-1--中值定理(更新版)
【正文】 利用逆向思維 設(shè)輔助函數(shù) 費(fèi)馬引理 思考與練習(xí) 1. 填空題 1) 函數(shù) 在區(qū)間 [1, 2] 上滿足拉格朗日定理 條件 , 則中值 ._____??2) 設(shè) 有 個(gè)根 , 它們分別在區(qū)間 3 4153 )4,3(,)2,1( ,)3,2( 上 . 方程 2. 若 )(xf 可導(dǎo) , 試證在其兩個(gè)零點(diǎn)間一定有 )()( xfxf ??的零點(diǎn) . 提示 : 設(shè) ,0)()( 2121 xxxfxf ???欲證 : ,),( 21 xx??? 使 0)(( ??? ?? ff只要證 0)()( ??? ?? ff?e ?e亦即 0])([ ?? ? ?xx xfe作輔助函數(shù) ,)()( xfexF x?驗(yàn)證 )(xF 在 ],[ 21 xx 上滿足 羅爾定理?xiàng)l件 . 備用題 求證存在 ,)1,0(?? 使 1. 設(shè) ]1,0[ 可導(dǎo)，且 ,0)1( ?f在 連續(xù)， )1,0()(xf證 ： )()( xfxx n??,)1,0(??因此至少存在 顯然 )(x? 在 上滿足羅爾定理?xiàng)l件 , ]1,0[?? )(??即 設(shè)輔助函數(shù) 使得 )()(1 ???? ffn nn ??? 0?0)0(,0)( ???? fxf設(shè) 證明對(duì)任意 0,0 21 ?? xx 有 )()()( 2121 xfxfxxf ???證 ： 210 xx ??)()()( 1221 xfxfxxf ????12 )( xf ???0))(( 121 ????? ???fx)()()( 2121 xfxfxxf ????,( 2122 xxx ??? ?2. 不妨設(shè) ? ? ? ?)0()()()( 1221 fxfxfxxf ?????)( 21 ??? ??)0 11 x?? ?
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