【正文】 綜上，C上存在點(diǎn)使成立，此時(shí)的方程為【例】已知橢圓：的右頂點(diǎn)為，過的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為．（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)點(diǎn)在拋物線：上，在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)．當(dāng)線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求的最小值．解：（I）由題意得所求的橢圓方程為 （II）不妨設(shè)則拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因?yàn)橹本€MN與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有，設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則 設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，由題意得，即有，其中的或；當(dāng)時(shí)有，因此不等式不成立；因此，當(dāng)時(shí)代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為1．【例】設(shè)橢圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。o。故當(dāng)k＜－或－＜k＜或＜k＜時(shí)，方程(*)有兩不等實(shí)根，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)。解：由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m，－5＜m＜0。解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2， y2) 切線PA：，PB：∵P點(diǎn)在切線PA、PB上，∴∴直線AB的方程為(2)在直線AB方程中，令y=0，則M(，0)；令x=0，則N(0，)∴ ①∵2b=8 ∴b=4 代入①得a2 =25， b2 =16∴橢圓C方程： (3) 假設(shè)存在點(diǎn)P(x0，y0)滿足PA⊥PB，連接OA、OB由|PA|=|PB|知，四邊形PAOB為正方形，|OP|=|OA| ∴ ① 又∵P點(diǎn)在橢圓C上 ∴ ②由①②知x ∵ab0 ∴a2 －b20(1)當(dāng)a2－2b20，即ab時(shí)，橢圓C上存在點(diǎn)，由P點(diǎn)向圓所引兩切線互相垂直；(2)當(dāng)a2－2b20，即bab時(shí)，橢圓C上不存在滿足條件的P點(diǎn)【例】已知點(diǎn)B（－1，0），C（1，0），P是平面上一動點(diǎn)，且滿足（1）求點(diǎn)P的軌跡C對應(yīng)的方程；（2）已知點(diǎn)A（m，2）在曲線C上，過點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD和AE，且AD⊥AE，判斷：直線DE是否過定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論。設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2，A(x1，y1)，B(x2，y2)在橢圓上?！纠慨?dāng)取何值時(shí)，直線：與橢圓相切，相交，相離？解： ①代入②得化簡得當(dāng)即時(shí)，直線與橢圓相切；當(dāng)，即時(shí)，直線與橢圓相交；當(dāng)，即或時(shí)，直線與橢圓相離。 當(dāng)|MF1|－|MF2|=2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F2所對應(yīng)的一支； 當(dāng)|MF1|－|MF2|=－2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F1所對應(yīng)的一支； 當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，軌跡是一直線上以FF2為端點(diǎn)向外的兩條射線；當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，動點(diǎn)軌跡不存在。 ③線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。第二定義：動點(diǎn)到一定點(diǎn)F的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數(shù)e(e＞1)時(shí)，這個(gè)動點(diǎn)的軌跡是雙曲線?！纠恳阎獧E圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F，M是橢圓上的任意點(diǎn)，|MF|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2，橢圓上存在著以y=x為軸的對稱點(diǎn)M1和M2，且|M1M2|=，試求橢圓的方程。則x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，兩式相減得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0，設(shè)AB中點(diǎn)為(x0，y0)，則kAB=－，又(x0，y0)在直線y=x上，y0=x0，于是－=－1，kAB=－1，設(shè)l的方程為y=－x+1。（3）已知點(diǎn)A（m，2）在曲線C上，過點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD，AE，且AD，AE的斜率kk2滿足k1由方程組，消去y，得x2+(2m－4)x+m2=0……………①∵直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，∴方程①的判別式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0，解得m＜1，又－5＜m＜0，∴m的范圍為(－5，0)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)則x1+x2=4－2m，x1③當(dāng)Δ＜0，即k＞時(shí)，方程(*)無解，l與C無交點(diǎn)。m 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （Ⅱ）設(shè)，其中?？键c(diǎn)：本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系。（ⅱ）當(dāng)垂直于軸時(shí)，由知，C上不存在點(diǎn)P使成立。c。②當(dāng)Δ＞0，即k＜，又k≠177?！纠?如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求△AMN面積最大時(shí)直線l的方程，并求△AMN的最大面積。(1) 已知P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0 )并且x0y0≠0，試求直線AB方程；(2) 若橢圓的短軸長為8，并且，求橢圓C的方程；(3) 橢圓C上是否存在點(diǎn)P，由P向圓O所引兩條切線互相垂直？若存在，請求出存在的條件；若不存在，請說明理由。解法一：由e=，得，從而a2=2b2，c=b。|PF2|=|F1F2|2=4c2 ∴16+8c2＜50+2c