廣東省中山市20xx-20xx學(xué)年高二下學(xué)期期末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題(更新版)
【正文】 ∴ . 由 ① 、 ② 可知， ， . 點(diǎn)睛：數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟的關(guān)系： 第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的根據(jù)，兩個(gè)步驟缺一不可，有第一步無(wú)第二表，屬于不完全歸納法，論斷的普遍性是不可靠的；有第二步無(wú)第一步中，則第二步中的假設(shè)就失去了基礎(chǔ)。 11. 大衍數(shù)列，來(lái)源于中國(guó)古代著作《乾坤譜》中對(duì)易傳 “ 大衍之?dāng)?shù)五十 ” 的推論．其前 10項(xiàng)為： 0、 1 1 2 3 50．通項(xiàng)公式： ，如果把這個(gè)數(shù)列 排成如圖形狀，并記 表示第 m行中從左向右第 n個(gè)數(shù)，則 的值為 A. 1200 B. 1280 C. 3528 D. 3612 【答案】 D 【解析】 由題意，則 A（ 10， 4）為數(shù)列 {an}的第 92+4=85項(xiàng)， ∴ A（ 10， 4） 的值為 =3612， 故選 D ． 點(diǎn)睛：本題取材于中國(guó)古代著作《乾坤譜》中對(duì)易傳 “ 大衍之?dāng)?shù)五十 ” 的推論，明確對(duì)應(yīng)數(shù)列中的第幾項(xiàng)，然后根據(jù) 求出此項(xiàng)即可 .本題的關(guān)鍵是正確理解樹(shù)形圖，明確項(xiàng)數(shù) . 12. 已知函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)為 ，且 對(duì)任意的 恒成立，則下列不等式均成立的是 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】設(shè) 在 上減函數(shù)， 。(3).猜想結(jié)論：存在一個(gè)常數(shù) ，使得不等式 對(duì)任意正數(shù) ， ， ， 恒成立 . 試題解析： （ 1）令 得： ，故 ； （ 2） 先證明 . ∵ ， ，要證上式，只要證 ， 即證 即證 ，這顯然成立 . ∴ . 再證明 . ∵ ， ，要證上式，只要證， 即證 即證 ，這顯然成立 . ∴ . （ 3）猜想結(jié)論：存在一個(gè)常數(shù) ，使得不等式 對(duì)任意正數(shù) ， ， ， 恒成立 . 22. 已知函數(shù) 存在兩個(gè)極值點(diǎn)． （ Ⅰ ）求實(shí)數(shù) a的取值范圍； （ Ⅱ ）設(shè) 和 分別是 的兩個(gè)極值點(diǎn)且 ，證明： ． 【答案】 （ 1） ；（ 2）詳見(jiàn)解析 . 【解析】 試題分析： （ Ⅰ ）對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，即該導(dǎo)函數(shù)在 有兩個(gè)不同根，對(duì)該導(dǎo)函數(shù)繼續(xù)求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)只有 一個(gè) 零點(diǎn)，分 a = 0， a 0， a 0 三種情況討論即可 . （ Ⅱ ）要證 ，即證 ． 由 得 ，得 . 所以原命題等價(jià)于證明 ． 因?yàn)?，故只需證 ，即 令 ，則 ，設(shè) ， 利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值 與最值即可 . 試題解析：（ Ⅰ ）由題設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)?， ，故函數(shù) 有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于其導(dǎo)函數(shù) 在 有兩個(gè)零點(diǎn)． 當(dāng) a = 0時(shí) ，顯然只有 1個(gè)零點(diǎn) ．當(dāng) a≠ 0時(shí)，令 ，那么 ． 若 a 0，則當(dāng) x 0 時(shí) ，即 單調(diào)遞增，所以 無(wú)兩個(gè)零點(diǎn) . ? 3分 若 a 0，則當(dāng) 時(shí) ， 單調(diào)遞增；當(dāng) 時(shí) ， 單調(diào)遞減，所以 . 又 ，當(dāng) x→ 0時(shí) → ，故若有兩個(gè)零點(diǎn)，則 ，得 ． 綜上得，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ． （ Ⅱ ）要證 ，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得 ． 由 得 ，得 . 所以原命題等價(jià)于證明 ． 因?yàn)?，故只需證 ，即 令 ，則 ，設(shè) ，只需證 ． ? 10 分 而 ，故 在 單調(diào)遞增，所以 ． 綜上得 ． 點(diǎn)晴 :本題主要考查函數(shù)極值，不等式證明問(wèn)題 .要求極值，求導(dǎo)得導(dǎo)函數(shù)，分 a = 0， a 0，a 0 三種情況討論極值情況， 要證明一個(gè)不等式，我們可以先根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性、極 值和最值，圖像與性質(zhì)，進(jìn)而求解得結(jié)果 .
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