【正文】 所以1,1 ????? yxy 。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：填空題，難度：較難 已知集合 A={1， 3， 5， 7}， B={2， 3， 4， 5， 6}，則 A∩B=_________． 答案： {3， 5 來源： 題型：填空題，難度：容易 若實(shí)數(shù) a 為常數(shù)，且 ??????????? ????? axaxxAa 則,1112___________。 答案： 用 n(A)表示集合 A所含元素的個數(shù)。 . 答案： ? ?2,4,8 . 解法 1 {1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 , 7, 8}U ? ，則 {1 , 3 , 5 , 7 } , { 3 , 6 , 9 } ,AB??所以{1, 3, 5, 7, 9}AB? ，所以 ( ) {2, 4, 8}U AB ?240。又因?yàn)?2020=182 11+2，所以 S一 共至多含有 182 5+2=912個元素，另一方面，當(dāng) },2 0 0 4,10,7,4,2,1,11{ NkrttkrrS ?????? 時，恰有 912?S ，且 S 滿足題目條件，所以最少含有 912 個元素。 （ⅱ）若 1,2 )1(2 ??? anna n，考慮 2?na ，有 12 ??? nn aa 或 32 aaa nn ??? ，即 23?a ，這時 1223 aaaa ??? ，推出矛盾，故 21 ??? nn aa 。當(dāng) 16?n 時，如下 20 個集合滿足要求： {1， 2， 3， 7， 8}， {1， 2， 4， 12， 14}， {1， 2， 5， 15， 16}， {1， 2， 6， 9，10}， {1， 3， 4， 10， 11}， {1， 3， 5， 13， 14}， {1， 3， 6， 12， 15}， {1， 4， 5， 7，9}， {1， 4， 6， 13， 16}， {1， 5， 6， 8， 11}， {2， 3， 4， 13， 15}， {2， 3， 5， 9，11}， {2， 3， 6， 14， 16}， {2， 4， 5， 8， 10}， {2， 4， 6， 7， 11}， {2， 5， 6， 12，13}， {3， 4， 5， 12， 16}， {3， 4， 6， 8， 9}， {3， 5， 6， 7， 10}， {4， 5， 6， 14，15}。所以 1?k ，反之 2,1 ?? bk 時，④，⑤均成立，從而①，②無解，所以存在 2,1 ?? bk 滿足條件。所以 ).( BAM ?? 綜上， 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 設(shè)集合 A= },01),{( 2 ??? xyyx B={ 05224),( 2 ???? yxxyx }C= }),{( bkxyyx ?? ， 問：是否存在 Nbk ?, ，使得 ??CBA ?? )( ，并證明你的結(jié)論。 令 A={1， 2，?， 2k}， B={2k+1,2k+2,? ,4k}， C={4k+1,4k+2,? ,6k}。(6amp。 設(shè) k=2m，現(xiàn)在考慮每個 Fi∈ M，他的所有朋友集不包括 A，但不局限于 M 中他的這樣的朋友數(shù)為奇數(shù)（因?yàn)?Fi的朋友數(shù)為偶數(shù)，而 A不算在內(nèi)）。這與 s 的“好子集”至少有 46 個矛盾，所以，所給集合中至少有 100 個不同的元素。故所求的最小自然數(shù) k=39. 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 設(shè) 2021 , aaa ? 是 20 個兩兩不同的整數(shù)，且整合 }201{ ???? jiaa ji 中有 201 個不同的元素，求集合 }201{ ???? jiaaji中不同元素個數(shù)的最小可能值。由于 a+b=c(a1+b1), ab=c2a1b1，因此（ a1+b1） |ca1b1。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 求證：集合 {1， 2， … ， 1989}可以劃分為 117 個互不相交的子集 )117,2,1( ??iAi ，使得（ 1）每個 iA 恰有 17 個元素；（ 2）每個 iA 中各元素之和相同。 因?yàn)?45=410+5，由抽屜原理，必有一個元素出現(xiàn)在至少 5 個五元子集中，不妨設(shè) 0出現(xiàn)在五元子集 A1， A2， A3， A4， A5中，這 5 個子集中除 0 外，重復(fù)計數(shù)還含有共 45=20個元素，因?yàn)?20=29+2。 （ 1） C由一個元素構(gòu)成，因?yàn)?C 的元素乘積不超過 10， B 的元素和至少為 5510=45。 答案： 若 1?AC? ，則有 741212 28 ???? C 種；若 2?AC? ，則有 411128212 ????C種；若 3?AC? ，則有 21011312 ???C 種，故滿足條件的 C 共有 1084 個。 42≤ 34 a. 綜上所述，所求 m 的最小正整數(shù)為 56。由引理可知，每組至多取出 4 個數(shù)，一共至多取出 4(k+1)4k+5=g(n)+1 個數(shù)，矛盾。 引理：當(dāng) m 為奇數(shù)時，從 {m, m+1, m+2, m+3, m+4}中任意取出 4 個元素，必有 3 個兩兩互質(zhì)。 當(dāng) x=0 時 y=1，當(dāng) x= 122?aa時， y= .1122aa?? 