【正文】 證明“聚點(diǎn)原理”.證(用反證法)設(shè)是的聚點(diǎn), 則對(duì)的有限個(gè)點(diǎn).??.例7 用“確界原理”證明“聚點(diǎn)原理”.證 , , 存在開(kāi)區(qū)間.反設(shè), 使在的每一點(diǎn)都不內(nèi)僅有易見(jiàn)數(shù)集,由 非空有上界, 由確界原理，不是的上界。Ⅲ: 區(qū)間套定理Heine–Borel 有限復(fù)蓋定理.“Ⅰ” 的證明:(“確界原理單調(diào)有界原理”已證明過(guò)).“確界原理”證明“單調(diào)有界原理”: “單調(diào)有界原理”證明“區(qū)間套定理”: 定理 設(shè),使對(duì) 若是區(qū)間套確定的公共點(diǎn), 則對(duì), 當(dāng)時(shí), 若是區(qū)間套確定的公共點(diǎn), 則有 ↗, ↘，.“區(qū)間套定理”證明“Cauchy收斂準(zhǔn)則”:定理 數(shù)列收斂 Cauchy列是有界列.(證)定理 的證明:(只證充分性)教科書P217—,． 用“Cauchy收斂準(zhǔn)則” 證明“確界原理” ： 非空有上界數(shù)集必有上確界 ；（只證“非空有上界數(shù)集必有上確界”）設(shè)時(shí) , 顯然有上確, 取, 使不是的上界， 收斂。0(n174。limank=A由條件及數(shù)列極限的定義, 對(duì)任給的e0,存在K0,使得對(duì)m,n,kN有所以k174。e)含有S給的e0,存在N0,使得當(dāng)nN時(shí)有[an,bn]204。[a2,b2]且b2a2=12(b1a1)=[a2,b2]等分為兩個(gè)子區(qū)間,則其中至少有一個(gè)含有S中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn),取出這樣一個(gè)子區(qū)間記為[a3,b3],則[a2,b2]201。LL令異。的證明: 由定義2162。2162。e)IS185。165。12n12.依次繼續(xù)令幾乎所有的項(xiàng),且滿足 e=123,L，L,得一區(qū)間列{[an,bn]},其中每個(gè)區(qū)間中都含有{an}中[an,bn]201。推論若x206。設(shè)x162。165。bn163。lim(bnan)=0則稱{[an,bn]}為閉區(qū)間套，(區(qū)間套定理)若{[an,bn]}是一個(gè)區(qū)間套,則在實(shí)數(shù)系中存在唯一的一點(diǎn)x使得x206。248。22248。pp246。3, 即f(x)令 y=5x2x2+3 222。=x+(x)=(, +1, +: : : : 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)都是初等函數(shù), 則⑴ f(x)是初等函數(shù), 因?yàn)?f(x)=(f(x))2.⑵F(x)=ma{xf(x), g(x)} 和 f(x)=min{f(x), g(x)}都是初等函數(shù), 因?yàn)?F(x)=max{f(x), g(x)}=12[f(x)+g(x)+f(x)g(x)] ，f(x)=min{f(x), g(x)} =12[f(x)+g(x)f(x)g(x)].⑶冪指函數(shù) (f(x))g(x)(f(x)0)是初等函數(shù),因?yàn)?f(x))g(x)=eln(f(x))g(x)=eg(x)lnf(x).: Ex[1]P15 1(4)(5)，2, 3，4，5, 6, 7，8；167。1x, x179。1, x=1, 和g(x)=: 以函數(shù)f(x)=237。同理有infS163。min{ infA , infB }.即min{ infA , infB }是數(shù)集S的下界, 222。 supA是B的下界,222。supA, infS163。1252。 , +165。0, n206。,(幾何平均值)232。R, 記+22 3 a1+a2+L+an1nM(ai)= = 229。$n,使得xn 設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，x：存在有理數(shù)r滿足xry.[1]: ⑴.四則運(yùn)算封閉性: ⑵.三歧性(即有序性): ⑶.Rrchimedes性:a,b206。 實(shí)數(shù)集與函數(shù)（計(jì)劃課時(shí)：6 時(shí)）P1—22167。先難后易, 是說(shuō)開(kāi)頭四章有一定的難度, 若能努力學(xué)懂前四章(或前四章的80%),后面的學(xué)習(xí)就會(huì)容易一些。232。對(duì)應(yīng)x206。2524163。5x26x=526163。x3, x179。2為例239。min{ infA , infB }.綜上, 有 infS=min{ infA , infB }.: ⑵: 設(shè) E為數(shù)集.⑴E的最值必屬于E, 但確界未必, 確界是一種臨界點(diǎn).⑵非空有界數(shù)集必有確界(見(jiàn)下面的確界原理), 但未必有最值.⑶若maxE存在, 必有 maxE=:Th(確界原理).Ex[1]P4 3，4，9，10；P92，4，7⑴⑶.167。min{ infA , infB }.又S201。 