【正文】 R,( ???函數(shù) ): vuvu dd)(d ???? ???.ddd 2v vuuvvu ???????? 隱函數(shù)的求導公式 4 解 0)e2e(d ???? zxy z)(de xyxy ???? zz d)2e(yxxyz zxyzxyd)2e( ed)2e( ed ??????xz?? ,2ee???zxyyyz?? .2ee???zxyx例 4 ,0e2e ???? zxy z已知 .yzxz ???? 和求zd2? zzde? 0?)dd(e xyyxxy ?? 通過全微分求所有一階偏導數(shù) , 比鏈導法則求偏導數(shù)有時會顯得靈活方便 . 將方程的兩邊求全微分 隱函數(shù)的求導公式 5 解 ?zd設函數(shù) f (u)可微 , )4(,21)0( 22 yxfzf ???? 則且在點 (1, 2)處的全微分 ?)2,1(d z)4( 22 yxf ??]d)4(d)[4( 2222 yxyxf ????)d2d8)(4( 22 yyxxyxf ????)2,1(zd )d4d8)(0( yxf ???.d2d4 yx ??全微分形式不變性 224 yx ? )(d 全微分的 運算法則 隱函數(shù)的求導公式 6 隱函數(shù)在實際問題中是常見的 . 平面曲線方程 空間曲面方程 空間曲線方程 下面討論如何由 隱函數(shù)方程 0),( ?yxF0),( ?zyxF?????0),(0),(zyxGzyxF如 求偏導數(shù) . 隱函數(shù)的求導公式 7 一個方程的情形 *方程組的情形 (了解 ） 小結 思考題 implicit function 隱函數(shù) 的求導公式 多元函數(shù)微分法及其應用 隱函數(shù)的求導公式 8 一、一個方程的情形 在一元函數(shù)微分學中 , 現(xiàn)在利用復合函數(shù)的 鏈導法則 給出隱函數(shù) )1(0),( ?yxF的求導法 . 并指出 : 曾介紹過隱函數(shù) (1)的求導公式 , 隱函數(shù)存在的一個充分條件 . .ddxz求1. 由二元方程 F(x, y) = 0確定一元隱函數(shù) y = f (x), 隱函數(shù)的求導公式 9 隱函數(shù)存在定理 1 設二元函數(shù) F (x, y)在點 P (x0, y0)的某一鄰域內滿足 : ,0),( 00 ?yxF y。 11。 它滿足條件 y0 = f (x0), 則方程 F (x, y) = 0在點 P (x0, y0)的某一鄰域內恒 隱函數(shù)的求導公式 (2) (3) 能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù) (證明從略 )僅推導公式 . 將恒等式 兩邊關于 x求導 , ),( xF由 鏈導法則 , 得 )(xf 0?y = f (x), 隱函數(shù)的求導公式 10 ,),( 連續(xù)由于 yxF y ,0),( 00 ?yxF y且,0),( ?yxF y),(),(ddyxFyxFxyyx?? 或簡寫 : .ddyxFFxy ??于是得 所以存在 (x0, y0)的一個鄰域 , 在這個鄰域內 ),( yxF x ),( yxF y? xydd? 0?),( xF )(xf 0? 隱函數(shù)的求導公式 11 證 記 ,ee),( yxxyyxF ???。ddd vvzuuzz ??????則有全微分 yyzxxzz ddd ???????????????????? yy