【正文】 Ax=0, 其中A 為m*n 矩陣，R(A)=r法1：U=rref(A), 選定自由變量，得到一組基礎(chǔ)解系法2：z=null(A)% z的列向量為Ax=0的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。238。238。233。OO249。233。A2性質(zhì)：(1)detA=(detA1)(detA2)L(detAs)(2)A可逆219。nT233。A21B11+B21233。00C11LC1r249。As1LAstl233。 234。0030234。=234。234。234。011249。1235。233。0222。234。detA1=1． detA(6)An180。0時(shí), 亦稱(chēng)A為非奇異矩陣；detA=0時(shí), 亦稱(chēng)A為奇異矩陣．推論1 對(duì)于An180。n的共軛矩陣記作A=(aij)m180。ALa2n同理將D中第二列的元素a a b2，12，22 換成常數(shù)項(xiàng)b1，可得到另一個(gè)行列式，用字母D2表示，于是有按二階行列式的定義，它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和：a11b2b1a21，這就是公式（2）中x2的表達(dá)式的分子。A的n個(gè)特征值全為正；219。即（三、習(xí)題P181T1T3T4167。n248。231。c22Lc2n247。x1=c11y1+c12y2+L+c1nyn239。x2247。為了便于用矩陣討論二次型，令aij=aji，則二次型為：f(x1,x2,...,xn)=a11x12+a12x1x2+L+a1nx1xn+2 a21x2x1+a22x2+L+a2nx2xn+.................................................2 an1xnx1+an2xnx2+L+annxn=230。ni=1i=n。 0是A的特征值；A可逆219。定義7：若P為正交矩陣，則線(xiàn)性變換y=Px稱(chēng)為正交變換。cosq248。令[a2,b1]b；L；[b1,b1]1[a,b][a,b][ar,br1]b。講教材P132 例3和例4三、習(xí)題P134 T1 T2(1)T3 T4 T5 T6 T7 T8 P141 總復(fù)習(xí)題：T1 T2 T4 T5 T6至T13第五章 特征值和特征向量矩陣的對(duì)角化教學(xué)目標(biāo)與要求，掌握施密特正交化方法和正交矩陣的性質(zhì) ，掌握它們的性質(zhì)及其求法 ，掌握相似矩陣的性質(zhì)，熟悉實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化方法 教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn) 167。：若向量組B能由向量組A線(xiàn)性表示，則向量組B的秩不大于向量組A的秩。 向量組的秩一、向量組的等價(jià)定義1：設(shè)有向量組A:a1,a2,L,am；向量組B:b1,b2,L,bs，若向量組A中的每一個(gè)向量都能由向量組B線(xiàn)性表示，則稱(chēng)向量組A能由向量組B線(xiàn)性表示。定理2：向量組a1,a2,L,am(m179。一個(gè)線(xiàn)性方程組Am180。a247。232。167。因R(A)=R(B)=23，所以方程組有無(wú)窮多解。231。230。174。248。230。9238。(k206。8246。0108/3247。248。247。R(A)=R(A,B)二、線(xiàn)性方程組的解法236。231。00063a0247。00112a2247。12a3246。00231。247。21113246。1,R(A)=n1239。R(A,B)163。1200231。初等列變換190。求逆矩陣的基本方法初等變換法：(A|E)190。O232。231。230。247。174。231。1247。248。248。232。247。231。35246。13247。0時(shí)，A可逆； 247。又(AB)(AB)*=ABE，所以(AB)*=AB(AB)1=ABB1A1=BB1AA1=B*A*230。0；當(dāng)A可逆時(shí)，A=11* A，其中A*為A的伴隨矩陣。231。a22La2n247。231。231。247。a21或231。MM231。MM247。231。231。10246。232。230。247。的乘積AB與BA。j=1,2,L,n)k=1s記為Cm180。M234。247。n。它主要適用于理論推導(dǎo)。 