【正文】 內(nèi)部差異較大 ? ? 因此 ， 在抽樣前對(duì)學(xué)生按本科生和研究生進(jìn)行分層是有必要的 。2023/3/26 1 第三章 分層隨機(jī)抽樣 第一節(jié) 分層隨機(jī)抽樣的定義 、 使用場(chǎng)合以及符號(hào) 第二節(jié) 估計(jì)量及其性質(zhì) 第三節(jié) 樣本量的分配原則 第四節(jié) 樣本量的確定 第五節(jié) 分層抽樣的若干問(wèn)題 2023/3/26 2 第一節(jié) 引 言 一 、 定義 ? 在抽樣之前 ， 先將總體 N個(gè)單元?jiǎng)澐殖?L個(gè)互不重復(fù)的子總體 ， 每個(gè)子總體稱為層 ， 它們的大小分別為 ， 這個(gè)層合起來(lái)就是整個(gè)總體 ， 然后 ， 在每個(gè)層中分別獨(dú)立地 進(jìn)行抽樣 ， 這種抽樣就是分層抽樣 ， 所得到的樣本稱為分層樣本 。 2023/3/26 6 三、符號(hào)說(shuō)明 (關(guān)于第 h層的記號(hào) ) ? 層號(hào) h L? 1 2, , ,?Nhnhi yhiW NNh h?f nhh?Y yhhhiiN h???11y n yhhhiin h???11 ? ?S N y Yhhhi hiN h2 2111? ? ??? ? ?s n y yh h hi hin h2 2111? ? ???單元總數(shù) 樣本單元數(shù) 第 個(gè)單元的值 層權(quán) 抽樣比 總體均值 樣本均值 總體方差 樣本方差 2023/3/26 7 第二節(jié) 估 計(jì) 量 一、對(duì)總體均值的估計(jì) ? 分層樣本 ， 總體均值 的估計(jì) ? 分層隨機(jī)樣本 ， 總體均值 的簡(jiǎn)單估計(jì) ? ? ?Y W YN N Yst h hhLh hhL? ?? ?? ?1 11y W y N N yst h hhLh hhL? ?? ?? ?1 11YY2023/3/26 8 估計(jì)量的性質(zhì) ? 性質(zhì) 1：對(duì)于一般的分層抽樣 ， 如果 是 的無(wú)偏估計(jì) （ ） ， 則 是 的無(wú)偏估計(jì) 。費(fèi)用比較省 ? 則對(duì)這一層的樣本量要多分配一些 。單元數(shù)較多 ? ? 例如 ， 某高校對(duì)學(xué)生在宿舍使用電腦的情況進(jìn)行調(diào)查 ，根據(jù)經(jīng)驗(yàn) ， 本科生和研究生擁有電腦的狀況差異較大 。 ? 如果每層都是獨(dú)立按照簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣進(jìn)行 ， 則稱為分層隨機(jī)抽樣 N N L1 2, , ,?N NhhL???1不重不漏 2023/3/26 3 作用 ? 分層抽樣的抽樣效率較高 ， 也就是說(shuō)分層抽樣的估計(jì)精度較高 。 的方差為： ? 只要對(duì)各層估計(jì)無(wú)偏 ， 則總體估計(jì)也無(wú)偏 。 C c c nh hhL? ???01nnW S cW S cN S cN S ch h h hh h hhLh h hh h hhL? ?? ?? ?1 12023/3/26 35 （二） Neyman（內(nèi)曼）分配 ? 如果每層抽樣的費(fèi)用相同 ， 最優(yōu)分配可簡(jiǎn)化為 ? 這種分配稱為 Neyman分配 。 2023/3/26 33 ? 對(duì)所有層成立時(shí)， 達(dá)到極小 ? ?222201 1 1L L Lhhh h h hh h hWWV C V S C c S c nNn? ? ????? ? ? ? ?????? ? ?VC??hhhhWSnKc? 11LL hhhhhhWSn n Kc??????nnW S cW S cN S cN S ch h h hh h hhLh h hh h hhL? ?? ?? ?1 1? ? ? ? ? ? 222h h h ha b a b?? ? ?hhh hWSa n?h hb c n? h h h hhh h hh h hc n n cb Ka W SW S n? ? ?常數(shù) 2023/3/26 34 ? 簡(jiǎn)單線性費(fèi)用函數(shù) ， 總費(fèi)用 由此得出下面的行為準(zhǔn)則 ， 如果某一層 ? ? 為提高抽樣效率 ， 再對(duì)汽車按噸位分層 。 這是因?yàn)榉謱映闃庸烙?jì)量的方差只和層內(nèi)方差有關(guān) ，和層間方差無(wú)關(guān) 。 ? 各層可以采用不同的抽樣方法 ， 只要相應(yīng)的估計(jì)量是無(wú)偏的 ， 則對(duì)總體的推算也是無(wú)偏的 。 這時(shí) ， 達(dá)到最小 。 ? 總體比例的估計(jì)是 p p n apro p hhL? ???1? ? ? ?V y W V y W nn fn S fn W Spro p h hhLhh hhhhLh hhL? ? ? ? ?? ? ?? ? ?2121211 1? ?V p fNn N P QN fn W P Qprop h h hhhLh h hhL? ? ? ? ?? ?? ?1 1 121 1? ?NSWnSWyVLhhhLhhhprop???? ?? 12122023/3/26 32 二、最優(yōu)分配 （ 一 ） 最優(yōu)分配 ? 在分層隨機(jī)抽樣中 ， 如何將樣本量分配到各層 ， 使得總費(fèi)用給定的條件下 ， 估計(jì)量的方差達(dá)到最小 ， 或給定估計(jì)量方差的條件下 ， 使總費(fèi)用最小 ， 能滿足這個(gè)條件的樣本量分配就是最優(yōu)分配 。 ? 各省再將省內(nèi)擁有的汽車按經(jīng)濟(jì)成分分層 。 ? 分層抽樣不僅能對(duì)總體指標(biāo)進(jìn)行推算 ，而且能對(duì)各層指標(biāo)進(jìn)行推算 。 ?YhYhh L? 1 2, , ,??YstY?Yst ? ? ? ?V Y W V Yst h hhL? ???? 212023/3/26 9 證明性質(zhì) 1 由于對(duì)每一層有 因此 ， 估計(jì)量的方差 由于各層是獨(dú)立抽取的