【正文】 列求和 . 12 nj j j? 從而，一 n級行列式的展開式為 n!個項的代數(shù)和，而每一項為行列式中不同行和不同列的 n個數(shù)的 乘積 . 1212121 1 1 2 12 1 2 2 212121() ( )nnnnn j j jj j n jj j jn n n na a aa a aa a aa a a??? ?2374D?? 例 計算。 行列式按一行 (列 )展開 167。 ( ) ] ( ) ( )2xag x f x f a f x f a?? ? ? ? 例 5 證明：如果 a是 f(x)的一個根 ， 并且 a是 f?(x)的一個 k(?1)重根 , 則 a是 f ?(x)的一個 k+1重根 . 例 8 證明：如果 f(x)| f(xn), 那么 f(x)的根 只能是零或單位根 . 例 7 證明定理 5的逆 :設 p(x)是 次數(shù) 0并且首項系數(shù)為１的多項式 .如果對任意的多項式 f(x)和 g(x), 由 p(x)| f(x)g(x), 就一定有 p(x) | f(x) 或 p(x)| g(x), 則 p(x)是一個不可約 多項式 . 例 9 證明 :如果 是有理系數(shù)多項式 f (x)的無理根 (a, b?0均為有理數(shù) ), 則 也是 f(x)的根 . 2ab?2ab?補充一 ：一元高次方程的公式解問題 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的公式解為 1. 一元二次方程的公式解 2 42b b a cxa? ? ?? 2. 一元三次方程的公式解 (Cardano公式 ) 1515年：意大利波羅利亞大學 （ 當時歐洲最 著名 )的 Ferro教授 1535年：意大利威尼斯數(shù)學家 Tartaglia重新 發(fā)現(xiàn)并仍然保密只透露給意大利米蘭數(shù)學 家 Cardano. 1545年 : Cardano 沒有信守諾言 , 在 《 大法 》一 書中予以公布 . 一元三次方程 ax3+bx2+cx+d=0 的公式解 : 2 3 23233 2 9 2 703 2 7a c b b a b c a dyyaa? ? ?? ? ? 首先化為 x3+b/a x2+c/a x+d/a =0 再令 y=x+b/3a, 方程化為 即求解一般的一元三次方程可歸結(jié)為求解如下的一元三次方程 : 3 0x p x q? ? ?再作代換 : x=z?p/(3z) 得 333 027pzqz? ? ?以及 363 027pz q z? ? ? 由一元二次方程的公式解得 : 2 3 2 33312 3 2 3 23322 3 2 2 33321 1 1 12 4 27 2 4 271 1 1 12 4 27 2 4 271 1 1 12 4 27 2 4 27qqx q p q pqqx q p q pqqx q p q p?????? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ??? 其中 ?為 1的三次方根 . 3. 一元四次方程的公式解 (1 5 2 2年 , Cardano的學生 Ferrari ) 一元四次方程 x4+ax3+bx2+cx+d=0 的公式解 : 即 : (x2+ax/2)2= (a/4?b)x2 ?cx?d 兩邊加 (x2/2+ax/2)t+t2/4 得 : (x2+ax/2+t/2)2= (a2/4?b+t)x2+(at/2 ?c)x+(t2/4 ?d) 選取 t 使得右邊的判別式為零 (配成完全平方 ): (at/2 ?c)2x ?4 (a2/4?b+t)(t2/4 ?d)=0 即 : t3?bt2+(ac?4d)t ? a2d+4bd ?c2=0 利用 Cardano公式求任一解 t0, 則有 : 利用 Cardano公式求任一解 t0, 則有 : (x2+ax/2+t0/2)2={ (a2/4?b+t0)1/2x+(t0/4?d)1/2}2 此方程又等價于兩個二次方程 : 222 000222 000( ) ( ) 02 4 2 4( ) ( ) 02 4 2 4ttaax b t x dttaax b t x d?? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ??? 解這兩個二次方程得四個根 . 4. 一元五次以上的方程無公式解 (1824年 , 挪威人 Abel, 1831年 法國人 Galois) 167。 1， 則稱 g(x)為 本原多項式 . 兩個相伴的本原多項式僅相差一個符號 . 高斯 (Gauss)引理 兩個本原多項式的乘積仍是本原多項式 . 定理 如果一個次數(shù)大于零的整系數(shù)多項式在 Q上可約 , 則它一定能分解成兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項式的乘積 . 推論 設 f(x), g(x)是整系數(shù)多項式 , 并且 g(x)是本原多項式 . 如果 f(x)=g(x)h(x), 其中 h(x)是有理系數(shù)多項式 , 則 h(x)一定是整系數(shù)多項式 . 由此推論得到如下的尋求任意整系數(shù) (從而 任意有理系數(shù)多項式 ) 的全部有理根的必要條件 : 定理 設 ?(x)=anxn+… +a1x+a0 是一個整系數(shù)多項式 , 如果 u/v是 ?(x)的一個有理根 , 其中 (u, v)=1, 那么 (i) v|an, u|a0. 特別地 , 如果 an=1, 則 ?(x) 的有理根全為整根 , 并且是 a0的因子 . (ii) ?(x)=(x?u/v )q(x), q(x)是一整系數(shù)多項式 . 注意到： 如果 u/v是整系數(shù)多項式 ?(x)的一個 有理根 , 則 ?(x)=(x?u/v)q(x), 并且 q(x)為整 系數(shù)多項式 . 