克拉默法則一、克拉默法則定理1：含有n個(gè)未知數(shù)x1,x2,L,xn與n個(gè)方程的線(xiàn)性方程組236。三、行列式的性質(zhì)設(shè)n階矩陣A=(aij)n180。21M231。311322333a11稱(chēng)D=A=detA=a21a13246。236。 247。MMMM247。二、矩陣的初等行(列)變換①交換兩行(列)； ②某行(列)乘k倍；③某行(列)乘k倍加至另一行(列)。j=1,2,L,n)排成的m行n列的數(shù)表230。21令x2=c1,x4=c2，得方程組的通解為237。231。230。00333247。1解：2121246。0101247。0016247。20018246。174。2131246。231。230。239。解：237。為增廣矩陣。a11231。 線(xiàn)性方程組的基本概念一、基本概念定義：m個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的線(xiàn)性方程組為如下形式：236。Lamn247。m1am2Lamn二、線(xiàn)性方程組的消元法b1246。2x1x2+3x3=1239。x1=9239。3從上面可以看出，整個(gè)消元過(guò)程和回代過(guò)程都只與x1,x2,x3的系數(shù)有關(guān)，且僅用了以下3種變換：①交換兩行；②某行乘k倍；③某行乘k倍加至另一行（即初等行變換）。231。248。174。232。 231。其中231。例2：解方程組237。24115247。248。00111247。x3=1+x4236。五、習(xí)題P11 T1(2)T2167。247。00L00L0246。0L00L0248。a21x1+a22x2=b2232。ax+ax+ax=b231。a11231。即n階行列式是指n!項(xiàng)取自不同行不同列的n個(gè)元素乘積的代數(shù)和。即ai1Aj1+ai2Aj2+L+ainAjn(i185。0，那么它只有零解；如果齊次線(xiàn)性方程組有非零解，那么它的系數(shù)行列式D=0。La2n247。231。la11234。n矩陣C=(cij)m180。231。2247。8BA=231。247。230。00247。f(A)=a0Am+a1Am1+L+am1A+amE仍為一個(gè)n階方陣，四、習(xí)題P61 T2(3)(4)(5)(8)T3T4T6167。247。l0L231。231。231。231。231。231。247。 逆矩陣一、逆矩陣定義：對(duì)于n階方陣A，如果有一個(gè)n階方陣B，使AB=BA=E則稱(chēng)A是可逆的，并把矩陣B稱(chēng)為A的逆矩陣，記為B=A。0，則lA可逆，且(lA)1111=A；1=lA1；1③若A,B均為n階可逆方陣，則AB也可逆，且(AB)④若A可逆，且AB=AC，則B=C； ⑤若A可逆，則A也可逆，且(A)T； =B1A1（穿脫原理）T1=(A1)T；⑥若A可逆，則A也可逆，且(A*)1=(A1)*；⑦若A可逆，則(A*)T=(AT)*；1⑧若A可逆，則A=A1*⑨若A,B均為n階可逆方陣，則(AB)*=B*A*（穿脫原理）證明： ①因?yàn)锳A1=E，由推論可知，(A1)1=A②因?yàn)閘A1lA1=AA1=E，由推論可知，(lA)=11lA11③(AB)(B1A1)=A(BB1)A1=AEA1=AA1=E，由推論有，(AB)11④因?yàn)锳可逆，則AAB=AAC，即EB=EC，故B=C=B1A1⑤AT(A1)T=(A1A)T=ET=E，由推論有，(A)⑥因?yàn)锳可逆，故A1T1=(A1)T=1*AA1A，且A*=A*=E，從而(A*)1=A； AAAA1又A(A)=(A)A11*1*=A1E，即(A1)*=AA1E=1A A所以(A)*1=(A1)*。db246。246。1230。247。232。n247。1246。231。2A1246。232。247。231。0246。21247。三、初等變換求逆矩陣定理2：對(duì)任意一個(gè)m180。AE由定理4可知，方陣A可逆219。190。1111例：A=231。231。R(A)=n236。*(3)若R(A)n1，則A的任意一個(gè)n1階子式都為零。230。231。1231。231。231。247。nx=0有非零解219。231。231。0247。x1=8x4230。247。232。0021246。231。231。248。0010247。232。05247。247。231。247。a=0② 兩個(gè)向量a,b的向量組線(xiàn)性相關(guān)219。i163。