[理學(xué)]3_5初等矩陣(專業(yè)版)
【正文】 第五節(jié) 矩陣的初等變換及初等矩陣 定義 1 下面三種變換稱為矩陣的初等行變換 : ? ? ）；記作兩行對調(diào)兩行（對調(diào) ji rrji ?,1? ? 。02 乘以某一行的所有元素以數(shù) ?k）記作行乘（第 krki i ?,? ?.3 ）記作行上倍加到第行的對應(yīng)的元素上去（第倍加到另一行把某一行所有元素的ji krrikjk?一、矩陣的初等變換 定義 2 矩陣的 初等列變換 與 初等行變換 統(tǒng)稱 為 初等變換． 初等變換的逆變換仍為初等變換 , 且變換類型相同． 同理可定義矩陣的初等列變換 (所用記號是把“ r”換成“ c”)． ji rr ?kri ?逆變換 。ji rr ?逆變換 。)1( krkr ii ?? 或ji krr ? 逆變換 .)( jiji krrrkr ??? 或等價關(guān)系的性質(zhì)： 1 A A?（ ） 反 身 性 ；2 A B , B A 。??（ ） 對 稱 性 若 則3 A B , B C , A C .? ? ?（ ） 傳 遞 性 若 則ABA B A B?如 果 矩 陣 經(jīng) 有 限 次 初 等 變 換 變 成 矩 陣 ，就 稱 矩 陣 與 等 價 ， 記 作 ．具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價． 例如，兩個線性方程組同解， 就稱這兩個線性方程組等價 特點： （ 1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零； 5 00000310003011040101B??????????????????（ 2）、每個臺階 只有一行， 臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元． 稱為行階梯形矩陣 , 稱為行最簡形矩陣 5B5B.,A nm和行最簡形變換把他變?yōu)樾须A梯形總可經(jīng)過有限次初等行對于任何矩陣 ?注意： 行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的． 行最簡形矩陣再經(jīng)過初等列變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)形． ??????????????????000003100030110401015 B?????????????????00000301003101041001???????????????0000030100300104000134cc?3215 334 cccc ???214 ccc ??F???????????????00000001000001000001(F稱為矩陣 的標(biāo)準(zhǔn)形 ,其特點是左上角是一個單位矩陣 ,其余元素全為零 ) B標(biāo)準(zhǔn)形總可經(jīng)過初等變換化為矩陣 Anm ?nmrOOOEF????????.,的行數(shù)行階梯形矩陣中非零行就是三個數(shù)唯一確定，其中此標(biāo)準(zhǔn)形由 rrnm二、初等矩陣的概念 矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運算，應(yīng)用廣泛 . 三種初等變換對應(yīng)著三種初等方陣 . ??????行（列）上去．乘某行（列）加到另一以數(shù)乘某行或某列；以數(shù)對調(diào)兩行或兩列；kk.3.1定義 由 階單位矩陣 經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為 階初等矩陣 . n
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