0?a ，由??????axyxay 得 )0(,)1( ??? xaxa 或 )0()1( ???? xaxa ； 所以當(dāng)且僅當(dāng) 11 ??? a 時， C 為單元素集。 引理：當(dāng) m 為奇數(shù)時，從 {m, m+1, m+2, m+3, m+4}中任意取出 4 個元素，必有 3 個兩兩互質(zhì)。 （ 2）若 r=4,5，從 m, m+1 中的奇數(shù)開始分 組，最后余下至少 3 個數(shù)，且以奇數(shù)開頭。由引理可知，每組至多取出 4 個數(shù)，一共至多取出 4(k+1)4k+5=g(n)+1 個數(shù)，矛盾。 答案： 構(gòu)造數(shù)表表 表 2 如下。 42≤ 34 a. 綜上所述，所求 m 的最小正整數(shù)為 56。 答案： 首先aa ??11（否則 012 ???aa ，但 041 ???? ），由 SaSa ??? 1 1,得Saa?????11111 1，且 aa??11（理由同上）。 答案： 若 1?AC? ，則有 741212 28 ???? C 種；若 2?AC? ，則有 411128212 ????C種；若 3?AC? ，則有 21011312 ???C 種，故滿足條件的 C 共有 1084 個。 所以若 r∈ Q,則設(shè) ,mnr? m,n∈ N+. 因為 n∈ S， m1 ∈ S，所以 r∈ S，所以 Q+? S。 （ 1） C由一個元素構(gòu)成，因為 C 的元素乘積不超過 10， B 的元素和至少為 5510=45。 （ 4） C 由四個元素 xyzt 構(gòu)成，必有 x=1,否則 xyzt≥2345=120yzt=54yz