【正文】 估計(jì)出 50Hz電流和電壓相量。因此，最小二乘算法未能在微機(jī)距離保護(hù)中得到廣泛采用。如對(duì)采用二次諧波制動(dòng)原理的變壓器差動(dòng)保護(hù)只要求計(jì)算出基波和二次諧波，因此只需要計(jì)算 A? 中的第 4,5,6,7行乘 Y ，即可得 出2211 , IRIR XXXX ，則基波和二次諧波的幅值就可以用以下式計(jì)算出： 2,1,22 11 ??? iXXX IRi (511) 當(dāng) 應(yīng)用于阻抗計(jì)算的時(shí)候，可將 X 以電壓和電流代入分別計(jì)算 A? 的 4,5行乘Y ，即可以求出電流，電壓的幅值為： ? ?UmUUmUUUm UXUXXXU 55445242 s i n,c o s ?? ???? (512) ? ?UIUIII XXXX 5m54m45242m s i nI,c o sII ?? ???? (513) 從而求出保護(hù)安裝處至短路點(diǎn)的阻抗為 IIIUIU XX XXXXIUR52425544Re ?????????? (514) IIIUIU XX XXXXIUX52425445Im ?????????? (515) 最小二乘算法性能分析 最小二乘方算法是將輸入的暫態(tài)電氣量與一個(gè)預(yù)設(shè)的含有非周期分量及其某些諧波分量的函數(shù)按最小二乘方（或最小 平方誤差）的原理進(jìn)行擬合，使被處理的函數(shù)與預(yù)設(shè)函數(shù)盡可能逼近，其總方差或最小均方差為最小，從而可求出輸入信號(hào)中的基頻及各種暫態(tài)分量的幅值和相角。 最小二乘算法 最小濾波二乘算法原理 最小二乘濾波算法在實(shí)用上，最常用的模型是線性化的衰減直流分 量 加上基頻分量和整數(shù)倍數(shù)的 諧波分量 。在這種情況下，計(jì)算結(jié)果精度是很高的，對(duì)非主頻的抑制效果也很好，但是當(dāng)出現(xiàn)衰減直流分量時(shí)，輸入信號(hào)本身不是周期函數(shù)，此時(shí)經(jīng)過(guò)按數(shù)據(jù)窗截?cái)嗪笤傺油爻芍芷诤瘮?shù)，是可以分解成基頻及倍頻，但數(shù)值大小已經(jīng)發(fā)生變化，與原來(lái)函數(shù)所含的基頻或相應(yīng)的倍頻數(shù)值己不一樣。因?yàn)榫€路分布電容產(chǎn)生的影響主要表現(xiàn)為高頻分量，采用低通濾波器可將高頻分量濾除。 可見(jiàn)，當(dāng)信號(hào)中含有分?jǐn)?shù)次諧波時(shí)，全波和半波傅里葉算法的結(jié)果也會(huì)產(chǎn)生周期性振蕩，全波傅氏算法在最嚴(yán)重的情況下誤差超 過(guò) 20％ ，半波傅氏算法的誤差更大，接近 30％，從而使得基波分量的計(jì)算結(jié)果帶來(lái)很大的誤差，嚴(yán)重破壞了保護(hù)算法的安全性與可靠性。下面通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證這一點(diǎn)。在電力系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)，往往是在基波的基礎(chǔ)上疊加有衰減的非周期分量和各種高頻分 量，傅氏算法利用傅氏級(jí)數(shù)將周期函數(shù)分解為正弦和余弦函數(shù)，最適合微機(jī)保護(hù)計(jì)算其基頻或倍頻分量 。 南京工程學(xué)院康尼學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 20 （ 2）半波傅氏算法 ? ? ? ?204 c osTna i t n t dtT ?? ? (319) ? ? ? ?204 s inTnb i t n t dtT ?? ? (320) 經(jīng)采樣后，積分變?yōu)榍箅x散和 2142c o sNn k kka i nNN??? ? (321) 2142sinNn k kkb i nNN??? ? (322) 傅氏算法的誤差來(lái)源： (1)離散求和方法的影響 由于用離散值累加代 替連續(xù)積分，所以計(jì)算結(jié)果要受采樣頻率的影響。