【正文】 ABCD? 中，底面 ABCD 為矩形， SD? 底面 ABCD ， 2AD? ， 2DC SD??，點 M 在側(cè)棱 SC 上， ∠ ABM=60 。 于是， DF=12 ??? ??aAEDEAD 在 Rt△ CDF中，由 cot60176。 , ∠ FAG=45176。 2ME EE? ? ?. EV? — ABCD 21 1 4 239。 在線段 AD 的垂直平分線上 ,同理點 F39。滿分 14 分。 設(shè) B（ 1， 0， 0）， C（ 0， b， 0）， D（ 0， 0， c），則 1B （ 1， 0， 2c） ,E（ 12 ， 2b ， c） . A C B A1 B1 C1 D E 于是 DE? =（ 12，2b， 0）， BC? =（ 1， b,0） .由 DE⊥平面 1BCC 知 DE⊥ BC， DEBC??? =0，求得 b=1，所以 AB=AC。又 AB=2， BC=22，故 AF= 2 。,求 B1C 與平面 BCD 所成的角的大小 解析：本題考查線面垂直證明線面夾角的求法，第一問可取 BC 中點 F，通過證明 AF⊥平面BCC1,再證 AF為 BC的垂直平分線 ，第二問先作出線面夾角，即證四邊形 AFED是正方形可證平面 DEF⊥平面 BDC，從而找到線面夾角求解。 w. . . c. 【解析】由空間四面體棱 ,面關(guān)系可判斷①④⑤正確 ,可舉例說明②③錯誤 . 【答案】① ④⑤ 6. （ 2020 四川卷文） 如圖，已知正三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的各條棱長都相等， M 是側(cè)棱 1CC的 中 點 ， 則 異 面 直 線 1AB BM和 所 成 的 角 的 大 小是 。 17. （ 2020 重慶卷文） 在正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，頂點 1B 到對角線 1BD 和到平面 11ABCD 的距離分別為 h 和 d ，則下列命題中正確的是（ ） A．若側(cè)棱的長小于底面的變長，則 hd 的取值范圍為 (0,1) B．若側(cè)棱的長小于底面的變長，則 hd 的取值范圍為 2 2 3( , )23 C．若側(cè)棱的長大于底面的變長，則 hd 的取值范圍為 23( , 2)3 D．若側(cè)棱的長大于底面的變長，則 hd 的取值范圍為 23( , )3 ?? 【答案】 C 解析設(shè)底面邊長為 1，側(cè)棱長為 ( 0)??? ，過 1B 作 1 1 1 1,B H BD B G A B??。 BCBA? ， 球心 O到平面 ABC 的距離是 223 ，則 CB 、兩點的球面距離是 A. 3? B. ? C. ?34 ? 【答案】 B 【解析】 ∵ AC 是小圓的直徑。BE即可，易知 EB= 2 ,A39。中∠ A39。 . ∴ D正確 8. （ 2020 四川卷文） 如圖，在半徑為 3 的球面上有 CBA 、 三點，ABC? =90176。選 D. 16. （ 2020寧夏海南卷文） 一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位： 2cm ）為 （ A） 48 12 2? （ B） 48 24 2? （ C） 36 12 2? （ D） 36 24 2? 【答案】 A 【解析】棱錐的直觀圖如右，則有 PO＝ 4， OD＝ 3，由勾股定理，得 PD＝5， AB＝ 6 2 ，全面積為： 21 6 6＋ 2 21 6 5＋ 21 6 2 4＝ 48＋ 12 2 ，故選 .A。 (1)相對棱 AB與 CD所在的直線是異面直線； (2)由頂點 A作四面體的高，其垂足是 BCD的三條高線的交點； (3)若分別作 ABC和 ABD的邊 AB上的高，則這兩條高的垂足重合； (4)任何三個面的面積之和都大于第四個面的面積； （ 5） 分別作三組相對棱中點的連線，所得的三條線段相交于一點。 （ 2）求該安全標(biāo)識墩的體積 （ 3）證明 :直線 BD ? 平面 PEG 【解析】 (1)側(cè)視圖同正視圖 ,如下圖所示 . （２）該安全標(biāo)識墩的體積為： P E F G H A B C D E F G HV V V???? 221 4 0 6 0 4 0 2 0 3 2 0 0 0 3 2 0 0 0 6 4 0 0 03? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2cm （３） 如圖 ,連結(jié) EG,HF 及 BD， EG 與 HF 相交于 O,連結(jié) PO. 由正四棱錐的性質(zhì)可知 ,PO? 平面 EFGH , PO HF?? 又 EG HF? HF??平面 PEG 又 BD HFP BD??平面 PEG； w. w. . s. 5. . m 2. （ 2020浙江卷文） （本題滿分 14 分）如圖， DC? 平面 ABC ，//EB DC ， 22AC BC EB DC? ? ? ?