從而 均為整數(shù) . 從而可在排除上述分式不是整 數(shù)的 u/v (v|an, u|a0). ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) 1 / 1 /ffqqu v u v?? ? ???和 例 1 1) 求 ?(x)=3x4+5x3+x2+5x?2 的全部有理根 . 2) 求 ?(x)=x4?3x3+x2+4 的全部有理根 . 例 2 證明 ?(x)=x3+2x+1在有理數(shù)域上不可約 . 定理 (Eisenstein判別法 ) 設 ?(x)=anxn+…+ a1x+a0 是一個次數(shù) n大于零的整系數(shù)多項式 , 如果存在一個素數(shù) p, 使得 1) p | an。3( ?2)3+ 5 4.(ii)。 3。( ) ) ( ) ( ) ( )mrrr mf x f x p x p x p x????于 是因此用 (?(x), ?39。 =m?(m?1)(x)?39。 = ?39。 最大公因式 (greatest mon factor: gcd) 定義 1 設 ?(x)與 g(x) 是 F[x]中任意兩個多項式 . F[x]中多項式 d(x)同時整除 ?(x)和 g(x), 則稱 d(x)為 ?(x)和 g(x)的一個 公因式 . 定義 2 設 d(x)是 ?(x)和 g(x)的一個公因式 . 如果 d(x)還滿足如下述性質(zhì) : ?(x)和 g(x)的 任一 公因式都 整除 d(x), 則稱 d(x)是 ?(x)與 g(x)的一個最大公因式 . 引理 在 P[x]中 ， 如果有等式 ?(x)=h(x)g(x)+r(x) 成立 ， 則 ?(x)與 g(x)的最大公因式也是 g(x)與 r(x)的最大公因式 ， 反之亦然 . 定理 對于 P[x]中任意兩個多項式 ?(x)與 g(x), 存在它們的一個最大公因式d(x), 并且 d(x)可以表達成 ?(x)與 g(x)的一個組合 , 即有 P[x]中多項式 u(x)與 v(x), 使得 d(x)=u(x)?(x)+v(x)g(x) 定理 2 的證明給出了求兩個多項式的最大公因式的方法，稱它為 輾轉(zhuǎn)相除法 (Euclidean Algorithm). 兩個多項式的最大公因式在相伴的意義下是唯一確定的 . 我們約定 ， 用 (?(x)， g(x)) 來表示首項系數(shù)是 1的那個最大公因式 . 注意 : 兩個多項式的最大公因式不會因為數(shù) 域的選擇而改變 . 例 1 設 ?(x)=x4 ?2x3?4x2 +4x?3, g(x)= 2x3 ?5x2 ?4x+3. 求 (?(x)， g(x))， 并且把它表示成 ?(x)與 g(x)的一個組合 . 定義 3 設 ?(x), g(x)是 F[x]中的兩個多項式 . 如果 ( ?(x), g(x))=1, 則稱 ?(x) 與 g(x) 互素(coprime). 定理 F[x]中兩個多項式 ?(x)與 g(x)互素的充分必要條件是存在 F[x]中的多項式u(x), v(x), 使得 u(x)?(x)+v(x)g(x)=1 性質(zhì) 1 在 F[x]中 , 如果 (?(x), h(x))=1并且 (g(x), h(x))=1, 則 (?(x)g(x), h(x))=1. 性質(zhì) 3 在 F[x]中 , 如果 f(x)|h(x)， g(x)|h(x)， 且 (f(x), g(x))=1 則 ?(x)g(x)|h(x). 性質(zhì) 2 在 F[x]中 , 如果 ?(x)|g(x)h(x), 且 (?(x), g(x))=1 則 ?(x)|h(x). 定義 在 F[x]中 , 如果多項式 c(x)能整除多項式 ?1(x), ?2(x), … , ?n(x)的每一個 , 那么 c(x)叫做這 n個多項式的一個 公因式 . 設 1) d(x)是 ?1(x), ?2(x), … , ?n(x)的一個公因式 。 divisibility 定理 (帶余除法 ) 對于 F[x]中任意兩個多項式 ?(x)與 g(x)， 其中 g(x)≠0， 在 F[x]中存在唯一的一對多項式 h(x)， r(x)， 使得 ?(x)=h(x)g(x)+r(x), ?(r(x))?(g(x)) 式中的 h(x)稱為 g(x)除 ?(x)的 商 (quotient)，r(x)稱為 g(x)除 ?(x)的 余式 (remainder). 以下總設 F是一個數(shù)域 . 定義 5 設 ?(x), g(x)?F[x]， 使得 ?(x)=h(x)g(x) 則稱 g(x)整除 (divide)?(x), 記作 g(x)|?(x). 當g(x)整除 ?(x)時 , g(x)稱為 ?(x)的因式 (factor) (或因子 ), ?(x)稱為 g(x)的倍式 (multiplier). 定理 1 設 ?(x), g(x)?F[x], 且 g(x)≠0, 則g(x)|?(x)的充分必要條件是 g(x)除 ?(x)的余式為零 . 注意 : 2. 任意多項式整除零多項式； 3. 任意非零數(shù)整除任意多項式 。 乘法交換律，即 ?g=g?； 6186。 一元多項式 (unary polynomials) 一元多項式的概念及其運算 (operation) 定義 1 設 R是一個數(shù)環(huán)． R上一個文字 x (x?R) 的一元多項式指的是形式表達式 an xn + an?1 x n?1+…+a 1 x +a0 (1) 其中 n是任意非負整數(shù) , 系數(shù) ai (i=0, 1, …, n)屬于 R, x稱為 不定元 ． 系數(shù)全為零的多項式稱為 零多項式 ， 記為 0． 在多項式 (1)中 , aixi 稱為 i次項 , ai稱為 i次項的系數(shù) , i=0, 1, … , n. 零次項 a0x０ 簡記作 a０ , 也稱為 常數(shù)項 ． 用 ?(x)， g(x)， … ， 等來代表一元多項式．