【正文】 上中心張直角的弦L所在直線方程為,則(1) 。 。6. 設(shè)P，Q兩點到與焦點對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離分別為，以PQ中點到準(zhǔn)線的距離為，以PQ為直徑的圓的半徑為r，則，故以PQ為直徑的圓與對應(yīng)準(zhǔn)線相交。k存在時，代入雙曲線方程中得：設(shè)得，k不存在時，P1P2：x=mx0則，必要性得證。故。聯(lián)立得：，由韋達定理：同理。綜上所述，定長為2m（）的弦中點軌跡方程為：31. 設(shè)，為AB中點。35. 設(shè)，則P點處的切線為，由此可得：36.（1）同15。即MF⊥NF42. 由12即可證得。分別聯(lián)立EF與AC，EF與AB，EF與C點處的切線得：。55. 設(shè)∠AF2x=，則當(dāng)且僅當(dāng)=90176。當(dāng)時，設(shè)，則關(guān)于在上增至正無窮，在上單調(diào)減，在和之間先減后增，此時兩者異號。=a，圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為。由雙曲線第二定義：∴AC過EF的中點。故此時圓心的坐標(biāo)為即，半徑的平方仍為。 。85. 設(shè)P，則內(nèi)角平分線（即切線），由50得：，則86. 由4即證。88. 由71：， 同理：，即兩焦點在以兩交點為直徑的圓上。，由切線長定理2F1S=PF1+PF2+F1F2，PS=F1SPF1，所以PS=PQ=ca.76圖 77圖77. 設(shè)P，由79中得到的外點坐標(biāo)和22中的焦半徑公式：：。70. 設(shè)L:Ax+By+C=0,則 將L代入雙曲線方程得：，且FF 2在當(dāng)雙曲線方程變?yōu)闀r，雙曲線向右平移了個單位，定點也應(yīng)向右平移了個單位，故此時AB過定點即（2）由69（2）P為原點，即m=n=0時Q的軌跡方程是（除原點）。=，圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為。當(dāng)介于和之間時：等號成立時即。56. （1）設(shè)，代入雙曲線方程得： ∵AP=≠0∴AP=（2）設(shè)則（3）由（2）：57. 由58可證。46. 設(shè)，由雙曲線極坐標(biāo)方程：， 47. 由10可知為切線 由22: 。設(shè)P，則則。引理（張角定理）：A,C,B三點按順序排列在一條直線上。易知y=e2x2mx+a2與的右交點為x0的值。所以AP=BQ30. ① 當(dāng)A，B同支時，設(shè)，為AB中點。聯(lián)立AB與雙曲線方程得： 得即 ① AB中點在y=kx+m上，得 ②②代入①得，解②得 ③ 當(dāng)m=0時由①②得p=0。代入雙曲線方程得：設(shè)得，則驗證k不存在的情況，也得到此結(jié)論。7圖 8圖8. 如圖，由切線長定理：，而，與重合，故內(nèi)切圓與x軸切于右頂點，同理可證P在其他位置情況。，切線PT（即）的斜率為k，所在直線斜率為，所在直線斜率為，與PT的夾角為α，與PT的夾角為β。當(dāng)時，有.32．雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點的充要條件是.33．雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點的充要條件是.34．設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為FF2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在△PF1F2中，記, ,，則有.35．經(jīng)過雙曲線（a＞0,b＞0）的實軸的兩端點A1和A2的切線，與雙曲線上任一點的切線相交于P1和P2，則.36．已知雙曲線（b＞a＞0），O為坐標(biāo)原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且.（1）。69．是雙曲線（a＞0,b＞0）上一個定點，P A、P B是互相垂直的弦，則（1）直線AB必經(jīng)過一個定點.（2）以P A、P B為直徑的兩圓的另一個交點Q的軌跡方程是(除P點).70．如果一個雙曲線虛半軸長為b，焦點FF2到直線的距離分別為dd2，那么（1），且FF 2在。當(dāng)直線斜率不存在時，直線AB也過C2上的定點。23. 易知P在左支上，此時：。 當(dāng)時。② 當(dāng)A，B異支時，設(shè)，為AB中點。，此時等號成立時當(dāng)此式成立時當(dāng)時： 當(dāng)時：當(dāng)時。對FAMP由張角定理：即FM平分，同理FN平分。只需證明此情況即可證明原命題。=a,m=c ∴sinα≤,當(dāng)且僅當(dāng)PF=b時取等號。下三個題的比值均為，代入上述公式得：圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為。66.（1）同35。（2）先證雙曲線中心在原點的情況?！逷在含焦點的一側(cè) ∴當(dāng)時，當(dāng)，即AB與實軸垂直時，；當(dāng)ab時，當(dāng)，即AB與實軸平行或重合時。