對(duì)解析幾何專題復(fù)習(xí)的一點(diǎn)思考(更新版)
【正文】 乘積還是定值，只是這個(gè)定值與變換有關(guān)，提出問題的學(xué)生對(duì)這樣的解釋是能夠接受的．順便的，我在此基礎(chǔ)上提出下面新的問題，讓學(xué)生去探究這種變換的新的價(jià)值，如這種變換可以很好的解釋橢圓中的平行弦的中點(diǎn)是過橢圓中心的一條弦，又如設(shè)計(jì)下面的問題來研究橢圓面積的計(jì)算：例題7 已知點(diǎn)，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到點(diǎn)的距離的兩倍．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過動(dòng)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（3）關(guān)于平面圖形的面積有下面的定理（平面中的祖暅原理）：夾在兩條平行直線之間的兩個(gè)平面圖形，用平行于這兩條直線的任意直線截這兩個(gè)圖形，如果這條直線被這兩個(gè)圖形截得的線段長相等，那么這兩個(gè)圖形的面積相等．利用這個(gè)定理求橢圓的面積，并說明你的推理過程．學(xué)生對(duì)能用這樣的方法來求橢圓的面積感到很驚訝！又會(huì)紛紛提出類似于“如何求二次曲線與直線圍成的區(qū)域的面積的計(jì)算方法”等等問題，如果需要的話，下面這又是一個(gè)好問題：例題8 已知拋物線的一條弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，過的中點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于．（1）求證：；（2）分別過、的中點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于、試求和面積之和與面積的關(guān)系；（3）再對(duì)、接上法作圖，并類似地一直繼續(xù)下去，若將拋物線被截得的封閉圖像的面積定義為所做出的三角形面積之和的極限，求這個(gè)面積．關(guān)于問題4，是一個(gè)學(xué)生在課后對(duì)我提出的問題，他說，解析幾何教材中圓、橢圓、雙曲線（它們的定義算相同）、拋物線的幾何定義都是各不相同的，能否將它們統(tǒng)一起來，我反問，那么你對(duì)這個(gè)問題思考到什么程度？為什么突然會(huì)問這個(gè)問題？他說，課本中是給出了一種統(tǒng)一的定義，但是沒有把圓包括進(jìn)來，今天又想到一種統(tǒng)一定義，即與兩個(gè)定點(diǎn)的兩條連線的斜率乘積為定值的動(dòng)點(diǎn)軌跡，但是它又不能包括拋物線，這時(shí)候我想起阿波羅圓，圓可以看成到兩個(gè)定點(diǎn)的距離比值為定值的動(dòng)點(diǎn)軌跡，橢圓、雙曲線也類似勉強(qiáng)可以，但是拋物線可以嗎？到底怎樣才能將它們的定義統(tǒng)一起來呢？這都是可以激勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步思考研究的．
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