山西省太原市20xx屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（理科） word版（含解析）(文件)
【正文】 BM﹣ C 的余弦值為﹣ ． 20．某校高一年級(jí)開(kāi)設(shè) A， B， C， D， E五門選修課，每位同學(xué)須彼此獨(dú)立地選三門課程，其中甲同學(xué)必選 A課程，不選 B 課程，另從其余課程中隨機(jī)任選兩門課程．乙、 丙兩名同學(xué)從五門課程中隨機(jī)任選三門課程． （ Ⅰ ）求甲同學(xué)選中 C 課程且乙同學(xué)未選中 C 課程的概率； （ Ⅱ ）用 X 表示甲、乙、丙選中 C 課程的人數(shù)之和，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；離散型隨機(jī)變量及其分布列． 【分析】 （ Ⅰ ）設(shè)事件 A為 “甲同學(xué)選中 C 課程 ”，事件 B 為 “乙同學(xué)選中 C 課程 ”．求出 A，B 的概率，然后求解甲同學(xué)選中 C 課程且乙同學(xué)未選中 C 課程的概率． （ Ⅱ ） X 的可能取值為： 0， 1， 2， 3．求出概率，得到 X 為分布列，然后求解期望． 【解答】 （共 13 分） 解：（ Ⅰ ）設(shè)事件 A為 “甲同學(xué)選中 C 課程 ”，事件 B 為 “乙同學(xué)選中 C 課程 ”． 則 ， ． 因?yàn)槭录?A與 B 相互獨(dú)立， 所以甲同學(xué)選中 C 課程且乙同學(xué)未選中 C 課程的概率為． … （ Ⅱ ）設(shè)事件 C 為 “丙同學(xué)選中 C 課程 ”． 則 ． X 的可能取值為： 0， 1， 2， 3． ． = ． = ． ． X 為分布列為： X 0 1 2 3 P ． … 21．函數(shù) f（ x） =axn（ 1﹣ x）（ x＞ 0， n∈ N*），當(dāng) n=﹣ 2 時(shí)， f（ x）的極大值為 ． （ 1）求 a 的值； （ 2）求證： f（ x） +lnx≤ 0； （ 3）求證： f（ x） ＜ ． 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值． 【分析】 （ 1）求出函數(shù)的對(duì)數(shù)，根據(jù) n=2 時(shí)， f（ x）的極大值為 ，得到 f（ ） =a? = ，解出即可； （ 2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證 xn（ 1﹣ x） +lnx≤ 0，設(shè) g（ x） =xn（ 1﹣ x） +lnx，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可； （ 3）求出 f（ x）的最大值，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明： ＜ ，通過(guò)取對(duì)數(shù)結(jié)合換元思想以及函數(shù)的單調(diào)性證明即可． 【解答】 解：（ 1） n=2 時(shí)， f（ x） =ax2（ 1﹣ x）， ∴ f′（ x） =ax（ 2﹣ 3x）， 令 f′（ x） =0 得： x=0 或 x= ， ∵ n=2 時(shí)， f（ x）的極大值為 ， 故 a＞ 0，且 f（ ） =a? = ，解得： a=1； （ 2）要證 f（ x） +lnx≤ 0，即證 xn（ 1﹣ x） +lnx≤ 0， 設(shè) g（ x） =xn（ 1﹣ x） +lnx，定義域是（ 0， +∞）， 則 g′（ x） = ， ∵ x＞ 0， ∴ x∈ （ 0， 1）時(shí)， g′（ x） ＞ 0， g（ x）遞增， x∈ （ 1， +∞）時(shí)， g′（ x） ＜ 0， g（ x）遞減， ∴ g（ x）的最大值是 g（ 1） =0， ∴ g（ x） ≤ 0 成立，命題得證； （ 3） ∵ f（ x） =xn（ 1﹣ x）， ∴ f′（ x） =nxn﹣ 1﹣（ n+1） xn=（ n+1） xn﹣ 1（ ﹣ x）， 顯然， f（ x）在 x= 處取得最大值， f（ ） = ， 因此只需證： ＜ ，即證： ＜ ， 兩邊取對(duì)數(shù)，原式 ln ＜ ﹣ ， 設(shè) t= （ 0＜ t＜ 1），則 n= ， =1﹣ t， 因此只需證： lnt＜ t﹣ 1 即可， 令 ω（ t） =lnt﹣ t+1， ∵ 0＜ t＜ 1， ∴ ω′（ t） = ﹣ 1＞ 0， ω（ t）在（ 0， 1）遞增， 故 ω（ t） ＜ ω（ 1） =0 成立， 即 lnt＜ t﹣ 1，結(jié)論成立． 