高中數(shù)學(xué)423直線與圓的方程的應(yīng)用教案新人教a版必修2(專業(yè)版)
【正文】 2 . ∴x y的最大值為 1+ 2 ,最小值為 1 2 . 點評 :從 “ 數(shù) ” 中認識 “ 形 ”, 從 “ 形 ” 中認識 “ 數(shù) ”, 數(shù)形結(jié)合相互轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)思維的 基本方法之一 .“ 數(shù)學(xué)是一個有機 的統(tǒng)一體 ,它的生命力的一個必要條件是所有的各個部分不可分離地結(jié)合 .”( 希爾伯特 )數(shù)形結(jié)合的思維能力不僅是中學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的主要標(biāo)志之一 ,而且也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本能力 .本題是利用直線和圓的知識求最值的典型題目 . 例 3 已知圓 O的方程為 x2+y2=9,求過點 A(1,2)所作的弦的中點的軌跡 . 活動： 學(xué)生回想求軌跡方程的方法與步驟 ,思考討論 ,教師適時點撥提示 ,本題可利用平面幾何的知識 . 解法一 :參數(shù)法 (常規(guī)方法 ) 設(shè)過 A 的弦所在的直線方程為 y2=k(x1)(k 存在時 ),P(x,y),則??? ??? ?? ),2( ,922 kkxy yx 消y,得 (1+k2)x2+2k(2k)x+k24k5=0. ∴x 1+x2=1)2(2 2 ??kkk. 利用中點坐標(biāo)公式及中點在直線上 ,得??????????????12,1)2(22kkykkkx(k 為參數(shù) ). ∴ 消去 k得 P 點的軌跡方程為 x2+y2x2y=0,當(dāng) k 不存在時 ,中點 P(1,0)的坐標(biāo)也適合方程 . ∴P 的軌跡是以點 (21 ,1)為圓心 , 25 為半徑的圓 . 解法二 :代點法 (涉及中點問題可考慮此法 ) 設(shè)過點 A的弦 MN,M(x1,y1),N(x2,y2). ∵M 、 N在圓 O上 ,∴?????????.9,922222121yxyx .∴ 相減得 (x1+x2)+2121 xx yy ?? 178。(4)xy的最值 . 活動： 學(xué)生思考或交流 ,教師引 導(dǎo) ,數(shù)形結(jié)合 ,將代數(shù)式或方程賦予幾何意義 . 解 :(x2)2+(y3)2=1 表示以點 C(2,3)為圓心 ,1為半徑的圓 . (1)xy 表示圓 C上的點 P(x,y)與坐標(biāo)原點 O(0,0)連線的斜率 k, 故當(dāng) y=kx為圓 C的切線時 ,k得最值 . ∵21|32| kk?? =1,∴k=2177。 ② 動靜結(jié)合 :動中有靜 ,靜中有動 ,幾何條件 —— 曲線方程 —— 圖形性質(zhì) 。對于圓的弦長 ,還可以利用勾股定理求得 ,即|AB|= 22 dr ? ,其中 r為圓半徑 ,d為圓心到弦的距離 . 變式訓(xùn)練 設(shè)圓滿足 ① 截 y 軸所得弦長為 2,② 被 x 軸分成兩段弧 ,弧長之比為 3∶1, 在滿足條件①② 的所有圓中 ,求圓心到直線 l:x2y=0的距離最小的圓的方程 . 圖 4 解 :關(guān)鍵確定圓心坐標(biāo)和半徑 .如圖 4. 設(shè)圓心 A(a,b),則半徑 r= 2 |b|. 由截 y軸的弦長為 2,知 a2+1=r2=2b2, 又圓心 A到 l的距離 d=51|a2b|, ∴5d 2=a2+4b24ab≥a 2+4b22(a2+b2)=2b2a2=1,當(dāng)且僅當(dāng) a=b時等號成立 . 這里由?????????,2,1,2222rbraba解得??????????????????.2,1,12,1,1rbarba或 ∴ 圓的方程為 (x1)2+(y1)2=2或 (x+1)2+(y+1)2=2. 例 2
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