現(xiàn)代控制理論(第3版)--第1章(更新版)
【正文】 數(shù)，或為成對共軛復(fù)數(shù)；如 為實對稱方陣，則其特征值都 是實數(shù)。至于每個積分器的輸入，顯然就是各狀態(tài)變量的 導(dǎo)數(shù)。 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立 (一 ) 這個表達(dá)式一般可以從三個途徑求得：一是由系統(tǒng)框圖來建立，即根據(jù) 系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)的實際連接，寫出相應(yīng)的狀態(tài)空問表達(dá)式；二是從系統(tǒng)的物理 或化學(xué)的機(jī)理出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)；三是由描述系統(tǒng)運動過程的高階微分方程或傳 遞函數(shù)予以演化而得。 圖一 根據(jù)電學(xué)原理，容易寫出兩個含有狀態(tài)變量的一階微分方程組： 亦即 （ 1） 式 (1)就是圖 ，式中若將狀態(tài)變量用一般符號 ，表示，即令 并寫成矢量矩陣形式，則狀態(tài)方程變?yōu)椋? 或 輸出方程 在指定系統(tǒng)輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量間的函數(shù)關(guān)系式，稱為系 統(tǒng)的輸出方程。 用圖下所示的 網(wǎng)絡(luò)，說明如何用狀態(tài)變量描述這一系統(tǒng)。 下圖是下列二輸出的二階系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。 將圖中每個積分器的輸出取作狀態(tài)變量，有時稱為 相變量 ，它是輸出 的各階導(dǎo)數(shù)。 設(shè)給定系統(tǒng)為： （ 37） 我們總可以找到任意一個非奇異矩陣 將原狀態(tài)矢量 作線性變換， 得到另一狀態(tài)矢量 設(shè)變換關(guān)系為： 即 代入式（ 37），得到新的狀態(tài)空間表達(dá)式： （ 38） 系統(tǒng)特征值的不變性及系統(tǒng)的不變量 系統(tǒng) 系統(tǒng)特征值就是系統(tǒng)矩陣 的特征值，也即特征方程： （ 43） 的根。的特征矢量 則變換矩陣由 A的特征矢量 構(gòu)成，即 2． A陣為標(biāo)準(zhǔn)型，即 (1)A的特征值無重根時，其變換是一個 范德蒙德 (Vandermonde)矩陣 ，為： (2)A特征值有重根時，以有 的三重根為例： (3)有共軛復(fù)根時，以四階系統(tǒng)其中有一對共軛復(fù)根為例，即 3．系統(tǒng)的并聯(lián)型實現(xiàn) 此時 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)： （ 55） 現(xiàn)將式 (55)展開成部分分式。 故 間的傳遞函數(shù)為： 它是一個 m r矩陣函數(shù)，即 （ 69） 其中各元素 都是標(biāo)量函數(shù)，它表征第 個輸入對第 個輸出的傳遞關(guān)系。 由式 (72)和式 (73)，并考慮 得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式： 從而系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為： 故子系統(tǒng)并聯(lián)時，系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣等于子系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣的代數(shù)和。下圖中 T 代表單位延遲器，類似于連續(xù)系統(tǒng)中 的積分器。為此，將 附近作泰勒級數(shù)展開： （ 86） 它們分別是 n n， n x r， m x n， n x r維矩陣，其相應(yīng)定義如下： 忽略儀 高次項，考慮到式 (85)，則式 (86)的線性 化表達(dá)式為： 令 并在式 (87)中將 這些微增量分別用 表示，則線 性化后的表達(dá)式就成了一般線性表達(dá)式了，即 本章完
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