[理學(xué)]3_5初等矩陣-wenkub
2022-10-29 17:21:17 本頁面
【正文】 以 右乘矩陣 ,其結(jié)果相當(dāng)于把 的第 列乘 加到第 列上 ( , ( ) )nE i j k A Ai jk ()jic kc?1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 3a a aAa a a???????( , ) ?3 12AE ?( ( ) ) ?3 2A E k ?( , ( ) ) ?3 12A E k ?令 定理 1 設(shè) 是一個 矩陣，對 施行一次初等行變換，相當(dāng)于在 的左邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣；對 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 的右邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣 . nm?mnAAAAA二、利用初等變換求逆矩陣 初等變換 初等矩陣 初等逆變換 初等逆矩陣 矩陣 總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形 mn? AnmrOOOEF????????其中 為行階梯形矩陣中的行數(shù) r該結(jié)論可以敘述為 定理 2 對于任一 矩陣 ,一定存在有限個 階初等矩陣 和 階初等方陣 使得 mn? A m, , ,12 sP P Pn ,1skPP?1 2 1 2000rs s s k m nmnEP P P A P P P F? ? ??????????()m n m nAF??定理 3 對于 階可逆矩陣 ,一定存在有限個 階初等矩陣 ,使得 n A n, , , , , , ,1 2 1 2s s s kP P P P P P??1 2 1 2s s s kP P P A P P P E?? ?()n n nAE?定理 4 設(shè) 為可逆方陣 ,則存在有限個初等矩陣 使 , , ,12 kP P P 12 kA P P P?推論 矩陣 與 等價的充要條件是存在 階可逆矩陣 和 階可逆矩陣 ,使 mn? A BP Qn PA Q B?Am利用初等行變換求逆矩陣的方法： ,1 1 111kkP P P A E? ? ?? ?,1 1 1 111 kkP P P E A? ? ? ?? ?? ?1 1 1 1 1 11 1 1 1k k k kP P P A P P P E? ? ? ? ? ???? ? ?1?? AE? ?1 1 111 kkP P P A E? ? ???. )(2 1??AEEAEAnn就變成時，原來的變成當(dāng)把施行初等行變換，矩陣即對若 為可逆矩陣 則存在初等矩陣 A ()0A ?, , ,12 kP P P 12 kA P P P?使 兩端乘以 得 1A?. ,343122321 1???????????? AA 求設(shè) 解 例１ ????????????????103620012520001321? ????????????100343010122001321EA212rr?313rr???? 21
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