【正文】 3. Exercises 1. (ii)。 7186。 運算法則 : ??(x)， g(x)?P[x]，有 2186。 重因式 167。 : 3. 7. 8. 10。 (ii) 假設(shè) P(k)為真能推出 P(k+1)也為真； 那么對所有的正整數(shù) n，命題 P(n)為真 . 例 證明 , 所有的整數(shù) n?3時滿足 2n+12n 第二數(shù)學(xué)歸納法原理 設(shè)有一個與正整數(shù) n有關(guān)的命題 P(n). 如果 (i) P(1)為真 。 映射 167。 整數(shù)和整環(huán) 167。 并稱 b 是 a的 因數(shù) ， a是 b的 倍數(shù) . 素數(shù)、合數(shù) : 大于 1的正整數(shù)除 1和自己外沒 有其它因數(shù)稱為 素數(shù) ，否則稱為 合數(shù) . 公因數(shù)、公倍數(shù) : 互素 : 如果 1是兩個整數(shù) a, b僅有的大于零的 公因數(shù)，則稱整數(shù) a與 b互素 . 最大公因數(shù) (greatest mon divisor) gcd. 最小公倍數(shù) (least mon mutiple) lcm. 性質(zhì)： 設(shè) a, b均為整數(shù) . 1) 如果 a|b 并且 b|a, 則有 a=?b。 一元多項式 (unary polynomial) 167。 有理系數(shù)多項式 167。 零多項式具有性質(zhì) : 0+?=?+0=?。 乘法消去律 ) 如果 ?(x)g(x) =?(x)h(x), 且 ?(x)≠0, 則 g(x)=h(x)． 定義 設(shè) R是一個數(shù)環(huán)，稱 R上所有一元多項式的全體 R[x]關(guān)于如上定義的多項式加法和乘法構(gòu)成的環(huán)為 R上一元多項式環(huán) . 167。 4.。 4. (i)。 =?39。(x), … , ?(k?1)(x)的因式 , 但不是 ?(k)(x) 因式 . 推論 2 不可約多項式 p(x)是 ?(x)的重因式的充分必要條件為 p(x)是 ?(x)與 ??(x)的公因式 . 推論 3(定理 ) 多項式 ?(x)無重因式的充分必要條件為 ?(x)與 ??(x)互素 . 方法 ：判斷一個多項式 ?(x)有沒有重因式 ，只需計算 (?(x)， ?39。 2) g(x)＝ xn+nxn?1+n(n?1)xn?2 +… +n(n?1)…3 (x) | f(x). 例 7 求 t的值使得 f (x)=x3?3x2+tx?1 有重根 . 例 8 設(shè) a是 f (3)(x)的一個 n重根 . 證明 a是 的一個 k+3重根 . ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( )2xag x f x f a f x f a? ??? ? ? ?例 9 證明 : 如果 (x2+x+1)| [f(x3)+xg(x3)], 那么(x?1)|f(x), (x?1)|g(x). 例 10 證明 : 如果 (x?1)|f(xn), 那么 (xn?1)|f(xn). Exercises 1.。 …… an?1=(?1)n?1(?1?2… ?n?1+ ?1?3… ?n+ … + ?2… ?n?1?n) an=(?1)n?1?2… ?n 例 求有單根 5與 ?2以及二重根 3的四次多項式 . 即求 ?(x)= (x?5)(x＋ 2)(x?3)(x?3) 或者 ?(x)=a(x?5)(x＋ 2)(x?3)(x?3) 從而： a1＝ ?(5?2+3+3)=?9。 a3 ＝ ? (53)=33。 3.。 3.。 n級行列式 167。 否則 , 稱為 奇排列 . 對換 (transposition) 將一個 n級排列中的兩個數(shù)互換位置而得到另一個 n級排列的變換 . 定理 對換改變一 n級排列的奇偶性 . 定理 設(shè) i1 i2… in和 j1 j2… jn是任意兩個n級排列 . 