【正文】 問(wèn)題二中通過(guò)在直到與彎道之間添加緩和曲線，來(lái)提醒司機(jī)前方有彎，并使汽車能從直線平滑過(guò)渡到彎道。1 2 132 22220 39。 15 計(jì)算緩和曲線在直角坐標(biāo)系下的方程 由模型建立中給出的公式結(jié)合已算出的數(shù)據(jù)可將微分方程中參數(shù)加以確定： 339。 for i = 1:1:1259 ans(i) = sqrt((1+d1(i)^2)^3)/d2(i)。 p3 = 。則 20( ) 1jL x x k? ? ?上微分方程可化為： 339。2 239。緩和 7 曲線總長(zhǎng)為 L 。汽車通過(guò)彎道時(shí)，在未使用制動(dòng)的條件下，不出現(xiàn)側(cè)滑的條件是離心力不大于橫向附著力與汽車重力在路面平行方向的分力之 和 。 jl jx點(diǎn)處距開(kāi)始 0x 處距離。汽車在不知情情況下沿下坡路段一直加速。39。 東北大學(xué)第九屆東軟杯大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽暨 2020 年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽校內(nèi)選拔賽 參賽隊(duì)編號(hào)：（ 20203481） 選擇題目： √ A B 1 基于公路汽車側(cè)滑的公路合理性分析和改進(jìn)方案 一 摘 要 本論文通過(guò)上網(wǎng)查找事故發(fā)生地的實(shí)際情況，結(jié)合公路設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)要求，忽略次要因素，對(duì)于問(wèn)題一，建立了基于分析汽車在彎道內(nèi)側(cè)滑的條件的公路合理性模型，計(jì)算出汽車在彎道內(nèi)行駛最容易發(fā)生事故的點(diǎn)和進(jìn)入彎道而不發(fā)生事故的最大速度。 39。 2. 當(dāng)汽車發(fā)現(xiàn)紅 綠燈時(shí)立即剎車減速，并開(kāi)始過(guò)彎。 0v 緩和曲線段行駛的平均速度。汽車離心力可表示為 2vFmR? (2) 公示中 m為汽車的質(zhì)量， v為汽車過(guò)彎的速度。在曲線任意點(diǎn)曲率半徑與對(duì)應(yīng)曲線長(zhǎng)成反比例： 1jjR l? (13) 為使上式滿足當(dāng) 0jl?時(shí)jR??，當(dāng)jlL?時(shí)jsRR?。39。2 2220 39。 p4 = 。 end 因此在入彎時(shí)曲率半徑為 。2 2220 39。239。車頭角度均勻變化，當(dāng)入彎時(shí)車頭正好與彎道切線方向一致，使汽車能順利的入彎而不因?yàn)樗俣冗^(guò)大或來(lái)不及調(diào)整角度而發(fā)生事故，通過(guò)計(jì)算確定出緩和曲線的方程，通過(guò)數(shù)值積分計(jì)算出緩和曲線上各點(diǎn)，之后通過(guò)擬合，擬合出緩和曲線的方程。該模型運(yùn)算量比較小，適宜推廣應(yīng)用。求解步驟如下： ： 39。當(dāng)L=50m 時(shí) A=。 d2=abs(d2)。 p2 = 。21 ( )jxxL Y dx??? 近似的等于直線上從點(diǎn) 0xx? 到點(diǎn) txx? 的直線距離，設(shè)直線的方程為 y kx b??。 霍爾布魯克螺線 直 角坐標(biāo)系下曲線方程的推導(dǎo) 設(shè) 霍爾布魯克螺線 在直角坐標(biāo)系下的方程為 ()Y Fx? 則由上一問(wèn)模型中給出的公式得在螺線上的每一點(diǎn)的曲率半徑都滿足表達(dá)式 339。 由以上性質(zhì)建立緩和曲線方程模型，設(shè)緩和曲線從 0xx? 處開(kāi)始至 sxx? 處結(jié)束， jx 為緩和曲線上任意一點(diǎn)，此點(diǎn)距 0x 處距離為 jl ，曲率半徑為 jR 。(1 )yR y?? (1) 在點(diǎn) ( , )ssxy 的曲率半徑 sR 為 ()ssR R x? 汽車不發(fā)生側(cè)滑時(shí) 速度條件模型 輪胎在路面上出現(xiàn)橫向滑移時(shí)的附著系數(shù)稱為橫滑附著系數(shù) 設(shè)其為 ? 。 山珍大廈 直道 S 型彎道 4 0x 緩和曲線的起始點(diǎn)。 三 模型假設(shè) 1. 汽車在下坡時(shí)不知道前方有急彎。 39。對(duì)于問(wèn)題二，設(shè)計(jì)緩和曲線，建立了緩和曲線的曲線方程模型，使汽車通過(guò)緩和曲線能從直道平滑的過(guò)渡到彎道。39。 汽車進(jìn)入彎道為平滑入彎，即是沿彎道的切線方向進(jìn)入彎道的。 39。汽車的橫向附著力可表示為： 1F mg?? (3) 由于公路設(shè)計(jì)時(shí)路面都不會(huì)是平整的，路面與水平面之間都有很小的夾角，設(shè)路面與水平面之間的夾角即路面超高為 e ，因此重力在路面方向的分力為： 2 sinF mg e? (4) 在 e 很小時(shí)由于0sinlim 1eee? ?，即 sin ~ee則可以用 e 近似的代替 sine ，即上式可化為： 2 ()F mg e?? (5) 要使汽車入彎后不出現(xiàn)側(cè)滑的情況須有： 12F F F?? (6) 由以上各式可解得： 2 ()v Rg u e?? (7) 剎車之后速度 變化模型 剎車之后，發(fā)動(dòng)機(jī)停止工作不做功，汽車依靠原有動(dòng)能在路上滑行，摩擦力最大可取滑動(dòng)摩擦力 mg? ，不發(fā)生側(cè)滑時(shí)取滾動(dòng)摩擦力為 mg? 。必須找 出一個(gè)待定的比例系數(shù)，為推導(dǎo)上的便利， 由于 jr 和 jl 都為正數(shù)因此 選比例系數(shù)為 2A 。(1 )YR Y?? ，距緩和曲線開(kāi)始時(shí)的長(zhǎng)度滿足表達(dá)式039。39。 p5 = 。此曲率半徑在 x=50 時(shí)取得，最小曲率半徑為 此曲率半徑在 x=555m 是取得。39。 39。再通過(guò)使緩和曲線的長(zhǎng)度最短，此時(shí)改造道路的成本最小。計(jì)算結(jié)果合理