【正文】 2設(shè)向量組A0:a1,a2,L,ar是向量組A:a1,a2,L,am(m179。i163。推論2：m(mn)個n維向量組成的向量組一定線性相關(guān)。a=0② 兩個向量a,b的向量組線性相關(guān)219。顯然，向量b能由向量組A線性表示，也就線性方程組：x1a1+x2a2+L+xnan=b有解。247。231。231。a1j246。247。231。05247。2=k，得其通解為：237。232。232。0010247。當(dāng)l=1時，B=231。248。247。231。231。231。174。0021246。lx1+(2l1)x2+3x3=1239。232。247。247。239。x1=8x4230。231。0247。0246。231。0130247。231。130246。nx=0有非零解219。 線性方程組有解的條件一、線性方程組解的判定非齊次線性方程組定理1：對于非齊次線性方程組Am180。247。a3246。231。 174。231。3554247。1231。232。231。解：231。230。的秩231。*(3)若R(A)n1，則A的任意一個n1階子式都為零。故A*可逆，從而R(A)=n(2)若R(A)=n1，則AA=AE=0。R(A)=n236。min{R(A),R(B)}⑨ 若Am180。231。n矩陣A的k階子式共有Cm個。1111例：A=231。 矩陣的秩一、k階子式的概念2m,n})，其交叉處的k個元素定義：在m180。190。(E|A1)或（解矩陣方程AX=B或XA=B（A可逆）初等變換法：(A|B)190。AE由定理4可知，方陣A可逆219。n 247。三、初等變換求逆矩陣定理2：對任意一個m180。232。21247。1247。0246。232。231。231。247。230。232。1二、初等矩陣定義：由n階單位陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為n階初等矩陣。2A1246。k247。231。230。1246。O246。n247。231。232。231。247。1232。1230。246。246。247。db246。247。0，則lA可逆，且(lA)1111=A；1=lA1；1③若A,B均為n階可逆方陣，則AB也可逆，且(AB)④若A可逆，且AB=AC，則B=C； ⑤若A可逆，則A也可逆，且(A)T； =B1A1（穿脫原理）T1=(A1)T；⑥若A可逆，則A也可逆，且(A*)1=(A1)*；⑦若A可逆，則(A*)T=(AT)*；1⑧若A可逆，則A=A1*⑨若A,B均為n階可逆方陣，則(AB)*=B*A*（穿脫原理）證明： ①因為AA1=E，由推論可知，(A1)1=A②因為lA1lA1=AA1=E，由推論可知，(lA)=11lA11③(AB)(B1A1)=A(BB1)A1=AEA1=AA1=E，由推論有，(AB)11④因為A可逆，則AAB=AAC，即EB=EC，故B=C=B1A1⑤AT(A1)T=(A1A)T=ET=E，由推論有，(A)⑥因為A可逆，故A1T1=(A1)T=1*AA1A，且A*=A*=E，從而(A*)1=A； AAAA1又A(A)=(A)A11*1*=A1E，即(A1)*=AA1E=1A A所以(A)*1=(A1)*。0，故有**A1*1*A=AA=E AA=1*A。 逆矩陣一、逆矩陣定義：對于n階方陣A，如果有一個n階方陣B，使AB=BA=E則稱A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣，記為B=A。A1nA2nLAnn248。247。=231。231。0,i185。231。A22LAn2247。231。248。231。0Lann247。231。0247。l0L231。247。247。230。f(A)=a0Am+a1Am1+L+am1A+amE仍為一個n階方陣，四、習(xí)題P61 T2(3)(4)(5)(8)T3T4T6167。232。00247。（3）A=X=231。230。00248。247。2247。8BA=231。231。2247。 解：AB=231。231。231。n矩陣C=(cij)m180。Mlam2Mla11234。232。231。矩陣的相等：Am180。La2n247。a11231。0，那么它只有零解；如果齊次線性方程組有非零解，那么它的系數(shù)行列式D=0。239。即ai1Aj1+ai2Aj2+L+ainAjn(i185。123例：②如211111211234=234；③如339=32113***123123④如456=123+333；112112112111111111111⑤如2334=012=012=012=0 45345012000注意：計算行列式的常用方法：(1)利用定義；(2)利用性質(zhì)把行列式化為上(下)三角形行列式，從而算得行列式的值；(3)利用展開公式(下一節(jié))。即n階行列式是指n!項取自不同行不同列的n個元素乘積的代數(shù)和。La2n247。a11231。a12a22a32a13a23=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a33a31a11a23a32a12a21a33a13a22a31 為三階行列式。ax+ax+ax=b231。2從而x1= 二、三階行列式 D1D,x2=2。a21x1+a22x2=b2232。a11x1+a12x2=b1230。0L00L0248。n174。00L00L0246。0231。247。231。五、習(xí)題P11 T1(2)T2167。236。x3=1+x4236。248。