那么 經(jīng)若干對換可將 i1 i2… in化為j1 j2… jn. 推論 n級排列中奇偶排列各一半 (n!/2). 167。 克蘭姆法則 (Cramer’s Rule) 167。 多元多項式 * n元多項式： 若干個關(guān)于變元 x1, x2,… , xn的 n元單項式的代數(shù)和 稱為關(guān)于變元 x1, x2,… , xn的 n元多項式 . 12121212,nmmkkkk k k nk k ka x x x? n元單項式： 設(shè) R是一個數(shù)環(huán) , a?R， x1, x2,… , xn是 n個文字 . 稱形為 的式子為關(guān)于變元 x1, x2,… , xn的 n元單項式 . 1212nkkkna x x x n元多項式環(huán)： 數(shù)環(huán) R上所有關(guān)于變元 x1, x2,… , xn的 n元多項式的全體稱為關(guān)于變元 x1, x2,… , xn的 n元多項式環(huán) ， 記為： R[x1, x2,… , xn] 字典排序法：關(guān)于變元 x1, x2,… , xn的任一n元單多項式 唯一地對應(yīng)一個 n元數(shù)組 (k1, k2, … , kn). 對任意的兩個 n元數(shù)組(k1, k2, … , kn) 和 (l1, l2, … , ln), 如果存在 1?i?n, 使得 k1?l1=0, k2?l2=0, … , ki?1?li?1 =0, ki?li 0 那么 , 我們稱 n元數(shù)組 (k1, k2, … , kn)先于 (l1, l2, … , ln), 即： (k1, k2, … , kn)(l1, l2, … , ln) 1212nkkkna x x x n元多項式的首項 ： 由字典排序法排出的第一個系數(shù)不為零的一 n元多項式的單項式稱為該多項式的首項 . 定理 兩個非零多項式的乘積的首項等于這兩個多項式的首項的積 . 推論 1 多個非零多項式的乘積的首項等于各多項式的首項的積 . 推論 2 多個非零多項式的乘積為非零多項式 . n元多項式的次數(shù) ： 其首項的次數(shù) . n元多項式函數(shù) ： 一 n元多項式的各單項式的次數(shù)均相等 . 齊次 n元多項式 ： 167。 2) p | ai， i=0, 1， … ， n1。3=?90。3+ 53+(?2) 5. 7. 9. 167。 4(ii)。(x))除 ?39。(x) 定義 對于 F[x]中的多項式 ?(x)=anxn+an?1xn?1+…+ a1x+a0 我們把 P[x]中的多項式 nanxn?1+(n?1)an?1xn?2+…+ a1 叫做 ?(x)的導(dǎo)數(shù) (或 一階導(dǎo)數(shù) ), 記作 ?39。(x)+ g39。 2) ?1(x), ?2(x), … , ?n(x)的每一個公因式都 能整除 d(x)。 1. 如果零多項式 0整除多項式 ?(x)， 則 ?(x)=0； 4. 任意兩個多項式的整除關(guān)系不因為系數(shù)域的擴大而改變 . 整除性的基本性質(zhì) : 2) 如果 h(x)|f(x), 且 h(x)|g(x), 則 h(x)|(f(x)? g(x)). 4) 如果 ?(x)|gi(x), i=1, 2, …, r, 則對于任意 ui(x) ?F[x], i=1, …, r, 有 ?(x)|(u1(x)g1(x)+u2(x)g2(x)+…+ ur(x)gr(x)) 1) 如果 ?(x)|g(x), 且 g(x)|h(x), 則 f (x)|h(x) (整 除的傳遞性 ). 3) 如果 h(x)|f(x), 則對 F[x]中的任意 g(x)有 h(x)|f(x)g(x). 整除性的基本性質(zhì) : 6) 每一多項式 ?(x)能被 cf(x)整除 , c為 F中任意 非零數(shù) . 5) F中任意非零數(shù) c整除任意多項式 . 