推論3：一個(gè)向量組的任意兩個(gè)最大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相等。nx=b(2)性質(zhì)1：若h1,h2都是Ax=b的解，則h1h2是Ax=0的解。若正交向量組中的每一個(gè)向量都是單位向量，則稱(chēng)此向量組為規(guī)范正交向量組或標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。2/61/61/6247。j238。aii=1i=1nnii，其中229。A的每個(gè)k重特征值l對(duì)應(yīng)有k個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量（或R(AlE)=nk）。ni個(gè)（i=1,2,L,s）講教材P164 例1和例2四、習(xí)題P167 T1T2T4 P167 總復(fù)習(xí)題：T1 T2 T3 T4 T5 T6；T8 T9 T10 T11T12 T13 T14 T15 T16第六章 特征值和特征向量矩陣的對(duì)角化 教學(xué)目標(biāo)與要求，了解矩陣的合同關(guān)系，以及用配方法、正交變換法和初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，掌握二次型正定的判別方法 教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn) 167。247。T則二次型f(x1,x2,K,xn)=xAx，其中A為對(duì)稱(chēng)矩陣。c232。247。231。（2）正交變換法定理：任給二次型f(x)=xTAx，總存在正交矩陣Q，使QTAQ=Q1AQ=L，其中L=diag(l1,l2,L,ln)，l1,l2,L,ln是A的全部特征值。R(A)=R(B)，且A與B的正慣性指數(shù)相同 二、二次型的正定性定義1：設(shè)實(shí)二次型f(x)=f(x1,x2,L,xn)=xTAx，若對(duì)任意x185。在線(xiàn)性代數(shù)中，將含兩個(gè)未知量?jī)蓚€(gè)方程式的線(xiàn)性方程組的一般形式寫(xiě)為（1）用加減消元法容易求出未知量x1，x2的值，當(dāng)時(shí)，有（2）這就是二元方程組的解的公式。an1a12a22Lan2La1n249。0充分性．已知detA185。n都可逆222。0222。20541249。234。111234。26233。4444=234。234。1234。n234。kAs1LkAsr234。235。1234。234。B11233。 O233。023235。X2237。2237。b c a]：zeros(m,n)zeros(n)ones(m,n)ones(n)eye(n)magic(n)rand(m,n)randn(n)% 產(chǎn)生（0,1）區(qū)間均勻分布的隨機(jī)矩陣：round(A)% 表示對(duì)矩陣A中所有元素進(jìn)行四舍五入 length(A)% 返回A的長(zhǎng)度（列數(shù)）size(A)% 返回Ａ的尺寸，行數(shù) 列數(shù) A(i,j)% 引用矩陣A的第i行第j列元素(1).+*.*(2).轉(zhuǎn)置 A’(3).方陣的冪：A^3A=[a1,a2,a3 ](1).U=rref(A)% U為A的行最簡(jiǎn)形(2).[U,s]=rref(A)% U為A的行最簡(jiǎn)形, s為首非零元所在列組成的向量(3).rrefmovie(A)% 返回A的行最簡(jiǎn)形，且給出每一步化簡(jiǎn)過(guò)程情形1。（或先寫(xiě)出以U為增廣矩陣的同解方程組也可。 =234。Em=234。233。m與Bn180。00249。A1234。A11234。LAsr234。234。E0AB=234。Bt1LBtrB11LB1r249。235。A2201010143314234。233。112 9解并項(xiàng)：(A*2E)X=A1左乘A： [(detA)E2A]X=Et=4計(jì)算：deAX=(4E2A)1=1(2EA)12233。235。234。234。n可逆, 且Cm180。114(AB)*=B*A*．證(AB)*=[det(AB)](AB)1=[(detA)(detB)][B1A1]=[(deBt)B1][(deAt)A1]=B*A*負(fù)冪：A可逆, 定義A0=E, Ak=(A1)k(k=1,2,L), 則有AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl(k,l為整數(shù))233。detAdetB=1222。