【正文】 所以 AO 是等腰三角形 ABC 頂角 BAC? 的平分線． AO BC?∴ ． 在 BDE△ 和 FDA△ 中， 12FB BD?∵， 12AE ED?， 23BD EDFD AD??∴． 又 B DE F DA? ? ?∵ ， BD E FD A∴ △ ∽ △ ． ∴ EB D AF D? ? ? ． BE FA∴ ∥ ． 由 AO BE? 知， AO FA? ． ∴ 直線 FA 與 O 相切． 1（ 20xx 年黃岡浠水模擬 2） 如圖，已知 AB 是 ⊙ O 的直徑，直線 CD 與 ⊙ O 相切于點 C， AC 平分 ∠ DAB． (1)求證： AD⊥ CD； (2)若 AD=2， AC= 5 ，求 AB 的長． 答案： (1)證明：連結 BC． …………………………1 分 ∵ 直線 CD 與 ⊙ O 相切于點 C， ∴∠ DCA=∠ B． ………… 2 分 ∵ AC 平分 ∠ DAB， ∴∠ DAC=∠ CAB． ∴∠ ADC=∠ ACB． ……3 分 ∵ AB 為 ⊙ O 的直徑， ∴∠ ACB=90176。 答案： ⑴ 證明： ∵ CD 切 ⊙ O ∴ OD⊥ CD 又 ∵ DF⊥ AD ∴∠ CDE=∠ DOC ∵ OD=OB ∴ ∠ B=∠ OBD ∠ COD=∠ B+∠ OBD ∴∠ CDE=∠ COD=2∠ B ⑵ 連 AD,設 BD= 3 R,則 AB=2k ∵ AB 為直徑， ∴∠ ADB=90176。 ∠ COD=60176。即 AD⊥ CD． …………5 分 (2)解： ∵∠ DCA=∠ B， ∠ DAC=∠ CAB， ∴△ ADC∽△ ACB． ……………6 分 ∴ABACACAD?∴ AC2=AD． ∵ AB 為 ⊙ O 的直徑， ∴ △ AEB 為直角三角形， ∠ EAB＝ 30176。, ∴∠ ACB=120176。 ∴∠ APC＝ 45176。 （ 2）若 CD＝ 3cm，求 ∠ APC 的度數(shù)。,PD= 3 , ∴ tan ODPPD??， ∴ OD=PDtan∠ P= 3 tan30176。 答案： （ 1） PD 是 ⊙ O 的切線 連接 OD,∵ OB=OD, ∴∠ ODB=∠ PBD 又 ∵∠ PDA=∠ PBD. ∴∠ PDA=∠ ODB 又 ∵ AB 是半圓的直徑， ∴∠ ADB=90176。30176。EB=DE. （ 1）求證： DE 是 ⊙ O 的切線； （ 2）分別求 AB， OE 的長； （ 3）填空：如果以點 E 為圓心， r 為半徑的圓上總存在不同的兩點到點 O 的距離為 1， 則 r 的取值范圍為 . OEDCBA （北京四中模擬） 如圖，點 P 是半徑為 6 的 ⊙ O 外一點 ,過點 P 作 ⊙ O 的割線 PAB,點 C 是 ⊙ O 上一點 , 且 PC2=， （ 1）求證： PC 是 ⊙ O 的切線； （ 2）若 sin∠ ACB= 53 ，求弦 AB 的長；（ 3）已知在（ 2）的條件下，點 D 是劣弧 AB的中點，連結 CD 交 AB 于 E，若 AC： BC=1： 3，求 CE 的長。 （ 1）求證： △ AHD∽△ CBD （ 2）連 HB，若 CD=AB=2，求 HD+HO 的值。、∠ A=30176。 A G B H C F D E 第 5 題 3 CB AA EA CA BA DA OA （第 7 題圖） FA 答案： 相切， 33 4．（ 20xx 年杭州三月月考 ）如圖所示，在 ABCRt? 中， ??? 90C ， 8,6 ?? BCAC ，若以 C 為圓心， R 為半徑所得的圓與斜邊 AB 只有一個公共點，則 R 的取值范圍是 ： ▲ 。 （ 20xx 年北京四中 34 模） 在直徑為 12 的 ⊙ O 中，點 M 為 ⊙ O所在平面上一點，且 OM=5， 則過點 M 的 ⊙ O 最短的弦長是 答案： 112 7．