【正文】 行列式的計算 167。 8 有理系數(shù)多項式 要明確四點： 2. 有理系數(shù)多項式的有理根可全部求得； 3. 一有理系數(shù)多項式無有理根并不保證此 多項式在有理數(shù)域上不可約；并且對某些有理系數(shù)多項式的不可約性可判定； 4. 在有理數(shù)域上存在任意次的不可約多項式 . 1. 有理系數(shù)多項式在有理數(shù)域上的因式分解等價于一個整系數(shù) (本原 )多項式的因式分解； 定義 一個非零的整系數(shù)多項式 g(x)=bnxn+…+ b1x+b0 如果它的各項系數(shù) bn， bn1， … ， b1， b0的最大公因數(shù)為 177。3+ 5 3.。( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 , 2, , .mrrrmif x p x p x p x h xh x p x i m?????由 定 理 得其 中 不 能 被 整 除 ，12 11112 ( ( ) , 39。 重因式 上述定義中 ， 如果 k=0, 則 p(x)不是 ?(x) 的因式 ； k=1, 則 p(x) 是 ?(x) 單重因式 . 定義 在 F[x]中 , 不可約 多項式 p(x) 稱為多項式 ?(x)的 k重因式 (k為非負整數(shù) ), 如果pk(x)??(x), 而 pk+1(x)??(x) . [?(x)+g(x)]39。 整除性質(zhì)初步 Division with remainder 對稱多項式 補充一：三、四次方程的公式解 補充二：插值法 * ** Ch. 3. 多項式 (Polynomials) 167。 3) 如果 a|b 并且 a|c, 則有 a|(b+c)。高等代數(shù) (Higher Algebra) 張禾瑞 郝鈵新 高教出版社（第五版） 課件制作 深圳大學數(shù)學與計算科學學院：王曉峰 基本概念 多項式 行列式 線性方程組 矩陣 線性空間 線性變換 歐幾里得空間 二次型 Ch. 1 一般性介紹 數(shù)學 數(shù)學分析，高等代數(shù)，解析幾何 數(shù)學基礎(chǔ) : 數(shù)理邏輯 公理集合論 , 證明論 , 模型論 , 遞歸論 數(shù)學分析 實變函數(shù)論，復(fù)變函數(shù)論，多復(fù)變 函數(shù)論，測度論，泛函分析，變分 法，函數(shù)逼近論，非標準分析，小 波分析，分形幾何，常微分方程， 偏微分方程， 積分方程， 動力系 統(tǒng) , 特殊函數(shù)，數(shù)值分析 , 計算方 法 , ….. 高等代數(shù) 數(shù)論 , 近世代數(shù)，線性代數(shù) , 群論 , 域 論與伽羅瓦理論 , 環(huán)與代數(shù) , 模論 , 范 疇論代數(shù) K理論 , 同調(diào)代數(shù) , 李代數(shù) , 序 與格 , 離散數(shù)學 , 計算機科學 , 矩陣論 , 密碼學 , …… 解析幾何 高等幾何 , 代數(shù)幾何 , 微分幾何 , 凸 集幾何與距離幾何 , 一般拓撲學 , 代 數(shù)拓撲學 , 流形拓撲學 , 分形幾何 , 計算機輔助幾何設(shè)計 , 計算機圖形 學 , …… 概率論 數(shù)理統(tǒng)計 , 隨機過程 , 統(tǒng)計學 , 經(jīng)濟 數(shù)學 , …… 其它 生物數(shù)學 , 模糊數(shù)學 , 運籌學 , 控制 理論 , 通信與信息理論 , 優(yōu)化理論 , 計算數(shù)學 , .…. 計算機有關(guān)的課程 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) , 計算機原理 , C++語言 , Java語言 , 離散數(shù)學 , 數(shù)據(jù)庫原理 , 操作系統(tǒng) , 程序設(shè)計方法，計算機 網(wǎng)絡(luò)，信息系統(tǒng) , 匯編語言 , 邏輯 電路 , 軟件工程 , 最新軟件分析 , 通 信與信息理論 , 算法分析 , .