【正文】 f（ x） =xn（ 1﹣ x）， ∴ f′（ x） =nxn﹣ 1﹣（ n+1） xn=（ n+1） xn﹣ 1（ ﹣ x）， 顯然， f（ x）在 x= 處取得最大值， f（ ） = ， 因此只需證： ＜ ，即證： ＜ ， 兩邊取對數(shù)，原式 ln ＜ ﹣ ， 設 t= （ 0＜ t＜ 1），則 n= ， =1﹣ t， 因此只需證： lnt＜ t﹣ 1 即可， 令 ω（ t） =lnt﹣ t+1， ∵ 0＜ t＜ 1， ∴ ω′（ t） = ﹣ 1＞ 0， ω（ t）在（ 0， 1）遞增， 故 ω（ t） ＜ ω（ 1） =0 成立， 即 lnt＜ t﹣ 1，結論成立． 請在 2 2 24三體中任選一題作答，注意：只能做選做給定的題目，如果多做，則按所做的第一個題目計分 [選修 41：幾何證明選講 ] 22．如圖，四邊形 ABCD 內(nèi)接于 ⊙ O， BA， CD 的延長線相交于點 E， EF∥ DA，并與 CB的延長線交于點 F， FG 切 ⊙ O 于 G． （ 1）求證： BE?EF=CE?BF； （ 2）求證： FE=FG． 【考點】 與圓有關的比例線段． 【分析】 （ 1）圓的內(nèi)接四邊形的性質，平行線的性質，判斷 △ CFE∽△ EFB，線段對應成比例，從而證得式子成立． （ 2）根據(jù) CFE∽△ EFB，可得 BE?EF=CF?BF，在根據(jù)圓的切線性質可得 FC2=FB?FC，從而證得結論成立． 【解答】 證明：（ 1） ∵ EF∥ DA， ∴∠ DAE=∠ AEF， ∵ 四邊形 ABCD 內(nèi)接于 ⊙ O， ∴∠ DAE=∠ C， ∴∠ C=∠ AEF， 又 ∠ CFE=∠ EFB， ∴△ CFE∽△ EFB， ∴ = ， ∴ BE?EF=CF?BF． （ 2） ∵ CFE∽△ EFB， ∴ = ， ∴ EF?EF=FB?FC， ∵ FG 切 ⊙ O 于 G， ∴ FC2=FB?FC， ∴ EF?EF=FG2， ∴ FG=FE． [選修 44：坐標系與參數(shù)方程 ] 23．已知曲線 C1的參數(shù)方程為 ，當 t=﹣ 1 時，對應曲線 C1上一點A，且點 A關于原點的對稱點為 B．以原點為極點，以 x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 C2的極坐標方程為 ． （ 1）求 A， B 兩點的極坐標； （ 2）設 P 為曲線 C2上的動點，求 |PA|2+|PB|2的最大值． 【考點】 簡單曲線的極坐標方程；參數(shù)方程化成普通方程． 【分析】 （ 1）將 t=﹣ 1 代入得 A， B 的坐標，即可得到結論． （ 2）求出曲線 C2上的直角坐標方程，設 P 的坐標，結合兩點間的距離公式進行求解即可． 【解答】 解：（ 1）經(jīng) t=﹣ 1 代入 C1得 x=3， y=﹣ ， 則 A（ 3，﹣ ）， B（﹣ 3， ），它們的極坐標為 A（ 2 ， ）， B（ 2 ， ）． （ 2）曲線 C2的極坐標方程為 ． 平方得 ρ2= = ， 即 3ρ2+ρ2sin2θ=12， 即 3x2+3y2+y2=12， 即 3x2+4y2=12， 即 =1． 設 P（ 2cosθ， sinθ）， 則 |PA|2+|PB|2=（ 2cosθ﹣ 3） 2+（ sinθ+ ） 2+（ 2cosθ+3） 2+（ sinθ﹣ ） 2 =2（ 4cos2θ+3sin2θ+12） =2（ 15+cos2θ）， ∵ cos2θ≤ 1， ∴ PA|2+|PB|2=2（ 15+cos2θ） ≤ 32， 即 |PA|2+|PB|2的最大值是 32． [選修 45：不等式選講 24．設函數(shù) f（ x） =|x﹣ 2|﹣ 2|x+1|． （ 1）求 f（ x）的最大值； （ 2）若 f（ x） ≤ mx+3+m 恒成立，求 m 的取值范圍． 【考點】 絕對值不等式的解法． 【分析】 （ 1）通過討論 x的范圍，將 f（ x）寫成分段函數(shù)的形式，畫出函數(shù)的圖象，從而求出 f（ x）的最大值即可； （ 2）問題轉化為 ，解出即可． 【解答】 解：（ 1） ∵ f（ x） =|x﹣ 2|﹣ 2|x+1|= ， 如圖示： ， ∴ f（ x）的最大值是 3； （ 2）若 f（ x） ≤ mx+3+m 恒成立， 則 ， 解得：﹣ 3≤ m≤ 1． 2021 年 7 月 31 日 。 20212021學年山西省太原市高三（上）期末數(shù)學試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12小題，每小題 5分，共 60分，在每個小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求的 . 1．已知全集 U=Z，集合 A={3， 4}， A∪ B={1， 2， 3， 4}，那么（ ?UA） ∩B=（ ） A． {1， 2} B． {3， 4} C． {1， 2， 3， 4} D． ? 2．已知復數(shù) z= ，則 |z|等于（ ） A． 1 B． 2 C． D． 3．已知命題 p： ? x＞ 0， x+ ≥ 4；命題 q： ? x0∈ R， 2x0=﹣ 1．則下列判斷正確的是（ ） A． p 是假命題 B． q 是真命題 C． p∧ （￢ q）是真命題 D．（￢ p） ∧ q 是真命題 4．設 a=， b=log32， c=cos ，則（ ） A． a＜ b＜ c B． c＜ a＜ b C． b＜ c＜ a D． c＜ b＜ a 5．執(zhí)行如圖的程序框圖輸出的 T 的值為（ ） A． 4 B． 6 C． 8 D． 10 6．函數(shù) y=sinx| |（ 0＜ x＜ π）的圖象大致是（ ） A． B． C． D． 7．設變量 x， y 滿足 |x﹣ a|+|y﹣ a|≤ 1，若 2x﹣ y的最大值為 5，則實數(shù) a的值為（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 8．某幾何體三視圖如下圖所示，則該幾何體的表面積為（ ） A． 16﹣ π B． 16+π C． 16﹣ 2π D． 16+2π 9．已知函數(shù) f（ x） =x2﹣ ax+b（ a＞ 0， b＞ 0）有兩個不同的零點 m， n，且 m， n和﹣ 2三個數(shù)適當排序后，即可成為等差數(shù)列，也可成為等比數(shù)列，則 a+b 的值為（ ） A． 7 B． 8 C． 9 D． 10 10．已知平面內(nèi)點 A， B， O 不共線， ，則 A， P， B 三點共線的必要不充分條件是（ ） A． λ=μ B． |λ|=|μ| C． λ=﹣ μ D． λ=1﹣ μ 11．在四面體 ABCD 中，已知 ∠ ADB=∠ BDC=∠ CDA=60