傅氏算法的基本思想源于傅里葉級(jí)數(shù)，假設(shè)被采樣的模擬量信號(hào)是一個(gè)周期性的時(shí)間函數(shù)，可以是 正弦函數(shù)，也可以是含有多種諧波成分的非正弦函數(shù)，根據(jù)傅氏級(jí)數(shù)的概念，可將此周期函數(shù)分解為恒定的直流分量和各種高次諧波分量。導(dǎo)數(shù)算法常可用于輸入信號(hào)中暫態(tài)分量不豐富或者計(jì)算精度要求不高的保護(hù)中，如直接應(yīng)用于低壓網(wǎng)絡(luò)的電流、電壓后備保護(hù)中，或者將其配備一些簡(jiǎn)單的差分濾波器以削弱電流中衰減的直流分量作為電流速斷保護(hù)，加速出口故障的切除時(shí) 間。當(dāng) 05??? ， 10 83 1H ??? 。 導(dǎo)數(shù)算法的頻率響應(yīng) 由式 (231)可知 2 22 222si n1 c os 1mj kmU THtUT ?? ??? ?? ?? ? ? ??? ??????? (233) 從式 (233)可見(jiàn)， H 是頻率 ? 的函數(shù)，此外，它也受 kt 值的影響。 可以取 1t 為兩個(gè)相鄰的采樣時(shí)刻 n 和 1?n 的中間點(diǎn)，用差分法近似求導(dǎo) ? ?nn iiTi s ?? ? 11 1 (224) 而 1t 時(shí)刻電流瞬時(shí)值則用平均值計(jì)算，即 ? ?nn iii ?? ? 11 21 (225) 該算法實(shí)質(zhì)上是利用了正弦的導(dǎo)數(shù)與其自身 具有 90 相位差的性質(zhì) ， 所 以它與兩點(diǎn)算法本質(zhì)上是一致的。它進(jìn)行的是積分運(yùn)算，有一定的濾除高頻干擾信號(hào)的作用，因?yàn)榀B加在基頻成份上的幅度不大的高頻分量在半周積分中其對(duì)稱(chēng)的正負(fù)半周互相抵消，剩余的未被抵消的部分所占的比重就減小了。 求出積分值 s 后，應(yīng)用式 （ 216） 可求得有效值 22?SI ? (217) 半周積分算法本身所需的數(shù)據(jù)窗長(zhǎng)度為工頻的 1/2 周期，時(shí)延為 10ms ，它進(jìn)行的是積分運(yùn)算，有一定的濾除高頻干擾信號(hào)的作用，計(jì)算精度與采樣頻率有關(guān)，采樣頻率越高， Ts 越小，精度越高。 兩點(diǎn)乘積算法本身所需要的數(shù)據(jù)窗很短，理想情況下誤差為零，不過(guò)由于算式較復(fù)雜，有可能使算法所需時(shí)間的加長(zhǎng)與采樣間隔的縮短發(fā)生矛盾，因而限制了這種算法的廣泛應(yīng)用。兩點(diǎn)乘積法對(duì)采樣的時(shí)間要求精確等于 4/T ，否則將會(huì)產(chǎn)生誤差。實(shí)際上，正弦量任何兩點(diǎn)相鄰的采樣值都可以算出有效值和相角，即可以使兩點(diǎn)乘積算法所需要的數(shù)據(jù)窗僅為很短的一個(gè)采樣間隔。以電流為例，可表示為： ? ? ? ?IanT sInT si 0s in2 ?? ? （ 21） 式中 ? 頻率 I 電流有效值 Ts采樣間隔 oIa 0?n 時(shí)的電流相角 實(shí)際上故障后的電流、電壓都含有各種暫態(tài)分量，而且數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)還會(huì)引入各種誤差，所以這類(lèi)算法要獲得精確的結(jié)果，必須和數(shù)字濾波器配合使用。 電力系統(tǒng)的線路或設(shè)備發(fā)生故障后，對(duì)適用于該故障的微機(jī)保護(hù)算法的綜合性能進(jìn)行分析，確定特定場(chǎng)合下如何合理的進(jìn)行選擇，并在此基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償與改進(jìn)，對(duì)于進(jìn)一步提高微機(jī)保護(hù)選 擇性、速動(dòng)性、靈敏性和可靠性，滿足電網(wǎng)安全穩(wěn)定運(yùn)行的要求具有現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義。