【正文】 例：確定系數(shù)，使公式具有盡可能高的代數(shù)精度。 結(jié)果為： 梯形公式： Simpson公式： 柯特斯公式： 復(fù)化梯形公式： 100個點(diǎn)計算結(jié)果， 復(fù)化辛浦生公式： 100個點(diǎn)計算結(jié)果， 準(zhǔn)確值： cos() cos(?/2)= DOUBLE PRECISION h,sum,sum1， pai integer n OPEN(10,FILE=39。 對于梯形法，步長二分前后梯形公式值有如下遞推關(guān)系式： 首先，設(shè)步長為 ， ， 等分后得： h? ? ? ?/2I h I h?2 1 3 2 11 ( ( ) ( ) ( ) )22n n nhT T f x f x f x?? ? ? ? ?bahn??ix a ih??? ? ? ? ? ?1111()22nnkkI f T h f a f x f b????? ? ? ????? ?類似的可以得到變步長的 辛浦生 公式： 2 2 21[]3n n n nS T T T? ? ?例：計算積分，直到相鄰兩次計算絕對值小于 精確值 數(shù)值結(jié)果 用辛浦生公式 可以看出，對于同一步長， 辛浦生公式計算比梯形公式好 ! 12041I dxx? ??1 10204 4|1I d x a rc tg xx ?? ? ???( 1 ) 3 , ( 1 / 2 ) 3 . 1 , ( 1 / 4 ) 3 . 1 3 1 1 7 6 4 7T T T? ? ?( 1 / 8 ) 3 . 1 3 8 9 8 8 4 9 3 ( 1 / 4 ) ( 1 / 8 ) 0 . 0 1T T T s t o p? ? ?1( 1 / 8 ) ( 1 / 8 ) [ ( 1 / 8 ) ( 1 / 4 ) ] 3 . 1 4 1 5 9 2 53S T T T? ? ? ? 代數(shù)精度與待定系數(shù)法： 一般地 ， 取 內(nèi)若干個 (n個 )節(jié)點(diǎn) 處的函數(shù)值 ， 求積公式可以表示為： 定義：稱求積公式具有 m階（代數(shù)）精度 ，如果它對于一切不超過 m次多項(xiàng)式是準(zhǔn)確的，但對于 m+1次多項(xiàng)式不準(zhǔn)確。 利用代數(shù)精度的概念，可以 用待定系數(shù)法確定求積和求導(dǎo)公式 。 可以證明，上面公式的代數(shù)精度不超過 2n+1， 稱具有 2n+1階代數(shù)精度的如上所示的求積公式為 高斯型公式 。第五章 數(shù)值微積分 第一節(jié) 等距節(jié)點(diǎn)求積公式 本章研究核心課題： 給定一個已知 f(x)， 求其在區(qū)間上的積分。 0000, [ ( ) ( ) ]2baT T f a f b???100 ( / 2 )T T h?1 0 1 0010 0 0 01044 1 4 1T T T TTT ??? ? ?0iT2m1111 1 1 111 , 2 , 3 , ,4 ,0 , 1 , ,4 1 4 1k i i i iii k k k kkk kkkmT T T TTTi m k???? ? ? ?????? ? ???0mT001mmTT? ?計算流程為（ 稱為 T 數(shù)表 ）： 0010012 1 00 1 23 2 1 00 1 2 3TTTT T TT T T T用梯形公式計算 例：計算 首先： 按流程得下表 1011I dxx? ??( 1 ) 0 . 7 5 , ( 1 / 2 ) 0 . 7 0 8 3 3 3( 1 / 4 ) 0 . 6 9 7 0 2 4 , ( 1 / 8 ) 0 . 6 9 4 1 2 2II???? 0iT 3iT2iT1iT第三節(jié) 高斯型求積公式 更一般地，研究帶權(quán)函數(shù)的積分 本節(jié)目的：研究 n + 1 個節(jié)點(diǎn) 的求積公式的代數(shù)精度。 外推法是一種獲得高精度計算結(jié)果的算法。 取 f(x) = 1 , x … ， 容易推出系數(shù)滿足： ? ?,ab ix ? ?ifx? ? ? ?0nbiiaif x d x A f x?? ??2200110, ( ) / 2 , ,( ) / 1nni i iiinm m miiiA b a