所以（ Ⅰ ）的解集為 .11,12),1,0( 222 ?????? ???????? ??? aaa a 在（ Ⅱ ）中將 ③ 代入 ④ 解（ Ⅱ ）得 ,1 2,11),0,1( 222?????? ???????? ??? aaaa （ 1）若（ A∪ B） ∩C含有 2 個元素，因?yàn)椋?0， 1），（ 1， 0） ?（ A∪ B） ∩C， 所以（ A∪ B） ∩C中只含有這兩個元素，從而 ????????????111012222aaaa或????????????011112222aaaa。對于任意的正整數(shù) n，設(shè)此數(shù)列中第 n 項(xiàng)為 1?km 。 答案： 不正確，取 }0,),{(},),{( ????? xxyyxBxyyxA 且滿足條件，但 BA? 。 . ∴ ? ? ? ?2, 3U AB?240。 證明：定義集合 A={ 1?km |m∈ N*， k∈ P}，其中 N*為正整數(shù)集。因此對任意 n∈ N*，存在 m∈ N*， k∈ P，使得 f(m， k)=n。 所以 a 的取值范圍是 11 ??? a 。以奇數(shù)開頭的連續(xù) 3 個正整數(shù)兩兩互質(zhì)，從而必有 1 個沒被取出。 表 1 表 2 ????????????564228145541271354402612453117344301624329151141312321AAAAAA 4228145541271354402612453117344301624329151141312321AAAAAA????? 如表 2，第 i行的數(shù)即為子集 Ai中的元素，這時 |Ai|=4(i=1,2,? ,13)， |A14|=3。所以aaa 11,1 1, ??互不相同，所以 S至少含有 3 個元 素。 由已知若 r∈ S，因?yàn)?0?r ，若 r0，則 r∈ Q+,所以 r∈ S 矛盾。如（ 3），當(dāng) y≥3時無解，故 y=2,2zt+z+t= (2z+1)(2t+1)=105，解得z=3,t=7,從而 C={1， 2， 3， 7}， B={4， 5， 6， 8， 9， 10}。 當(dāng)三個集合中的元素都為零時，命題顯然成立。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 某人寫了 n 封信，同時寫了 n 個信封，然后將信任意裝入信封，問：每封信都裝錯的情況有多少種？ 答案： 本題使用錯位排列，因此每封信都裝錯的情況有 n! ?????? ?????? n ?。。?！ n 1)1(3121111 ?種。令 T=SM。 另一方面， S 的“好子集” {x, y, z,w}的個數(shù)等于 ? ? )1(21ii ss，這里的 si為 S中滿足b+c=I, b≤ c 的數(shù)對（ b, c）的個數(shù)，其中 i 為正整數(shù)。 答案： 證明：用反證法：設(shè) S 為一個由 2n 個人組成的集合， S 中每兩個人的公共朋友數(shù)為奇數(shù)， S 中的任意一個人 A，記 M={F1，?， Fn}為 A的朋友集。滿足： （ 1） X 的任意一個二元子集至少被族 amp。 連接 2n 與 1，作 n1 條以 2n1 邊形頂點(diǎn)為端點(diǎn)且垂直于 1 與2n 連線的線段，便得到 X1 的 n 個二元子集構(gòu)成 X1的 n 個二元子集。滿足題設(shè)要求。 2 ?????? bk 。 答案： .16min ?n 設(shè) B 中每個數(shù)在所有 iA 中最多重復(fù)出現(xiàn) k 次，則必有 4?k 。下證當(dāng) 5?n 時，不存在 naaa , 21 ? 滿足條件。 答案： 記 }）2（2,1001{},100,3,2,1{ xxxxAI 記為整除能被且???? ? ， }5,1001{},3,1001{ xxxCxxxB ?????? ，由容斥原理， CBA ?? CBAACCBBACBA ????? ??????? ??????????????? 31002100 7430100151001010061005100 ??????????????????????????????????? ，所以不能被 2， 3，5 整除的數(shù)有 26?? CBAI ?? 個。 答案： （ 1） }102|{ ??? xxBA ? 。 答案： 因?yàn)?}3{??NM ? ，所以 33 ???m 或 312 ???m ，即 0?m 或 1??m 。那么 M 對于____________運(yùn)算（填寫你熟悉的運(yùn)算法）是封閉的。由④，⑥得 a21+2a2+4aa2，即 a23 .綜上所述， 2123 ???? a ，所以 a=1. 由①得 3b≤ 3，即 b≤ 1，由②得 3b4，即 b34 ,所以 34 b≤ 1，所以 b=1，所以a=b=1. 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題二 題型：填空題，難度：較難 集合 }0,{},{ 2222 yxyxBxyyxyxA ?????? ，且 A=B，則??yx ___________。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：填空題，難度：中檔 。由題意得 ??????????????03)1(.123)3(63)2(222bababa ①②③ 即 ?????????????????????aaabaabaaab21)1(363342)2(6322222。 答案： }3,2{ ??P ，若 0?m ，則 0, ???? mPM 若 ，則 21 ??mx 或 3??x ，所以所求集合為?????? ? 21,31,0。 來源： 09 年高考上海卷 題型：填空題，難度：容易 (文）設(shè) A是整數(shù)集的一個非空子集，對于 kA? ，如果 1kA?? 且 1kA?? ，那么 k是 A的一