（ 20xx杭州市模擬） 如圖，矩形紙片 ABCD，點 E 是 AB 上一點，且 BE∶ EA=5∶ 3， EC=155 ，把 △ BCE 沿折痕 EC 向上翻折，若點 B 恰好落在 AD 邊上，設這個點為 F，則（ 1）AB= ， BC= ；（ 2）若 ⊙ O 內(nèi)切于以 F、 E、 B、 C 為頂點的四邊形，則 ⊙ O的面積 = ． ； 答案： AB=24， BC=30， ⊙ O 的面 積 =100? ．（ 1+1+2 分） B C D A （第 5 題圖） 4 A 第 13題 O C B 4?8. （ 20xx 廣東南塘二模） Rt△ ABC 中， ∠ C＝ 90176。；（ 4 分） （ 2）過 D 作 DE⊥ x 軸，垂足為 E，連接 OB，因為 DO 切 ⊙ B 于 O，所以 ∠ BOD=90176。 ∠ A＋ ∠ AHD＝ 90176。 ∴∠ ACM+∠ PCA=90176。,過點 C 作 CD⊥ AC 交AB 于點 D. (1)尺規(guī)作圖：過 A， D， C 三點作 ⊙ O（只要求作出圖形，保留痕跡，不要求寫作法）； (2)求證： BC 是過 A， D， C 三點的圓的切線； (3)若過 A， D， C 三點的圓的半徑為 3 ,則線段 BC 上是否存在一點 P，使得以 P， D，B 為頂點的三角形與 △ BCO 相似 .若存在，求出 DP 的長；若不存在，請說明理由 . 答案： 解：（ 1）作出圓心 O， 以點 O 為圓心， OA 長為半徑作圓 . （ 2）證明： ∵ CD⊥ AC,∴∠ ACD=90176。90176。, 即 OD⊥ PD. ∴ PD 是 ⊙ O 的切線 .. （ 2） ∵ OD⊥ PE,AD⊥ BD,∠ BDE=60176。 過 O 作 OG⊥ B A′垂足為 G， ∴ OG=12OB=2． …………………………4 分 ∴ B A′是 ⊙ O 的切線． ……………………5 分 同理，當 BA 繞點 B 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 120 度 到 B A″的位置時， B A″也是 ⊙ O 的切線． … ………………6 分 （如只有一個答案，且說理正確，給 2 分） （或： 當 BA 繞點 B 按順時針方向旋轉(zhuǎn)到 B A′的位置時， BA 與 ⊙ O 相切， 設切點為 G，連結 OG，則 OG⊥ AB， ∵ OG=12OB， ∴∠ A′BO=30176。 ∴∠ CAP＋ ∠ CPA＝ 90176。BC= 21AC30176?！?6 分 由（ 1）知： ∠ DAE＝ ∠ OAD ∠ AED＝ ∠ ADC ∴ △ ADC∽ △ AED ∴ ADACAEAD? ……… ………… 7 分 在 Rt△ ADE 中， DE＝ 4 AE＝ 2 ∴ AD＝ 52 ………………… 8 分 ∴ 52AC252 ? ∴ AC＝ 10 ………………… 9 分 ∴ ⊙ O 的半徑是 5. ………………… 10 分 1 （北京四中 20xx 中考模擬 13） 如圖 2， PA 切 ⊙ O 于點 A， PBC 交 ⊙ O 于點 B、 C，若PB、 PC 的長是關于 x 的方程 0)2(82 ???? mxx 的兩 根，且 BC=4， 求 :（ 1） m 的值；（ 2） PA 的長； A B C P 解：（ 1）證明： ∵ BE∥ CD， CD⊥ AB ∴ BE⊥ AB……………………………………(2 分 ) ∵ AB 為 ⊙ O 的直徑 ∴ BE 為 ⊙ O 的切線； ………………………(3 分 ) （ 2）解：連接 BC， ∵ AB 為 ⊙ O 的直徑， CD⊥ AB ,CD=8 ∴ DM=CM==4…………………………………(4 分 ) ∵21?AMDM ∴ AM=2DM=8…………………………………………(5 分 ) ∵∠ BCM=∠ BAD, ∠ CMB=∠ AMD=9017