00111247。247。248。12214247。24115247。230。例2：解方程組237。0016247。其中231。1246。 231。231。232。231。174。247。248。0115247。231。247。3從上面可以看出，整個消元過程和回代過程都只與x1,x2,x3的系數(shù)有關(guān)，且僅用了以下3種變換：①交換兩行；②某行乘k倍；③某行乘k倍加至另一行（即初等行變換）。x2=1239。x1=9239。4xx=2239。2x1x2+3x3=1239。236。m1am2Lamn二、線性方程組的消元法b1246。a232。Lamn247。239。 線性方程組的基本概念一、基本概念定義：m個方程n個未知數(shù)的線性方程組為如下形式：236。方程組(1)a12a22Mam2La1n246。a11231。231。為增廣矩陣。4x1+2x2+5x3=4239。解：237。23238。239。x=6239。230。231。231。232。2131246。231。174。0016247。20018246。231。0016247。1009246。0101247。232。1解：2121246。231。00333247。231。230。174。231。x1+2x2+x4=2236。21令x2=c1,x4=c2，得方程組的通解為237。2112222nn定理：在齊次線性方程組237。j=1,2,L,n)排成的m行n列的數(shù)表230。247。二、矩陣的初等行(列)變換①交換兩行(列)； ②某行(列)乘k倍；③某行(列)乘k倍加至另一行(列)。0231。MMMM247。O247。 247。引例：對于線性方程組237。236。a11a12231。311322333a11稱D=A=detA=a21a13246。（n級排列共有n!個）定義2：在一個排列中，如果一對數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個逆序，一個排列中逆序的總數(shù)稱為這個排列的逆序數(shù)，記作t。21M231。Lamn247。三、行列式的性質(zhì)設(shè)n階矩陣A=(aij)n180。：***中，a11=1的余子式為M11=412，代數(shù)余子式為 23411234A11=(1)1+1M11=M11，a21=4的余子式為M21=412，代數(shù)余子式為341A21=(1)2+1M21=M21，二、展開公式定理：n階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和。 克拉默法則一、克拉默法則定理1：含有n個未知數(shù)x1,x2,L,xn與n個方程的線性方程組236。如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式D=A185。它主要適用于理論推導(dǎo)。M231。n。aij=bij(i=1,2,L,m。247。n，B=(bij)m180。M234。；矩陣的數(shù)乘滿足下列運(yùn)算律(設(shè)A,B都是m180。j=1,2,L,n)k=1s記為Cm180。24246。的乘積AB與BA。230。247。232。230。247。232。若AB=BA，則稱方陣A與B可交換。10246。247。231。248。231。0L=231。MM247。247。MM231。l247。a21或231。an1性質(zhì)：A=a11a22Lann轉(zhuǎn)置矩陣 230。247。m。231。A2nLAnn247。231。A11A21LAn1246。a22La2n247。231。231。248。0；當(dāng)A可逆時，A=11* A，其中A*為A的伴隨矩陣?？梢?，可逆矩陣就是非奇異矩陣。又(AB)(AB)*=ABE，所以(AB)*=AB(AB)1=ABB1A1=BB1AA1=B*A*230。248。0時，A可逆； 247。adbc232。13247。247。35246。248。231。411247。247。A1O246。232。248。248。O232。248。232。1247。例將A=231。231。13246。174。=B 247。247。01248。230。231。231。248。O232。n定理3：對于n階可逆矩陣A，總存在有限個n階初等矩陣P1,L,Ps,Ps+1,L,Pk，使得P1LPsAPs+1LPk=En180。求逆矩陣的基本方法初等變換法：(A|E)190。190。初等列變換190。min{按原來的位置構(gòu)成的一個k階行列式，稱為矩陣A的一個k階子式。1200231。三、矩陣秩的性質(zhì)m,n} ① 1163。R(A,B)163。n例設(shè)A為n階矩陣A的伴隨矩陣，證明 *T230。1,R(A)=n1239。nR(A)163。21113246。248。247。231。00231。00006248。12a3246。230。00112a2247。247。00063a0247。247。231。R(A)=R(A,b)n③ 無解219。R(A)=R(A,B)二、線性方程組的解法236。230。247。0130247。248。230。0108/3247。248。8246。231。(k206。231。9238。0,l185。230。0021247。248。R(B)，所以方程組無解。174。1123247。230。231。231。231。因R(A)=R(B)=23，所以方程組有無窮多解。3239。167。a2247。232。231。a247。b2247。一個線性方程組Am180。nx=0，寫成向量形式：x1a1+x2a2+L+xnan=0。