微機(jī)保護(hù)的一個(gè)基本問(wèn)題便是尋找適當(dāng)?shù)碾x散運(yùn)算方法，使運(yùn)算的結(jié)果的精確度能滿足工程要求而計(jì)算機(jī)耗時(shí)又盡可能短，達(dá)到既判斷準(zhǔn)確，又工作迅速，可靠的效果。 實(shí)際上電力系統(tǒng)中送至繼電保護(hù)裝置的電壓，電流信號(hào)的情況在不同的程度上還要復(fù)雜一些。而微機(jī)保護(hù)則需要將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)，經(jīng)過(guò)某種運(yùn)算求出電流、電壓的幅值、相位，并與整定值進(jìn)行比較，以決定是否發(fā)出跳閘命令。 電力系統(tǒng)微機(jī)繼電保護(hù)的發(fā)展歷程 近四十年來(lái)，計(jì)算機(jī)技術(shù)得到了飛速的發(fā)展，其應(yīng)用已廣泛而深入地影響著科學(xué)技術(shù)、生產(chǎn)制造和人們生活的各個(gè)領(lǐng)域。為適應(yīng)這種要求，各種新型的保護(hù)原理和保護(hù)裝置不斷涌現(xiàn)。在選擇算法時(shí)要考慮兩個(gè)重要問(wèn)題，即計(jì)算速度問(wèn)題和計(jì)算精度問(wèn)題，而這兩者通常是矛盾的，若要精度高，則要利用更多的采樣點(diǎn)，相應(yīng)便增加了計(jì)算工作量，降低了計(jì)算速 度 。 Twopoint product algorithm。 因此 ，電力系統(tǒng)繼電保護(hù)的基本任務(wù)在于： 選擇性地將故障部件從電力系統(tǒng)中快速切除、自動(dòng)地切除，使其損壞程度減至最輕，并保證最大限度的恢復(fù)無(wú)故障部分的正常運(yùn)行。與此同時(shí)，各大高校與科研院所在微機(jī)繼電保護(hù)方面進(jìn)行了 深入研究，國(guó)內(nèi)幾大繼電保 護(hù)生產(chǎn)廠家也紛紛轉(zhuǎn)向微機(jī)繼電保護(hù)的研發(fā)和生產(chǎn)。由于這些算法都是基于被采樣的電壓和電流是純正弦變 化的， 徐安超：幾種數(shù)字算法的特性分析及仿真 3 而實(shí)際在電力系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)，往往是在基波的基礎(chǔ)上疊加有 衰減的非周期分量 和各種高頻分量，因此要求計(jì)算機(jī)保護(hù)裝置對(duì)輸入的電流電壓信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，盡可能的濾掉非周期分量和高頻分量，否則， 將會(huì)出現(xiàn)較大的誤差。在超高壓電力系 統(tǒng)中，為了克服這些隨機(jī)噪聲的影響，除采用較完善的濾波措施外，還提出了一些減少誤差的算法。一般說(shuō)來(lái)，對(duì)精度和對(duì)速度的要求常常是互相矛盾的，要精確計(jì)算往往要使數(shù)據(jù)窗加長(zhǎng)，并加大運(yùn)算工作量，所以研究算法的實(shí)質(zhì)是如何在速度與精度之間進(jìn)行權(quán)衡。綜合考慮上述因素對(duì)正弦函數(shù)模型算法，周期函數(shù)模型算法，隨機(jī)函數(shù)模型算法 等等算法的影響，討論各種算法的適用場(chǎng)合。 兩點(diǎn) 乘積 算法 兩點(diǎn)乘積算法原理 兩點(diǎn)乘積算法是利用兩個(gè)采樣值的乘積來(lái)計(jì)算電流、電壓、阻抗的幅值和相位角等電氣參數(shù)的方法，由于這種算法是利用兩點(diǎn)采樣值來(lái)推算出整個(gè)曲線情況，所以它屬于曲線擬合法，其特點(diǎn)是計(jì)算的判定時(shí)間較短。如果選用 4TT?? ，即 2T ???? ，則 上式可以簡(jiǎn)化為 ? ?2 2 2 2 212 4m TU u u u t u t??? ? ? ? ????? （ 212） ? ?2 2 2 2 212 4m TI i i i t i t??? ? ? ? ????? （ 213） 此算法是基于正弦波的基礎(chǔ)上的， 由式 (210)、 (211)可知，算法本身無(wú)誤差。