請(qǐng)?jiān)?2 2 24三體中任選一題作答，注意：只能做選做給定的題目，如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分 [選修 41：幾何證明選講 ] 22．如圖，四邊形 ABCD 內(nèi)接于 ⊙ O， BA， CD 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) E， EF∥ DA，并與 CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) F， FG 切 ⊙ O 于 G． （ 1）求證： BE?EF=CE?BF； （ 2）求證： FE=FG． 【考點(diǎn)】 與圓有關(guān)的比例線段． 【分析】 （ 1）圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，判斷 △ CFE∽△ EFB，線段對(duì)應(yīng)成比例，從而證得式子成立． （ 2）根據(jù) CFE∽△ EFB，可得 BE?EF=CF?BF，在根據(jù)圓的切線性質(zhì)可得 FC2=FB?FC，從而證得結(jié)論成立． 【解答】 證明：（ 1） ∵ EF∥ DA， ∴∠ DAE=∠ AEF， ∵ 四邊形 ABCD 內(nèi)接于 ⊙ O， ∴∠ DAE=∠ C， ∴∠ C=∠ AEF， 又 ∠ CFE=∠ EFB， ∴△ CFE∽△ EFB， ∴ = ， ∴ BE?EF=CF?BF． （ 2） ∵ CFE∽△ EFB， ∴ = ， ∴ EF?EF=FB?FC， ∵ FG 切 ⊙ O 于 G， ∴ FC2=FB?FC， ∴ EF?EF=FG2， ∴ FG=FE． [選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 ] 23．已知曲線 C1的參數(shù)方程為 ，當(dāng) t=﹣ 1 時(shí)，對(duì)應(yīng)曲線 C1上一點(diǎn)A，且點(diǎn) A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為 B．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以 x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C2的極坐標(biāo)方程為 ． （ 1）求 A， B 兩點(diǎn)的極坐標(biāo)； （ 2）設(shè) P 為曲線 C2上的動(dòng)點(diǎn)，求 |PA|2+|PB|2的最大值． 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程． 【分析】 （ 1）將 t=﹣ 1 代入得 A， B 的坐標(biāo)，即可得到結(jié)論． （ 2）求出曲線 C2上的直角坐標(biāo)方程，設(shè) P 的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解即可． 【解答】 解：（ 1）經(jīng) t=﹣ 1 代入 C1得 x=3， y=﹣ ， 則 A（ 3，﹣ ）， B（﹣ 3， ），它們的極坐標(biāo)為 A（ 2 ， ）， B（ 2 ， ）． （ 2）曲線 C2的極坐標(biāo)方程為 ． 平方得 ρ2= = ， 即 3ρ2+ρ2sin2θ=12， 即 3x2+3y2+y2=12， 即 3x2+4y2=12， 即 =1． 設(shè) P（ 2cosθ， sinθ）， 則 |PA|2+|PB|2=（ 2cosθ﹣ 3） 2+（ sinθ+ ） 2+（ 2cosθ+3） 2+（ sinθ﹣ ） 2 =2（ 4cos2θ+3sin2θ+12） =2（ 15+cos2θ）
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