【正文】 服從參數(shù)為?的泊松分布，且假設(shè)每一次事故至多只有一 名 司機死亡，死亡概率為 p 。 （ 3） A與 B互斥（ A， B不能在一次試驗中同時發(fā)生） . 10 AB?事件的運算 11 例 2（ 第一章例 7） 有兩門火炮同時向一架飛機射擊，考察事件 A={擊落飛機 }，依常識， “ 擊落飛機 ” 等價于 “ 擊中駕駛員 ”或者 “ 同時擊中兩個發(fā)動機 ” ，因此 A是一個較復(fù)雜的事件 .如記 Bi={擊落第 i個發(fā)動機 },i＝ 1,2， C={擊中駕駛員 }，相對 A而言， B B2及 C都較 A為簡單 .我們可以用 BB2及 C表示 A A= B1B2∪ C 這可以簡化復(fù)雜事件 A的概率計算 . 12 事件分解的要點是：正確使用事件的運算建立各簡單事件之間的關(guān)系 . 13 ?概率是事件發(fā)生的可能性大小的度量 . ?概率的統(tǒng)計定義：概率是頻率的穩(wěn)定值 , 常常用于概率的近似計算，是非常有用的 .但要注意，試驗次數(shù)要足夠多 . 14 概率的三條公理 (1) 1)(0 ?? AP； (2) 1)( ??P； (3) 對任意一列兩兩互斥事件12,AA有 ??????????????11)(nnnnAPAP ?. 15 事件的加法公式及推廣 :對于任意事件 A、 B,有 )()()()( ABPBPAPBAP ???? 16 對任意 n 個事件12, , , nA A A，有 1121111111 . . .( ) ( ) ( )( 1 ) ( ) ( 1 ) ( . . . )kkn nk k i jk i j nkkni i ni i i nP A P A P A AP A A P A A? ? ? ????? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ???? 例 3 （ 第二章例 9 ） 據(jù)資料獲悉某市居民私房擁有率為63%，私車擁有率為 27% ，而既無房也無車的占 30% ，求任意抽查一戶，恰為既有房又有車的概率 . 解 分別記事件 A ={ 抽到的一戶有房 } ， B ={ 抽到的一戶有車 } ， C ={ 抽到的一戶有車、有房 } 由題設(shè)( ) , ( ) , ( ) A P B P A B? ? ?顯然有,C A B?且 由 對偶律及概率性質(zhì) 3 知 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 0. 3 0. A B P A B P A B? ? ? ? ? ? ? 因此由性質(zhì) 5 ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 6 3 0 . 2 7 0 . 7 0 0 . 2 0 .P C P A B P A P B P A B? ? ? ? ? ? ? ? 因此既有車又有房的概率為 . 17 ?概型的要求 ①有限性：可能結(jié)果只有有限個； ②等可能性：各個可能結(jié)果出現(xiàn)是等可能的 . ?概率的計算公式 ( ) .kAPAn?? 有 利 于 的 樣 本 點 數(shù)樣 本 點 總 數(shù)18 例 4（ 第二章例 1） 設(shè)有批量為 100的同型號產(chǎn)品，其中次品有 30件 .現(xiàn)按以下兩種方式隨機抽取 2件產(chǎn)品： （ a）有放回抽取，即先任意抽取 1件，觀察后放回，再從中任取 1件；（ b）不放回抽取，即先任意抽取 1件，觀察后不放回，從剩下的產(chǎn)品中再任取 1件 .試分別按這兩種抽樣方式求 : （ 1）兩件都是次品的概率； （ 2）第 1件是次品，第 2件是正品的概率 . 19 解 容易驗證滿足古典概型的要求 記 A={兩件都是次品 }， B ={第 1件次品，第 2件正品 }. 只討論有放回情況（不放回情況是類似的） ,計算樣本點總數(shù)，注意隨機抽取 2件產(chǎn)品的試驗可以看成有放回地二次抽取，每次取一件 .而每次抽取均有 100種可能結(jié)果，依原理，一共有 n＝ 100 100＝10,000種可能結(jié)果，此即樣本點總數(shù) . 20 而構(gòu)成事件 A的樣本點的條件必須每次抽取來自 30件次品，因此每次有 30種可能結(jié)果，因而有 k＝ 30 30＝ 900種可能結(jié)果，于是 同理，可得 900( ) n?? ＝10,00030 70( ) .PB ??? ＝100 10021 * 例 5 （ 第二章例 5 ）? ?占 位 問 題 n個球隨機地落入 r 個不同盒子中? ?nr?，假設(shè)每個盒子足夠大，容納的球數(shù)不限， 于是 n 個球在 r 個盒子中的分布 ( 一共有 nr 種 ) 是等可能的，求： ? ?1 沒有一盒 有 超過 1 個球的概率 。工程數(shù)學(xué) — 概率統(tǒng)計簡明教程 187。 原因 A1 原因 A2 原因 An 結(jié)果 B … … 30 在貝葉斯公式中，稱 P(A1)， … ，P(An)為先驗概率，而 P(A1lB) ， … ， P(An lB)為后驗概率，它表示在有了試驗結(jié)果 B已發(fā)生的附加信息下，對先驗概率的修正 . 31 例 8（ 第 三 章例 6） 血液化驗 一項血液化驗以概率 檢出陽性，但也有 1％的概率誤將健康人檢出陽性 .設(shè)已知該種疾病的發(fā)病率為 ％，求已知一個個體被此項血液化驗檢出陽性條件下，該個體確實患有此種疾病的概率 . 32 解 此例的 “ 結(jié)果 ” 是血液化驗檢出是陽性，產(chǎn)生此結(jié)果的兩個可能 “ 原因 ” 是：一、帶菌；二、健康人 .