A和B為非空數(shù)集, S=: infS=min{ infA , infB }.證x206。A和y206。y y=: (1)例1⑴S=237。 , +165。N且n179。i=1248。ai,(算術(shù)平均值)i=11nG(ai)=na230。R, ba0, $n206。a,b,g163。c；結(jié)合律：l(aq163。有序數(shù)組(x,y,z)稱為點(diǎn)M的坐標(biāo)；x,y,z分別稱為x坐標(biāo)，y坐標(biāo)，z坐標(biāo).(提問(wèn))根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)定，點(diǎn)（0,0,c）在哪條坐標(biāo)軸上，點(diǎn)（a，b，0）(a,0,c)在哪個(gè)坐標(biāo)面上？（目的在于檢驗(yàn)學(xué)生能否正確理解點(diǎn)與有序數(shù)組的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并在問(wèn)題中正確應(yīng)用.）（二）向量的基本概念及線性運(yùn)算（15分鐘）（此部分內(nèi)容在高中階段已學(xué)，故可由教師引導(dǎo)，師生共同回憶完成）⑴向量的定義：既有大小，又有方向的量，稱為向量或矢量．174。八、作業(yè)：P296 1，2，3，4。鞏固第一型曲面積分、第二型曲面積分的計(jì)算。l 第一型曲面積分的概念（約25min，投影、圖示與黑板講解）l第一型曲面積分的計(jì)算（約30min，投影、圖示與黑板講解）例1，例2的求解（約35min，投影、圖示與黑板講解）七、課程小結(jié)：（約5min，黑板講解）第一型曲面積分的定義；第一型曲面積分的計(jì)算。五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持六、教學(xué)過(guò)程：l 二重積分的概念與性質(zhì)； 。八、作業(yè)：P259 1，2。二、教學(xué)重點(diǎn)：三重積分換元法三、教學(xué)難點(diǎn)：四、教學(xué)方法：多媒體、問(wèn)題討論與黑板講解穿插教學(xué)。四、教學(xué)方法：多媒體、問(wèn)題討論與黑板講解穿插教學(xué)。l 補(bǔ)充例子：利用二重積分計(jì)算曲線積分。七、課程小結(jié)：（約5min，黑板講解）二重積分的定義；二重積分性質(zhì)；二重積分的計(jì)算。八、作業(yè)：P222習(xí)題1，2，3，4，5，6，8。課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案212）課題：167。三、教學(xué)難點(diǎn)：二重積分的定義；二重積分的存在性。二、教學(xué)重點(diǎn)：二重積分的概念；二重積分的存在性和性質(zhì)。八、作業(yè)：P217習(xí)題1，2，3，4，5，6，8。l 補(bǔ)充例子：利用二重積分計(jì)算體積；七、課程小結(jié)：直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算。l二重積分的計(jì)算； 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分。五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持六、教學(xué)過(guò)程：l 格林公式，l例1—例3的講解l 曲線積分與路線的無(wú)關(guān)性，例4的講解。三、教學(xué)難點(diǎn)：。215 三重積分一、教學(xué)目的：；掌握化三重積分為累次積分的方法； 掌握三重積分換元法。l建立曲面面積的計(jì)算公式（約40min，圖示與黑板講解）l l 例1講解（約35min，圖示與黑板講解）簡(jiǎn)單介紹重積分在重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的應(yīng)用（約15min，圖示與黑板講解）七、課程小結(jié)：（約5min，黑板講解）曲面面積的概念，重積分在計(jì)算曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中的應(yīng)用。三、教學(xué)難點(diǎn)：三重積分換元法四、教學(xué)方法：多媒體、問(wèn)題討論與黑板講解穿插教學(xué)。五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持六、教學(xué)過(guò)程：[引例]：（約5min，語(yǔ)言表述）由求曲面的質(zhì)量引出第一型曲面積分的概念。八、作業(yè)：P289 1，2 12 課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案223）課題：第一、二型曲面積分復(fù)習(xí)課一、教學(xué)目的：、第二型曲面積分的概念。