…. 高等代數(shù) — 目的及要求 1. 為什么要學高等代數(shù)？ 3. 作業(yè)要求： (1) 書面作業(yè)： A4大小的活頁紙； (2) 上網(wǎng)作業(yè)：可自己檢查 , 幫助理解； (3) 平時測驗 : 4. 如何評定成績？ ： 《 線性代數(shù)及應(yīng)用 》 –王曉峰主編 《 高等代數(shù) 》 (北大 ) – 高教出版社 2. 要學那些內(nèi)容？ 167。 4) 如果 a|b 并且 b|c, 則有 a|c. 記 (a, b)為兩個不全為零的整數(shù) a和 b的大于零的最大公因數(shù) . 引理 如果 r 是一正整數(shù)，那么 gcd(r, 0)=r. 定理 若 a=bq+r， 則 gcd(a, b)=gcd(b, r) Euclidean Algorithm 1. 設(shè)整數(shù) a 和 b 滿足： |a||b|?0. 2. 如果 b=0, 那么 gcd(a, b)=a. 如果 b?0, 由 帶余除法存在 q 和 r 使得 a=bq+r |b|r?0 3. 如果 r=0, 那么 gcd(a, b)=b. 如果 r=0, 重復(fù)上述過程并且有 gcd(a, b)=gcd(b, r), |a||b|r?0. 但是 0 到 |a|間僅有有限多整數(shù) . 所以存在 i 使得 : |a||b|r=r1r2…r i=0, 并且 gcd(a, b)=gcd(b, r1)=…=gcd( ri?2, ri?1) = ri?1 定理 若 d=(a, b)，則存在整數(shù) p, q使得 pa+qb=d 例 求 (726, 393), 并求整數(shù) p和 q使得 (726, 393)=726p+393q 定理的推論 整數(shù) a, b互素當且僅當存在整數(shù) p, q使得 pa+qb=1 定理 若 a|bc, 并且 (a, b)=1， 那么 a|c. 167。 一元多項式 (unary polynomials) 一元多項式的概念及其運算 (operation) 定義 1 設(shè) R是一個數(shù)環(huán)． R上一個文字 x (x?R) 的一元多項式指的是形式表達式 an xn + an?1 x n?1+…+a 1 x +a0 (1) 其中 n是任意非負整數(shù) , 系數(shù) ai (i=0, 1, …, n)屬于 R, x稱為 不定元 ． 系數(shù)全為零的多項式稱為 零多項式 ， 記為 0． 在多項式 (1)中 , aixi 稱為 i次項 , ai稱為 i次項的系數(shù) , i=0, 1, … , n. 零次項 a0x０ 簡記作 a０ , 也稱為 常數(shù)項 ． 用 ?(x)， g(x)， … ， 等來代表一元多項式． 定義 2 數(shù)域 P上的兩上一元多項式相等當且僅當它們的同次項的系數(shù)相等 ． 設(shè) ?(x)代表多項式 (1)． 如果 an≠0, 那么 anxn稱為多項式 ?(x)的 首項 (最高次項 )， an稱 為 首項系數(shù) ， n稱為多項式 ?(x)的 次數(shù) (degree)，記作 ?(?(x)). 零多項式 0的次數(shù)定義為 ?∞ ． 記數(shù)環(huán) R上的所有一元多項式組成的集合作 R[x]． 設(shè) ?(x), g(x)?P[x] ，其中 (不妨設(shè) n≥m) ?(x)＝ anxn+an?1 xn?1+… +a0= g(x)=bmxm+bm?1xm?1+… +b0= (i) ?(x)與 g(x)的 和 是一個多項式 h(x)= 其中 h(x)的 i 次項的系數(shù)為 ci=ai+bi， i=0, 1, … , n 記作 h(x)=?(x)+g(x)． 0niiiax??0mjjjbx??0niiicx??(ii) ?(x)與 g(x)的 乘積 是一個多項式 p(x)= 其中 p(x)的 s次項的系數(shù)為 ds= , s=0, 1, … , n+m 記作 p(x)=?