7) 如果 ?(x)|g(x)， 且 g(x)|?(x)， 則 ?(x)=cg(x)， 其中 c?F, c≠0. 注意 : 多項式之間的整除性不會因為數(shù)域的 選擇而 改變 . Exercises 1.。 乘法結(jié)合律，即 (?g)h=?(gh)。 加法交換律 ，即 ?+g=g+?。 不可約 (irreducible) 多項式 ? 唯一因式分解定理 167。 數(shù)環(huán)和數(shù)域 定義 1 設(shè) S是一個全體復(fù)數(shù)集合 C的一個非空子集 . 如果對于任意的 a, b?C, 都有 a+b, a?b, ab?C 則稱 C為一個數(shù)環(huán) . 數(shù)環(huán)的例子 ： 定義 2 設(shè) F是一個數(shù)環(huán) . 如果 (i) F含有至少一個非零元； (ii) 對于 F中任意的非零元 a, 均存在 b?F, 使得 ab =1. 則稱 F為一個數(shù)域 . 數(shù)域的例子 ： 定理 任何數(shù)域均包含了有理數(shù)域 . Exercises : 3. 4. 6.(i),(iii)。 數(shù)學(xué)歸納法 最小數(shù)原理 正整數(shù)集合 N*的任意非空子集必有一個最小數(shù) . 數(shù)學(xué)歸納法原理 設(shè)有一個與正整數(shù) n有關(guān)的命題 P(n). 如果 (i) P(1)為真 (即 :當 n=1時命題成立 )。 集合 Ch. 1 基本概念 167。 集合 Ch. 1 基本概念 ? 集合的概念 集合的表示 ? 元素的概念 ? 常用記號 常用集合 ? 有限集合 無限集合 ? 子集 交集 并集 空集 補集 差集 ? 笛卡爾集 ? 集合的運算 167。 2) 如果 a|b, 則對任意的整數(shù) c, 有 a|bc。 帶余除法 多元多項式 167。 4186。 帶余除法 6。 6. 167。(x)g(x)+?(x)g39。(x)). 而求最大公因式有統(tǒng)一的方法 :輾轉(zhuǎn)相除法 . 設(shè) F[x]中的多項式 ?(x)的標準分解式是 )()()()(2121 xpxpxcpxfmrmrr ??12111126 39。2 x+n!. 2. 證明：一不可約多項式 p(x)是 ?(x)的 k(k≥1) 重因式當且僅當 p(x) 是 ?(x), ?39。 2.。 a2＝ 5( ?2) a4＝ 5 4. 167。 4. (i), (ii). 習(xí)題課 ： 例 1 在實數(shù)域和復(fù)數(shù)域上分解下列多項式的因式 ?(x)=x4+1 例 2 求下列多項式的公根 ?(x)=x3+2x2+2x+1； g(x)=x4+ x3+2x2+x+1 例 3 證明：多項式 xd?1整除 xn?1的充分必要條件為 d |n. 例 6 舉例說明 “ 如果 a是 f ?(x)的一個 m重根則是 f(x)的一個 m+1重根 ” 是不正確的 . 例 4 如果 a是 f???(x)的一個 k重根 ， 則是下述 多項式的 k +3重根 ( ) [ 39。 行列式的性質(zhì) 167。 3 n級行列式 約定：從本節(jié)開始 , 如不做特別申明 , 課程 中提到數(shù)為一固定的數(shù)域 P中的元素 . 設(shè) a是一個數(shù) . 由 a構(gòu)成的一級行列式為 |a |=a 一級行列式： 二級行列式 2112221122211211aaaaaaaa?? 設(shè) a11, a12, a21, a22是四個數(shù) , 稱下式 為一個二級行列式 . 三級行列式 333231232221131211aaaaaaaaa 312213322113332112312312322311332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa?????? 類似地，稱下式 為一個三級行列式 . 定義 定義 n級行列式為 其中 , 表示對所有的 n級排