【正文】 評注：此題也可以構(gòu)造復(fù)數(shù)獲證。則 2 2 2121 2 3 2 11 2 2 3 1122 2 212121 2 2 3 1[ ( ) ] [ ( ) ] ... [ ( ) ]2 ( ... )... ( 2 2 ) ( ... )22nnnnnnna a aa a a a a aa a a a a aa a aa a aa a aa a a a a a? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? 因此只需讓 1222????即可。 構(gòu)造復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)因為其較強的幾何背景而具有明顯的直觀性，而且與其他知識聯(lián)系密切。其實，數(shù)學(xué)歸納法加強命題的方法對這類不等式常常是有效的！這種方法具有明顯的構(gòu)造性！一般的思路是設(shè)法找到一個函數(shù) ( ) 0fn? ，這個函數(shù)稱之為調(diào)控函數(shù)。 實際上江蘇如東高級中學(xué)的陳唐明老師取 78a? 其錯誤在于他由條件 1112 1 1122kkka????? ? ? 對于任 意的 kN?? 恒成立”得到 11su p 1 12 ka ???? ? ????? （《加強命題證明一類數(shù)列不等式的解法探析》數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（教師版）編號 226400） 證法 2：直接放縮 1172 1 2 ( 3 )41 4 1 ( 3 )2 1 7 2nnnnnn??? ? ?? ? ??? 3213111 1 1 1 4 1 1 1 4 4 12. . . 1 ( . . . . . . )12 1 2 1 2 1 3 7 4 8 2 3 7 4124 2 1 4 2 3 4( 1 )3 7 2 3 7 2 1nnnn??????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? 從上面兩例不難發(fā)現(xiàn)，直接放縮和用加強命題證明不等 式各有優(yōu)缺點。對這一課題的研究，雖然取得了一系列進展，但尚未形成系統(tǒng)的理論體系，僅僅停留在“用現(xiàn)成的例子說明現(xiàn)成的觀點，或是用現(xiàn)成的觀點解決現(xiàn)成的問題”的程度。 值此論文結(jié)束之際，感謝我生活了四年的大學(xué)，是她，教會了我如何學(xué)習(xí)。章老師一直對本論文的寫作給予了悉心的指導(dǎo)，對文章的構(gòu)架提了許多切中要害的建議。這是目前這一領(lǐng)域研究的不足之處，也是我繼續(xù)研究的方向。而用數(shù)學(xué)歸納法加強命題證明不等式好處是容易把握，思維模式固定；但缺點也是明顯的，就是常常得繞上一大圈，比較費事。如何尋找滿足條件的調(diào)控函數(shù)呢？用數(shù)學(xué)歸納法 !讓我們通過一個例子來一探究竟！ 例 13 求證：11 3nk kk? ?? 證明：根據(jù)題目的特點，方便起見，我們把調(diào)控函數(shù)設(shè)設(shè)成 1()fn的形式，這里 ( ) 0fn? 。 例 11 已知 , [ 2 , 2 ],v R u?? ? ? 求 證： ? ? 2 229( 2 ) 8u v u v? ? ? ? ? 分析：將不等式變形為 ? ? 2 229( 2 ) 2 2u v u v? ? ? ? ? 則不等式左邊可看作是復(fù)數(shù) 2 9( ) ( 2 )z u v u iv? ? ? ? ? 的模長。證畢。對偶式的選擇，需要直覺和經(jīng)驗，要求解題者有較強的思維發(fā)散能力。 證明： 2 2 2 2 22 co s 3a b a b a b a b?? ? ? ? ? 作如下圖的三角形 23BAD ??? AC 為 BAD? 的角平分線。上式等價于 22 2 2 32 1 2 1nn????????? 一種方法是把上式化為多項式不等式，思路是簡單的，計算也不復(fù)雜。 證明： ac? 時 不等式顯然成立。 所以 (t) (1)=0?? ， ??3 成立，（ 2）成立，（ 1）成立。 證明：首先證明前一個不等式： (x,y) ( , )G L x y? 。這幾乎是顯然的，就是伯努利不等式。 , ( ) 022x f x x f x??? ? ? ? ?. ()fx在 12x? 時取極大值。 0( 1, 2,3...)nan?? ， ()fx是定義在 [0, )? 上的函數(shù)。不等式類型千差萬別，變幻莫測，要找到一種適用于所有不等式的思維模式，似乎不大可能。在數(shù)學(xué)概念構(gòu)造中，特別是在解題中，更是如此。以下總結(jié)的是一些思維方法和思維觀念。而對數(shù)學(xué)美的追求又常常反過來幫助我們發(fā)現(xiàn)更美的解法。其次不必過分追求高技巧，為構(gòu)造而構(gòu)造。 直到 1967 年，數(shù)學(xué)家比肖泊的書出版，宣告從此構(gòu)造法進入“現(xiàn)代構(gòu)造 數(shù)學(xué) ”階段 .隨著計算機的出現(xiàn)，構(gòu)造數(shù)學(xué)派上了大用場。這引起了一大批富于才華的數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。從它最初的定義、公設(shè)、寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 11 公理出發(fā)，一步步推出了大量的，很不顯然的幾何定理（張景中《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》）。他的證明是這樣的。古代中國，曾在數(shù)學(xué)上取得輝煌的成就。 。僅僅在國內(nèi)，每年都有數(shù)以百計的關(guān)于構(gòu)造法解題的論文涌現(xiàn)，可見這一方法的吸引力之大。由此，國內(nèi)數(shù)學(xué)教育界才第一次知道，世界上有“國際奧林匹克競賽”（陳計、葉中豪《初等數(shù)學(xué)前沿》）。第二章則是構(gòu)造法解題的模型概述，比較全面的總結(jié)了構(gòu)造法證明不等式的基本數(shù)學(xué)模型，對模型產(chǎn)生的思維過程進行剖析。 從這個定義出發(fā)，構(gòu)造法就有了有限性、能行性的規(guī)定。在西方，畢達哥拉斯學(xué)派的一名成員帕索斯根據(jù)該數(shù)學(xué)學(xué)派所發(fā)現(xiàn)的畢達哥拉斯定理，構(gòu)造出一個直角邊長都是自然數(shù)“ 1”的等腰直角三角形，從而發(fā)現(xiàn)了不可公度量 2 。但是 1 1 21 ...nnp p p p?? ? ?，這表明，自然數(shù) 1 可以被大于 1 自身的某個素數(shù)整除，這同樣是荒謬的。這種認(rèn)識在歐幾里得之前是不可思議的。羅素本人在《數(shù)學(xué)原理》中用構(gòu)造層次論建立起宏大的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，避開了邏輯上的缺陷。中 學(xué)幾何中，作輔助線、因式分解中加項減項就是最生動的體現(xiàn)。單遵教授說拿到題目的第一步就是仔細閱讀題，理解題意。參照以往文獻，我認(rèn)為，加強命題是一種強有力的模型，加強命題就是把命題轉(zhuǎn)化為更強的命題，使得問題明朗化。除此而外，重要的構(gòu)造思想還有審美構(gòu)造、聯(lián)想構(gòu)造、直覺構(gòu)造、類比構(gòu)造、歸納構(gòu)造、逆向構(gòu)造、賦義構(gòu)造、調(diào)頻構(gòu)造。雖然表面上顯得更加“繁”，但因為增加了反面這一條件，有時反而利于問題的解決，總體的看，這是一種由繁到簡的思維過程。通過研究，我發(fā)現(xiàn)，對一類“數(shù)列型不等式”，這樣的“通法”是存在的。這兩個命題是對偶的。 分析：對許多和正整數(shù)有關(guān)的命題，可以考慮數(shù)學(xué)歸納法。而上面的方法好處在于能夠讓我們較快的發(fā)現(xiàn)需要構(gòu)造的函數(shù)，觸及問題的核心，使問題獲解。 ()gt 是 單 調(diào) 遞 增 函 數(shù) 。 不等式 ( , ) ( , ) ( , )G x y L x y M x y?? 得證。 當(dāng)然，此題方法不止一種 證法二：作差法 2 2 2 22 2 2222( 2 ) 3 ( 2 ) ( ) 4 2 4 42 ( 2 ) 4 42 ( 2 ) ( 2 )( 2 ) 0b a c a b c a c a b c a b a c b ca a b c b b c ca a b c b ca b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2( 2 ) 3 ( 2 ) ( )b a c a b c a c? ? ? ? ? ? ? 