定理2：向量組a1,a2,L,am(m179。(2)若向量組a1,a2,L,ar線性相關(guān)，則向量組a1,a2,L,ar,ar+1,L,an(nr)必線性相關(guān)；反之，若向量組a1,a2,L,ar,ar+1,L,an(nr)線性無關(guān)，則向量組a1,a2,L,ar必線性無關(guān)。 向量組的秩一、向量組的等價定義1：設(shè)有向量組A:a1,a2,L,am；向量組B:b1,b2,L,bs，若向量組A中的每一個向量都能由向量組B線性表示，則稱向量組A能由向量組B線性表示。定理：矩陣的初等行變換不改變(部分或全部)列向量之間的線性關(guān)系； 矩陣的初等列變換不改變(部分或全部)行向量之間的線性關(guān)系。：若向量組B能由向量組A線性表示，則向量組B的秩不大于向量組A的秩。nx=0(1)性質(zhì)1：若x1,x2都是Ax=0的解，則x1+x2也是Ax=0的解。講教材P132 例3和例4三、習(xí)題P134 T1 T2(1)T3 T4 T5 T6 T7 T8 P141 總復(fù)習(xí)題：T1 T2 T4 T5 T6至T13第五章 特征值和特征向量矩陣的對角化教學(xué)目標(biāo)與要求，掌握施密特正交化方法和正交矩陣的性質(zhì) ，掌握它們的性質(zhì)及其求法 ，掌握相似矩陣的性質(zhì)，熟悉實(shí)對稱矩陣的對角化方法 教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn) 167。0時，稱q=arccoslx=lx(3)三角不等式：x+y163。令[a2,b1]b；L；[b1,b1]1[a,b][a,b][ar,br1]b。231。cosq248。A的行(列)向量組為規(guī)范正交向量組。定義7：若P為正交矩陣，則線性變換y=Px稱為正交變換。性質(zhì)2：設(shè)l是方陣A的特征值，k,m206。 0是A的特征值；A可逆219。定理2：n階方陣A可對角化219。ni=1i=n。1T定理5：設(shè)A是n階實(shí)對稱矩陣，則存在正交矩陣P，使PAP=PAP=L。為了便于用矩陣討論二次型，令aij=aji，則二次型為：f(x1,x2,...,xn)=a11x12+a12x1x2+L+a1nx1xn+2 a21x2x1+a22x2+L+a2nx2xn+.................................................2 an1xnx1+an2xnx2+L+annxn=230。anijxixjLa1n246。x2247。x247。x1=c11y1+c12y2+L+c1nyn239。c11231。c22Lc2n247。230。231。247。n248。2．合同的性質(zhì)A① 反身性：對任意方陣A，都有A~B，則B~A② 對稱性：若A~C B,B~C，則A~③ 傳遞性：若A~3．定理：任何一個實(shí)對稱矩陣A都合同于一個對角陣L（L是以A的n個特征根為對角元的對角陣），即存在可逆矩陣C，使得CAC=L。即（三、習(xí)題P181T1T3T4167。慣性定理的等價表述：任意一個秩為r的實(shí)二次型f都可以經(jīng)過滿秩線性變換化為規(guī)范形，且其規(guī)范形是唯一的。A的n個特征值全為正；219。本章主要閱讀文獻(xiàn)資料：，《線性代數(shù)》(第4版)，中國人民大學(xué)出版社，2008年2月。同理將D中第二列的元素a a b2，12，22 換成常數(shù)項b1，可得到另一個行列式，用字母D2表示，于是有按二階行列式的定義，它等于兩項的代數(shù)和：a11b2b1a21，這就是公式（2）中x2的表達(dá)式的分子。a11234。ALa2n235。n的共軛矩陣記作A=(aij)m180。0；An180。0時, 亦稱A為非奇異矩陣；detA=0時, 亦稱A為奇異矩陣．推論1 對于An180。n滿足BA=E, 則A可逆, 且A1=B．算律：(1)A可逆222。detA1=1． detA(6)An180。, A1=1A*=1234。234。n滿足A22A4E=O, 求(A+E)1． 解A22A4E=O222。0222。21249。235。233。234。235。114234。011249。81249。234。20234。=234。234。1A=234。0234。235。003 234。=234。l233。MMB=M, l180。As1LAstC11LC1r249。010420249。010234。A21B11+B21233。235。nT233。234。A2性質(zhì)：(1)detA=(detA1)(detA2)L(detAs)(2)A可逆219。235。233。O235。OO249。 =111233。CB238。 238。區(qū)分行 取消運(yùn)行顯示 % 注釋標(biāo)記: 具有多種應(yīng)用功能(區(qū)分大小寫): 預(yù)定義變量: anspi 相關(guān)命令: format(顯示格式 rat long short)who whos clear 文件（純文本文件，）建立 修改 保存 運(yùn)行二、Matlab 與線性代數(shù)的基本運(yùn)算數(shù)字矩陣：A=[1 2 3。Ax=0, 其中A 為m*n 矩陣，R(A)=r法1：U=rref(A), 選定自由變量，得到一組基礎(chǔ)解系法2：z=null(A)% z的列向量為Ax=0的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。123