【正文】 系中，拋物線經過點 A（ 0， 4）， B（ 1， 0）， C（ 5， 0），其對稱軸與 x軸相交于點 M． （ 1）求拋物線的解析式和對稱軸； （ 2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點 P，使 △PAB 的周長最??？若存在，請求出點 P的坐標；若不存在，請說明理由； （ 3）連接 AC，在直線 AC的下方的拋物線上，是否存在一點 N，使 △NAC 的面積最大？若存在，請求出點 N的坐標；若不存在，請說明理由． 20212021學年江蘇省南通市海安縣七校九年級（上）第一次聯(lián)考數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 10小題，每小題 3分，共 30分．） 1．在平面直角坐標系內，點 P（﹣ 3， 2）關于原點的對稱點 Q的坐標為（ ） A．（ 2，﹣ 3） B．（ 3， 2） C．（ 3，﹣ 2） D．（﹣ 3，﹣ 2） 【考點】 關于原點對稱的點的坐標． 【分析】 根據(jù)平面直角坐標系中任意一點 P（ x， y），關于原點的對稱點是（﹣ x，﹣ y），然后直接作答即可． 【解答】 解：根據(jù)中心對稱的性質，可知：點 P（﹣ 3， 2）關于原點 O中心對稱的點的坐標為（ 3，﹣ 2）． 故選： C． 2．如圖，已知 ∠ACB 是 ⊙O 的圓周角， ∠ACB=50176。 C． 40176。 江蘇省南通市海安縣七校 2021屆九年級數(shù)學上學期第一次聯(lián)考試題 一、選擇題（本大題共 10小題，每小題 3分，共 30分．） 1．在平面直角坐標系內，點 P（﹣ 3， 2）關于原點的對稱點 Q的坐標為（ ） A．（ 2，﹣ 3） B．（ 3， 2） C．（ 3，﹣ 2） D．（﹣ 3，﹣ 2） 2．如圖，已知 ∠ ACB是 ⊙ O的圓周角， ∠ ACB=50176。 B． 35176。 后的 △A 1B1C，連接 AB1和 A1B，試寫出四邊形 ABA1B1是何特殊四邊 形，并說明理由． 23．如圖， AB是 ⊙O 的直徑，弦 BC長為 ，弦 AC長為 2， ∠ACB 的平分線交 ⊙O 于點 D，求 AB和 AD的長． 24．如圖， AB 是 ⊙O 的直徑，弦 CD⊥AB 于點 E，點 M 在 ⊙O 上， MD 恰好經過圓心 O，連接MB． （ 1）若 CD=16， BE=4，求 ⊙O 的直徑； （ 2）若 ∠M=∠D ，求 ∠D 的度數(shù)． 25．如圖，四邊形 ABCD內接于 ⊙O ，點 E在對角線 AC上， EC=BC=DC． （ 1）若 ∠CBD=39176。 ， ∴∠AOB=2∠ACB=100176。 ， 又 ∵C 、 C′ 為對應點，點 A為旋轉中心， ∴AC=AC′ ，即 △ACC′ 為等腰三角形， ∴∠BAB′=∠CAC′=180176。 得點 P1，則點 P1的坐標為 （ 0，） ． 【考點】 坐標與圖形變化 旋轉． 【分析】 利用點 P的坐標特征可判斷 OP與 y軸正方向的夾角為 45176。 ， ∵∠ABD=58176。 ． 故答案為： 88176。= ． 24．如圖， AB 是 ⊙O 的直徑，弦 CD⊥AB 于點 E，點 M 在 ⊙O 上， MD 恰好經過圓心 O，連接MB． （ 1）若 CD=16， BE=4，求 ⊙O 的直徑； （ 2）若 ∠M=∠D ，求 ∠D 的度數(shù)． 【考點】 垂徑定 理；勾股定理；圓周角定理． 【分析】 （ 1）先根據(jù) CD=16， BE=4，得出 OE的長，進而得出 OB 的長，進而得出結論； （ 2）由 ∠M=∠D ， ∠DOB=2∠D ，結合直角三角形可以求得結果； 【解答】 解：（ 1） ∵AB⊥CD ， CD=16， ∴CE=DE=8 ， 設 OB=x， 又 ∵BE=4 ， ∴x 2=（ x﹣ 4） 2+82， 解得： x=10， ∴⊙O 的直徑是 20． （ 2） ∵∠M= ∠BOD ， ∠M=∠D ， ∴∠D= ∠BOD ， ∵AB⊥CD ， ∴∠D=30176。 ， ∠CAD=∠CBD=39176。 ， ∴∠AEB+∠ADG=90176。= ， ∵AD=2 ， ∴DM=AM= ， 在 Rt△AMG 中，根據(jù)勾股定理得： GM= = ， ∵DG=DM+GM= + ， ∴BE=DG= + ； （ 3） △GHE 和 △BHD 面積之和的最大值為 6，理由為： 對于 △EGH ，點 H在以 EG 為直徑 的圓上， ∴ 當點 H與點 A重合時， △EGH 的高最大； 對于 △BDH ，點 H在以 BD 為直徑的圓上， ∴ 當點 H與點 A重合時， △BDH 的高最大， 則 △GHE 和 △BHD 面積之和的最大值為 2+4=6． 28．如圖，在直角坐標系中，拋物線經過點 A（ 0， 4）， B（ 1， 0）， C（ 5， 0），其對稱軸與 x軸相交于點 M． （ 1）求拋物線的解析式和對稱軸； （ 2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點 P，使 △PAB 的周長最??？若存在，請求出點 P的坐標；若不存在，請說明理由； （ 3）連接 AC，在直線 AC的下方的拋物線上，是否存在一點 N，使 △NAC 的面積最大？若存在，請求出點 N的坐標；若不存在，請說明理由． 【考點】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）拋物線經過點 A（ 0， 4）， B（ 1， 0）， C（ 5， 0），可利用兩點式法設拋物線的解析式為 y=a（ x﹣ 1）（ x﹣ 5），代入 A（ 0， 4）即可求得函數(shù)的解析式，則可求得拋物線的對稱軸； （ 2）點 A關于對稱軸的對稱點 A′ 的坐標為（ 6， 4），連接 BA′ 交對稱軸于點 P，連接 AP，此時 △PAB 的周長最小，可求出直線 BA′ 的解析式，即可得出點 P的坐標． （ 3）在直線 AC的下方的拋物線上存在點 N，使 △NAC 面 積最大．設 N 點的橫坐標為 t，此時點 N（ t， t2﹣ t+4）（ 0＜ t＜ 5），再求得直線 AC的解析式，即可求得 NG的長與 △ACN的面積，由二次函數(shù)最大值的問題即可求得答案． 【解答】 解：（ 1）根據(jù)已知條件可設拋物線的解析式為 y=a（ x﹣ 1）（ x﹣ 5）， 把點 A（ 0， 4）代入上式得： a= ， ∴y= （ x﹣ 1）（ x﹣ 5） = x2﹣ x+4= （ x﹣ 3） 2﹣ ， ∴ 拋物線的對稱軸是： x=3； （ 2） P點坐標為（ 3， ）． 理由如下： ∵ 點 A（ 0， 4），拋物線的對稱軸是 x=3， ∴ 點 A關于對稱軸 的對稱點 A′ 的坐標為（ 6， 4） 如圖 1，連接 BA′ 交對稱軸于點 P，連接 AP，此時 △PAB 的周長最?。? 設直線 BA′ 的解析式為 y=kx+b， 把 A′ （ 6， 4）， B（ 1， 0）代入得 ， 解得 ， ∴y= x﹣ ， ∵ 點 P的橫坐標為 3， ∴y= 3 ﹣ = ， ∴P （ 3， ）． （ 3）在直線 AC的下方的拋物線上存在點 N，使 △NAC 面積最大． 設 N點的橫坐標為 t，此時點 N（ t， t2﹣ t+4）（ 0＜ t＜ 5）， 如圖 2，過點 N作 NG∥y 軸交 AC于 G；作 AD⊥NG 于 D， 由點 A（ 0， 4）和點 C（ 5， 0）可求出直線 AC的解析式為： y=﹣ x+4， 把 x=t代入得： y=﹣ t+4，則 G（ t，﹣ t+4）， 此時： NG=﹣ t+4﹣（ t2﹣ t+4） =﹣ t2+4t， ∵AD+CF=CO=5 ， ∴S △ACN =S△ANG +S△CGN = ADNG+ NGCF= NG?OC= （﹣ t2+4t） 5= ﹣ 2t2+10t=﹣ 2（ t﹣ ）2+ ， ∴ 當 t= 時， △CAN 面積的最大值為 ， 由 t= ，得： y= t2﹣ t+4=﹣ 3， ∴N （ ，﹣ 3）．