五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持六、教學(xué)過(guò)程：l 場(chǎng)的概念、向量場(chǎng)線（約15min，投影、圖示與黑板講解）l梯度場(chǎng)的定義及其基本性質(zhì)（約20min，投影、圖示與黑板講解）l例1求解（約15min，投影、圖示與黑板講解）l 散度場(chǎng)的定義及其基本性質(zhì)（約20min，投影、圖示與黑板講解）l例2求解（約15min，投影、圖示與黑板講解）l了解其他場(chǎng)（約10min，投影、圖示與黑板講解）七、課程小結(jié)：（約5min，黑板講解）場(chǎng)的概念；梯度場(chǎng)、散度場(chǎng)。這些坐標(biāo)面把空間分為八個(gè)部分，(x,y,z)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。)二、講授新課（64分鐘）（一）向量的點(diǎn)積（34分鐘）引例已知力F與x軸正向夾角為a，其大小為F,在力F的作用下，一質(zhì)點(diǎn)M沿x軸由x=a移動(dòng)到x=b,求力F所做的功？（創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)的情景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣）分析：在力F使質(zhì)點(diǎn)M沿x軸由x=a移動(dòng)到x=b,？引起思維的碰撞，、定義 設(shè)向量a,b之間的夾角為q(0163。c+bπ).222222aba1+a2+a3b1+b2+b3向量的方向余弦設(shè) 向 量 a=a1i+a2j+a3k與 x 軸 ,y 軸 ,z 軸 的 正 向 夾 角 分 別 為a,b,g(0163。 1實(shí)數(shù)集與確界（3時(shí)）一．實(shí)數(shù)集R：: (即有序性): : a,b206。R, 記M(aa1+a2+L+anni)= n= 1n229。,(幾何平均值)232。0, n206。)}: 定義,(165。(0 , 1) E=237。infA..例4 x206。 supA163。 infS179。 infS163。1,和g(x)=237。236。0時(shí),有f(x)==5x2x+32163。 y163。,247。231。、周期函數(shù)和單調(diào)函數(shù)，參閱[1]P22—25，[4]P19— [1]P19—20 1⑸，3，4，6；P25 1，2，5，8，12；[4]P34—36 54，55，56，67，68，71，81.第四篇：數(shù)學(xué)分析教案第一章數(shù)學(xué)分析(mathematical analysis)課程簡(jiǎn)介(計(jì)劃課時(shí):2時(shí))一、背景:從切線、(limit)—— ：數(shù)學(xué)分析以極限作為工具來(lái)研究函數(shù)的一門學(xué)科（僅在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行討論）.主要研究微分(differential)和積分(integration)兩種特殊的極限運(yùn)算,利用這兩種運(yùn)算從微觀和宏觀兩個(gè)方面研究函數(shù), 數(shù)學(xué)分析的形成過(guò)程：孕育于古希臘時(shí)期:, ,是微積分思想的發(fā)展、成果的積累時(shí)期:十七世紀(jì)下半葉到十九時(shí)紀(jì)上半葉——微積分的創(chuàng)建時(shí)期:十九時(shí)紀(jì)上半葉到二十時(shí)紀(jì)上半葉——、數(shù)學(xué)分析課的特點(diǎn): 邏輯性很強(qiáng), 很細(xì)致, 很深刻。第二學(xué)期一元函數(shù)積分學(xué)與級(jí)數(shù)論。=,8=: 定義1:(實(shí)數(shù)大小的概念)見(jiàn)[1]:(不足近似與過(guò)剩近似的概念)見(jiàn)[1]: 設(shè)x==,則xy219。 x.⑵ 均值不等式: 對(duì)a1,a2,L,an206。247。1+nx, 1 且 x185。(165。238。(0,p).則supE=________, infE= 非空有界數(shù)集的上（或下） 設(shè)S和A是非空數(shù)集， supS179。 supA163。 x179。infA。2x, x163。x，求 f(0), f(1), f(2).238。12)247。R, 總有 f(x)163。令 x=3230。).于是 2232。+3232。165。L163。n174。bnan,n=1,2,L.162。故有x=x162。[a2,b2]及b2a2163。[an,bn],n=1,2,174。對(duì)于點(diǎn)集S,若點(diǎn)x的任何e鄰域內(nèi)都含有S中異于x的點(diǎn),即U(x。: 證明思路為:2222。162。x1。[M,M],記[a1,b1]=[M,M], 將[a1,b1],故意兩個(gè)子區(qū)間中至少有一個(gè)含有S中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn),記此子區(qū)間為[a2,b2],則[a1,b1]201。[an,bn],n=1,2, 對(duì)任x,e).從而U(x。165。bnan=12nb2a2=(ba).(ba)174。Ⅱ: 區(qū)間套定理致密性定理Cauchy收斂準(zhǔn)則。由是內(nèi)有的上界, 中大于, ,即課后記強(qiáng)掉應(yīng)先構(gòu)造閉區(qū)間套、構(gòu)造開(kāi)覆蓋、.