n, 若有Bn180。12234。（二）定義： 我們稱(chēng)記號(hào)為三階行列式。存在可逆矩陣P，使A=PTP219。190。若C185。247。LLL247。為由變量x1,x2,L,xn到變量y1,y2,L,yn.......................................239。LL247。a21記A=231。 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似矩陣1一、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值性質(zhì)定理1：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。A不含零特征值。特征方程：Ax=lx219。1/31/31/3247。231。0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立定義2：令x=[x,x]=22x12+x2+L+xn，稱(chēng)為n維向量x的長(zhǎng)度（或范數(shù)）。即矩陣的秩等于它的行向量組的秩也等于它的列向量組的秩。命題2：若矩陣A經(jīng)過(guò)初等行(列)變換變成B，則矩陣A的列(行)向量組與矩陣B的列(行)向量組等價(jià)。推論1：當(dāng)向量的個(gè)數(shù)等于向量的維數(shù)時(shí)，向量組A線(xiàn)性相關(guān)的充要條件是A=0；向量組A線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件是A185。例：任何一個(gè)n維向量a=(a1,a2,L,an)都可以由n維單位向量組：Te1=(1,0,0,L,0)T，e2=(0,1,0,L,0)T，L，en=(0,0,L,0,1)T線(xiàn)性表示。230。①n維向量的相等；②零向量；③負(fù)向量；④加法；⑤數(shù)乘二、向量組的線(xiàn)性組合定義：由若干個(gè)同維的列向量(或行向量)所組成的集合，稱(chēng)為一個(gè)向量組。1矩陣230。xx236。0010247。1121246。231。0031247。0131247。lx1+lx2+2x3=1239。3247。231。013231。232。174。2x1+5x2+3x3=0239。248。232。解：A174。的秩為3，求a的值0115247。232。231。例求A=231。0；由AA=AE知A=An1185。R(A)+1⑦ R(A+B)163。248。174。190。247。A=B 01232。13246。232。231。230。248。1247。231。其中Ai與Bi(i=1,2)是同階的子方塊，則 247。 分塊矩陣和初等矩陣一、分塊矩陣設(shè)An180。247。246。X=231。db246。231。0167。an2Lann248。231。A,i=jai1Aj1+ai2Aj2+L+ainAjn=237。A21LAn1246。MM247。231。三角矩陣0246。n180。231。232。解：（1）A=231。12248。00246。231。232。n（A的列數(shù)等于B的行數(shù)）。la22Lla2n231。Lamn247。n個(gè)數(shù)aij(i=1,2,L,m。2112222nn2237。④拆和：若D中某行（列）的元皆為兩項(xiàng)之和，則D等于兩個(gè)行列式的和。m1a12a22Mam2La1n246。a33247。Dx1=D1那么（2）可以表示為237。四、習(xí)題P18T1(4)(5)T2(1)T3 P19 總復(fù)習(xí)題：T3T4第二章行列式教學(xué)目標(biāo)與要求、逆序數(shù)的概念，掌握n階行列式的定義及其重要性質(zhì) ，掌握范德蒙德行列式的結(jié)論 教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn) 167。Er0L10L0247。1231。a21A=231。238。248。12012246。00333247。230。00318247。232。231。 231。230。2026247。2131246。x2=1，237。x2x3=5；239。bm247。M231。2112222nn(1)237。La2n247。MMM231。1236。2x1x2+3x3=1236。3238。B=231。232。174。248。174。247。三、小結(jié)例1告訴我們求解一般的線(xiàn)性方程組的基本方法：對(duì)其增廣矩陣B進(jìn)行3種初等行變換，把它變?yōu)樾须A梯形