【正文】 應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問(wèn)題 例：已知x0,y0且+=1，求使不等式x+y179。1246。232。230。ab（a,b206。xy當(dāng)且僅當(dāng)19y9x=1，可得x=4,y=12時(shí)，(x+y)min=16。(x+y)179。tt15因?yàn)閥=t+在區(qū)間[1,+165。2248。評(píng)注：本題無(wú)法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。 2＝2x1x232。R+且+=1，求x+：此題若能靈活變形，運(yùn)用重要不等式求最值，：用判別式法轉(zhuǎn)換為一個(gè)未知數(shù)利用判別式 解法二：換元法令x=acsc2a,y=bsec2a 解法三：轉(zhuǎn)換為一個(gè)字母利用基本不等式求解ab解法四：利用x+y=(x+y)(+)xy11變形：已知a,b,x,y206。b248。1111aaabc上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得1時(shí)取等號(hào)。231。x4＋ ≤ 224已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝3x ＋2y ＋ba 2＋b2解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，≤，本題很簡(jiǎn)單3x ＋2y≤23x）2＋（2y）2 ＝23x＋2y ＝25解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過(guò)平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。x=y，在1+9179。2233。評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開(kāi)或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開(kāi)再利用不等式求最值。248。44x554x248。2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”）xxx0，則+179。R*，則a+b179。R且ab0，則下列不等式中，恒成立的是（）2A、a+b2abB、a+b179。0，b179。（年銷售收入=年生產(chǎn)成本的150%+年廣告費(fèi)的50%）（1）試將羊皮手套的年利潤(rùn)L（萬(wàn)元）表示成為年廣告費(fèi)x（萬(wàn)元）的函數(shù)。________2a+ba2+b22ab已知a,b都是正數(shù)，則ab,的大小順序是，22a+b________________靈活變式：a2+b2ab2；(a+b)2a+b222 ；a+b2ab_____()2a+b2a2+b2()22；(a+b)2_____4ab；ba+179。為保證安全行駛，要求在這條408公路上行駛著的兩車之間保持的“安全距離”為“剎車距離”再加25米，現(xiàn)假設(shè)行駛在這條公路上的汽車的平均車身長(zhǎng)為5米，每輛車均以相同的速度v行駛，并且每?jī)奢v車之間的間隔均是“安全距離”。3 22給出下列不等式：①a+1179。若對(duì)任意x0,22x163。）231。2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”bababaa+b2a2+,b206。1解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。0,247。2)，則y==1=t+(t179。(0,p)y=2x+,x3,(x0)()(3)（1）y=（2）sinxx3x2．已知0x1，求函數(shù)y3．0x.；，求函數(shù)yab+b=2，則3+： 3和3都是正數(shù)，3+3≥23a3b=3a+b=6ababababab當(dāng)3=3時(shí)等號(hào)成立，由a+b=2及3=3得a=b=1即當(dāng)a=b=1時(shí)，3+3的最小值是6．變式：若log4x+log4y=2，求+,y的值xy技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。y9x19正解：∵x0,y0,+=1，\x+y=(x+y)231。4+(2x1)+(52x)=8又y0，所以0y163。1247。230。xy條件：m≤(x+y)的最小值，m206。R，則ab163。0，則x+1179。Qx,\54x0，\y=4x2+=231。2231。技巧四：換元解析二：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。,+165。在1+9y179。 ＝x2y ＝10＋23x 求證：231。解：Qa、b、c206。247。16，m206。a248。c述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得1230。179。=時(shí)取等號(hào)。t＝8∴ ab≤18∴ y≥當(dāng)且僅當(dāng)t＝4，即b＝3，a＝6時(shí)，等號(hào)成立。y9x190,+=1，\x+y=(x+y)231。(0,p),x3(3)y=2sinx+,(x0)（2）y=2x+（1）y=sinxx3x2．已知0條件求最值 x1，求函數(shù)y.；3．0x，求函數(shù)y=3.+b=2，則3a+分析：“和”到“積”是一個(gè)縮小的過(guò)程，而且3解： 當(dāng)3a3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值，3a和3b都是正數(shù)，3a+3b≥23a3b=3a+b=6=3b時(shí)等號(hào)成立，由a+b=2及3a=3b得a=b=1即當(dāng)a=b=1時(shí)，3a+3b的最小值是6．11變式：若log4x+log4y=2，求+,y的值xy技巧六：整體代換多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。t(t179。206。54x評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。2即+179。(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”(3)若a,b206。)+2y=1,x、y206。231。232。230。xyxyxy變式：（1）若x,y206。(x+y)179。)為單調(diào)遞增函數(shù)，故y179。當(dāng),即時(shí),y179。9解：∵0x∴32x0∴y=4x(32x)=22x(32x)163。湊項(xiàng)，∵x511246。2(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)179。2ab(2)若a,b206。x+12.（2013天津數(shù)學(xué)）設(shè)a + b = 2, b0, 則當(dāng)a = ______時(shí),考向二、利用均值不等式證明簡(jiǎn)單不等式例已知x0,y0,z0，求證：（變式訓(xùn)練已知a,b,c都是實(shí)數(shù)，求證：a+b+c179。2(a,b同號(hào)）aba2+b2a+b2a+b2179。xy（3）已知正數(shù)x,y滿足2x+8yxy=0, 求x+y的最小值變式：（1）正數(shù)x,y滿足19+=1，求x+y的最小值 xy（2）若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,求ab的取值范圍題型二：例（1）已知x51，求函數(shù)y=4x2+的最大值 44x510+7x+x2（2）已知x1，求函數(shù)y=的最小值 x+1題型三：證明不等式例3．已知a,