成立的條件是 2a b c?? 評注：這里用到了主元法。 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 21 構(gòu)造圖形 不等式證明中，我們通常習(xí)慣與從代數(shù)的角度考慮問題。都給人以美的享受。 實際上，此題也可用放縮法加以證明，用到的是另外一個基本不等式 ,ab都大于零，2abab ?? 。較之其他方法，這種方法顯得“不那么花哨”，但技巧有高低，方法無好壞。 構(gòu)造不等式 例 7 證明：對任意的 ,x y R R????, 22sin cosx y x y???? 證明：對任意的 ,x y R R????，有下列不等式成立 2 2 2 2s i n s i n c o s c o s( ) ( ) 0x y x y? ? ? ?? ? ? 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 27 展開即得 2 2 2 2s i n c o s c o s s i nx y x y x y? ? ? ?? ? ? ,x y R?? 2 2 2 2 2 2s i n c o s c o s s i n s i n c o sx y x y x y x y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 除了以上舉例說明的六種模型之外，比較重要的還有解析幾何模型，二項式模型，限于篇幅，不能再一一舉例論證。 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 29 研究發(fā)現(xiàn)，此題還可以考慮以下放縮方法。所謂有得必有失。 參考文獻 【 1】賈秀玲《“眾口”不能“鑠金” —— 關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法加強命題的再思考》 ，《中學(xué)數(shù)學(xué)》， 20xx年第 12 期 【 2】任念兵，《強化命題證明一類數(shù)列不等式》，《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》， 20xx 年第 12 期 【 3】劉強《談構(gòu)造法證明不等式》， 科學(xué)咨詢：中旬 20xx 年 7 期 . 【 4】厲軍萍《巧用構(gòu)造法證明不等式競賽題》， 中學(xué)教研：數(shù)學(xué)版 20xx 年 6 期 【 5】謝國梁《用構(gòu)造法證明不等式》， 學(xué)周刊： C 20xx 年 2 期 【 6】馬勇《構(gòu)造法證明不等式的思考途徑》， 讀寫算（教師版）：素質(zhì)教育論壇 20xx 年 20 期 【 7】傅仕玲《用構(gòu)造法證明不等式》， 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊：教師閱讀 20xx 年 7 期 【 8】趙春祥《構(gòu)造法證明不等式 例說》， 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊：中學(xué)生版高三卷 20xx 年 3 期 【 9】吳守玲《用構(gòu)造法證明不等式》， 南京廣播電視大學(xué)學(xué)報 【 10】構(gòu)造法在證明不等式中的應(yīng)用 余悛瑞 【 11】構(gòu)造法在證明不等式中的應(yīng)用 余悛瑞 20xx 年第 10 期考試 周刊 【 12】《實用高考中學(xué)數(shù)學(xué)解題策略與方法技巧大典》 【 13】《解題研究》單遵 【 14】《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》張景中 【 15】《構(gòu)造函數(shù)法證數(shù)列不等式的幾種思考途徑》 【 16】 任文龍 ,王奇 ,李慧 《 高觀點下的初等數(shù)學(xué)不等式》， 20xx 年 17 期《數(shù)學(xué)通訊》 致謝 尊敬的各位老師 : 美好的大學(xué)生涯即將結(jié)束，我們即將跨入人生的另一階段。對所有對論文寫作產(chǎn)生過有益影響的人們，在此一并鳴謝！ 34