如果對(duì)乘積算法采取特殊措施，如采用專(zhuān)用硬件加法器，則這種算法的應(yīng)用會(huì)獲得很大的改善。算法本身與采樣頻率無(wú)關(guān)，因此對(duì)采樣頻率無(wú)特殊要求，但由于數(shù)據(jù)需先經(jīng)過(guò)數(shù)字濾波，故采樣頻率的選擇由所用的濾波器來(lái)確定。 故 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?1 5 0 1 5 0 3 . 8 6 3 6 3 . 7 3 2 1 3 . 5 %3 . 7 3 2 100U U K KUK?? ?? ? ? (220) 徐安超：幾種數(shù)字算法的特性分析及仿真 11 圖 23 ? 值變化與計(jì)算結(jié)果的誤差曲線 由圖 23可見(jiàn)，由于 ? 值變化會(huì)給最后計(jì)算的結(jié)果帶來(lái)一定的誤差。該算法計(jì)算簡(jiǎn)單，避免了平方等其他運(yùn)算，其缺點(diǎn)是用梯形法求積分存在誤差，因此對(duì)于一些要求不高的電流、電壓保護(hù)可以采用這種算法，還可以作為復(fù)雜保護(hù)的啟動(dòng)元件的算法，必要的時(shí)候可以分配一個(gè)簡(jiǎn)單的差分濾波器來(lái)抑制直流中的非周期分量。 1ku? 則為在第 k 次前一次，即前一個(gè) T? 時(shí)的采樣值。此時(shí) ，當(dāng) 0??? 時(shí)， 3 ??? 。而當(dāng)2kt ?? ?，無(wú)論采樣點(diǎn)數(shù) N 為多少，算法的頻率響應(yīng)恒為 1。由于故障時(shí)的電流、電壓波形畸變很大，此時(shí)不能把它們假設(shè)為單一頻率的正弦函數(shù)，而應(yīng)該假設(shè)它們是包含各種分量的周期函數(shù)。例如當(dāng) 1?n 時(shí)，便可求出基波分量的余弦量和正弦量分別為： ??? Nk k NkxNa 1 2c o s21 ? (36) ??? Nk k NkxNb 1 2s in21 ? (37) 于是 ??tx 中的基波分量為： ? ? tatbtx 11211 c o ss in ?? ?? (38) 合并正、余弦量，可寫(xiě)為 ? ? ? ?111 s in2 atXtx ?? ? (39) 因此可根據(jù) 1a 和 1b 求出 有效值 和相角 X2 2 1a? 2 1b? 2 (310) 111 batga? (311) 根據(jù)以上 兩式可以很方便地計(jì)算出基波分量的有效值和初始相角。但是，在電力系統(tǒng)中，實(shí)際的輸入信號(hào)中的非周期分量包含的是衰減的直流分量。同理，也可以推導(dǎo)出半波傅氏算法的頻率響應(yīng)特性，分別如圖 3圖 34所示。 由圖 35可見(jiàn)，此時(shí)全波傅里葉算法的計(jì)算結(jié)果相當(dāng)精確，而半波傅里葉算法的計(jì)算結(jié)果會(huì)圍繞正確值發(fā)生周期性的波動(dòng)，嚴(yán)重時(shí)誤差接近 15％ ， 使得基波分量的計(jì)算結(jié)果帶來(lái)很大的誤差。全波傅氏算法有如下特點(diǎn)： （ 1） 算法需要一個(gè)周期的采樣值，響應(yīng)時(shí)間至少為 1周期以上； （ 2）計(jì)算一次共需 N2 （ N 為采樣點(diǎn)數(shù)）次乘法和 ? ?12 ?N 次加、減法，計(jì)算量隨著 N 的增大而增大； （ 3） 算法僅能濾除恒定的直流分量和整數(shù)次諧波分量，不能克 服衰減的直流分量。 LR? 模型算法在不計(jì)線路分布電容時(shí)十分有效。上述有關(guān)算法是基本上能滿足要求的。因此，該算法也存在誤差。如在變壓器差動(dòng)保護(hù)中，不僅需要計(jì)算出基波分量的 大小，有時(shí)還需計(jì) 徐安超：幾種數(shù)字算法的特性分析及仿真 33 算出二次諧波（作為涌流時(shí)制動(dòng)用）、三次諧波（如作為過(guò)勵(lì)磁制動(dòng)用）的大小等。它是從短路的暫態(tài)信號(hào)中，通過(guò)不斷的“預(yù)測(cè) 修正”遞推運(yùn)算最優(yōu)地估計(jì)出基頻相量。動(dòng)態(tài)噪