(x)g(x). ???mnsss xd0??? sjiji ba1186。 divisibility 定理 (帶余除法 ) 對于 F[x]中任意兩個多項式 ?(x)與 g(x)， 其中 g(x)≠0， 在 F[x]中存在唯一的一對多項式 h(x)， r(x)， 使得 ?(x)=h(x)g(x)+r(x), ?(r(x))?(g(x)) 式中的 h(x)稱為 g(x)除 ?(x)的 商 (quotient)，r(x)稱為 g(x)除 ?(x)的 余式 (remainder). 以下總設(shè) F是一個數(shù)域 . 定義 5 設(shè) ?(x), g(x)?F[x]， 使得 ?(x)=h(x)g(x) 則稱 g(x)整除 (divide)?(x), 記作 g(x)|?(x). 當g(x)整除 ?(x)時 , g(x)稱為 ?(x)的因式 (factor) (或因子 ), ?(x)稱為 g(x)的倍式 (multiplier). 定理 1 設(shè) ?(x), g(x)?F[x], 且 g(x)≠0, 則g(x)|?(x)的充分必要條件是 g(x)除 ?(x)的余式為零 . 注意 : 2. 任意多項式整除零多項式； 3. 任意非零數(shù)整除任意多項式 。 = ?39。( ) ) ( ) ( ) ( )mrrr mf x f x p x p x p x????于 是因此用 (?(x), ?39。 4.(ii)。( ?2) 1， 則稱 g(x)為 本原多項式 . 兩個相伴的本原多項式僅相差一個符號 . 高斯 (Gauss)引理 兩個本原多項式的乘積仍是本原多項式 . 定理 如果一個次數(shù)大于零的整系數(shù)多項式在 Q上可約 , 則它一定能分解成兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項式的乘積 . 推論 設(shè) f(x), g(x)是整系數(shù)多項式 , 并且 g(x)是本原多項式 . 如果 f(x)=g(x)h(x), 其中 h(x)是有理系數(shù)多項式 , 則 h(x)一定是整系數(shù)多項式 . 由此推論得到如下的尋求任意整系數(shù) (從而 任意有理系數(shù)多項式 ) 的全部有理根的必要條件 : 定理 設(shè) ?(x)=anxn+… +a1x+a0 是一個整系數(shù)多項式 , 如果 u/v是 ?(x)的一個有理根 , 其中 (u, v)=1, 那么 (i) v|an, u|a0. 特別地 , 如果 an=1, 則 ?(x) 的有理根全為整根 , 并且是 a0的因子 . (ii) ?(x)=(x?u/v )q(x), q(x)是一整系數(shù)多項式 . 注意到： 如果 u/v是整系數(shù)多項式 ?(x)的一個 有理根 , 則 ?(x)=(x?u/v)q(x), 并且 q(x)為整 系數(shù)多項式 . 從而 均為整數(shù) . 從而可在排除上述分式不是整 數(shù)的 u/v (v|an, u|a0). ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) 1 / 1 /ffqqu v u v?? ? ???和 例 1 1) 求 ?(x)=3x4+5x3+x2+5x?2 的全部有理根 . 2) 求 ?(x)=x4?3x3+x2+4 的全部有理根 . 例 2 證明 ?(x)=x3+2x+1在有理數(shù)域上不可約 . 定理 (Eisenstein判別法 ) 設(shè) ?(x)=anxn+…+ a1x+a0 是一個次數(shù) n大于零的整系數(shù)多項式 , 如果存在一個素數(shù) p, 使得 1) p | an。 行列式按一行 (列 )展開 167。 行列式的性質(zhì) 167。 4. 167。( ?2) 2.。(x)). 而求最大公因式有統(tǒng)一的方法 :輾轉(zhuǎn)相除法 . 設(shè) F[x]中的多項式 ?(x)的標準分解式是 )()()()(2121 xpxpxcpxfmrmrr ??