問題是求從已知 “ 結(jié)果 ”為陽性條件下，而事實上 是 “ 帶菌 ” 的條件概率： P(帶菌 l陽性 ) 記 B＝ {陽性 }， A1＝ {帶菌 }， A2＝ {不帶菌 }. 已知 由貝葉斯公式得到 1( ) 5 ,PA ? 1( ) 5 ,P B A ?2( ) 1 ,P B A ? 1 5 ( ) 3. 5 5 B???? ? ?1( ) .P A B要 求33 帶菌 不帶菌 總和 陽性 非陽性 總和 1 199 200 其中數(shù)字 ， ＝ 1 ＝ 199 算出 .因此已檢出陽性條件下（總共 ），帶菌（只有 ）的條件概率為 為什么驗出是 “ 陽性 ” ，而事實上為“ 帶菌 ” 的概率如此??？以下是平均總數(shù)為 200人的分類表： 195( ) .294P A B ??34 35 例 9 根據(jù)犯罪記錄，可確定的 犯罪嫌疑人 中 70% 是有罪的，假設(shè)有一些新證據(jù)表明 罪犯 有某些特征，但人群中有此特征的概率為 . 如果查出 犯罪嫌疑人 有此特征，求他有罪的條件概率 . 解 記 A ={ 犯罪嫌疑人 有罪 } ， B ={ 犯罪嫌疑人 有此特征 } . 依假設(shè)( ) 1 , ( ) 0. 3 , ( ) 0. 7,P B A P B A P A? ? ? 因此由 貝葉斯 公式有 ( ) ( )()( ) ( ) ( ) ( )P A P B AP A BP A P B A P A P B A?? 0 . 7 1 0 . 70 . 8 8 6 .0 . 7 1 0 . 3 0 . 3 0 . 7 9?? ? ?? ? ? 也就是說，由于查出 犯罪嫌疑人 有此特征，使其有罪的概率從 上升到 6 . 稱事件 A,B 獨立，如果 )()()( BPAPABP ?。 （ 3 ） 正態(tài)分布),( 2??N ? ?22()21()2xf x e x??????? ? ? ? ? ? ?. 59 例 1 6 （ 第四章例 16 ） 設(shè)打一次電話所有的時間（單位： 分鐘 ）服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，如果有人剛好在你前面走進公用電話間并開始打電話（假定公用電話間只有一部電話機可供通話），試求你將等待（ 1 ）超過 5 分鐘 的概率 。 分別 求 U , V 的密度函數(shù) . 解 依假設(shè) X 有分布函數(shù)1 e 0()00xXxFxx?? ??? ???， ， ； Y 有分布函數(shù)00( ) 0 11 1 .YyF y y yy???? ? ?????， ， ， 而( ) ( )UF u P U u?? ? ?( m a x , ) ( ) ( )XYP X Y u F u F u? ? ?0 , 0 ,( 1 e ) , 0 1 ,1 e , 1 。 正態(tài)分布? ?2,N ??： 2()DX ??. 93 方差的性質(zhì) ： 設(shè)a與c都是常數(shù) ， （ 1 ）? ? 0Dc ?； （ 2 ）? ? ? ?2D a X a D X?； （ 3 ） X 與 Y 獨立，則? ? ? ? ? ?D X Y D X D Y? ? ?. 例 設(shè)12, , , nX X X獨立同分布，211( ) , ( ) ,E X D X???? 則 對算術(shù)平均???niiXnX11， 有()EX ??， 2()DXn??. 這表明，作為中心位置指標 X 與單個1X有相同的期望值，但 X 的精度高于單個1X. 94 95 例 26 設(shè) X ， Y 相互獨立，且都服從正態(tài)分布( 1 , 2 )N, 求隨機變量Z X Y??的期望和方差 . 解 令W X Y??, 因 X ， Y 獨立 且都服從 正態(tài)分布( 1 , 2 )N， 故 W 服從正態(tài)分布，且( ) 0 , ( ) 4E W D W?? . 今2801( ) e d2xE Z E W x x????? ? 228044e d ( )822xx?????? ?. 而2 2 2( ) ( ) ( ) ( ( ) ) 4E Z E W D W E W? ? ? ?, 所以221 6 8( ) ( ) ( ( ) ) 4 42D Z E Z E Z??? ? ? ? ? ?. 例 27 某公司初次加工的產(chǎn)品合格率為 ，而不合格品中只有 ，再加工的合格率為 ,其余均為廢品 .已知每件合格產(chǎn)品可獲利 80元，而出現(xiàn)一件廢品則虧損20元 .為保證公司每天平均利潤不低于 2萬元，問該公司每天至少應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？ 解 記該公司生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率為 p，依假設(shè)有 P=+ =. 設(shè)公司每天生產(chǎn) n件產(chǎn)品，而 X為其中的合格品 數(shù)， Y為 n件產(chǎn)品的利潤 則 X~B(n， p)，且 Y=80X20(nX). 注意到： EY=80EX20(nEX)=100EX20n=100np20n=. 為使 E(Y) ≥20,000，當且僅當 n ≥ 256. 因此，每天至少應(yīng)生產(chǎn) 256件產(chǎn)品 . 96 定義 （ 1 ） X 與 Y 的協(xié)方差 ? ?c o v ,XY＝? ? ? ?? ? 。 。 :13:2700:13:27March 29, 2023 ? 1意志堅強的人能把世界放在手中像泥塊一樣任意揉捏。 :13:2700:13Mar2329Mar23 ? 1越是無能的人，越喜歡挑剔別人的錯