， 120ACB??， ,PQ分別為 ,AEAB 的中點．（ I）證明： //PQ 平面 ACD ；（ II）求 AD與平面 ABE 所成角的正弦值． （ Ⅰ ）證明：連接 CQDP, ， 在 ABE? 中， QP, 分別是ABAE, 的中點，所以 BEPQ 21//?? ， 又 BEDC 21//?? ，所以DCPQ??// ，又 ?PQ 平面 ACD ， DC? 平面 ACD， 所以//PQ 平面 ACD （ Ⅱ ）在 ABC? 中， BQAQBCAC ??? ,2 ，所以ABCQ? 而 DC? 平面 ABC， DCEB// ，所以 ?EB 平面 ABC 而 ?EB 平面 ABE， 所以平面 ABE? 平面 ABC， 所以?CQ 平面 ABE 由（ Ⅰ ）知四邊形 DCQP 是平行四邊形，所以 CQDP// 所以 ?DP 平面 ABE， 所以直線 AD 在平面 ABE 內(nèi)的射影是 AP， 所以直線 AD 與平面 ABE 所成角是 DAP? 在 APDRt? 中， 512 2222 ????? DCACAD ， 1s in2 ???? C A QCQDP 所以5551s in ???? ADDPD A P 3. （ 2020 北京卷文）（本小題共 14 分） 如圖，四棱錐 P ABCD? 的 底 面 是 正 方 形 ，PD AB CD? 底 面 ，點 E 在棱 PB 上 . （Ⅰ）求證：平面 AE C PD B? 平 面 ； （Ⅱ）當(dāng) 2PD AB? 且 E 為 PB 的中點時，求 AE 與平面 PDB 所成的角的大小 . 【 解法 1】 本題主要考查直線和平面垂直、平面與平面垂直、 直線 與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象 能力、運(yùn)算能力和 推理論證能力． （Ⅰ） ∵四邊形 ABCD 是正方形，∴ AC⊥ BD， ∵ PD AB CD? 底 面 ， ∴ PD⊥ AC，∴ AC⊥ 平面 PDB， ∴ 平面 AE C PD B? 平 面 . （Ⅱ）設(shè) AC∩BD=O，連接 OE， 由（Ⅰ）知 AC⊥ 平面 PDB 于 O， ∴ ∠ AEO 為 AE 與平面 PDB 所的角， ∴ O， E 分別為 DB、 PB 的中點， ∴ OE//PD， 12OE PD? ，又∵ PD AB CD? 底 面 ， ∴ OE⊥ 底面 ABCD， OE⊥ AO， 在 Rt△ AOE 中， 1222O E P D A B A O? ? ?， ∴ 45AOE ???，即 AE 與平面 PDB 所成的角的大小為 45? . 【 解法 2】 如圖，以 D 為原點建立空間直角坐標(biāo)系 D xyz? ， 設(shè) ,AB a PD h?? 則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 0 , 0 , , , 0 , 0 , , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,A a B a a C a D P h， （Ⅰ） ∵ ? ? ? ? ? ?, , 0 , 0 , 0 , , , , 0A C a a D P h D B a a? ? ? ?， ∴ 0 , 0A C D P A C D B? ? ? ?， ∴ AC⊥ DP， AC⊥ DB， ∴ AC⊥ 平面 PDB， ∴ 平面 AE C PD B? 平 面 . （Ⅱ）當(dāng) 2PD AB? 且 E 為 PB 的中點時， ? ? 1 1 20 , 0 , 2 , , ,2 2 2P a E a a a??????， 設(shè) AC∩BD=O，連接 OE， 由（Ⅰ）知 AC⊥ 平面 PDB于 O， ∴ ∠ AEO 為 AE 與平面 PDB 所的角， ∵ 1 1 2 2, , , 0 , 0 ,2 2 2 2E A a a a E O a? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ∴ 2co s2E A E OAEO E A E O?? ? ??， ∴ 45AOE ???，即 AE 與平面 PDB 所成的角的大小為 45? . 4. （ 2020 全國卷Ⅱ文） （本小題滿分 12 分） . . s. 5. . m 如圖，直三棱柱 ABCA1B1C1中 ， AB⊥ AC,D、 E分別為 AA B1C 的中點， DE⊥ 平面 BCC1 （ Ⅰ ）證明： AB=AC （ Ⅱ ）設(shè)二面角 ABDC 為 60176。由題設(shè)知，∠ AGC=600.. 設(shè) AC=2，則 AG= 23。 w. . . c. 因 ADEF為正方形， AD= 2 ，故 EH=1，又 EC=112BC=2， 所以∠ ECH=300，即 1BC與平面 BCD所成的角為 300. 解法二： （Ⅰ）以 A為坐標(biāo)原點，射線 AB為 x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 A— xyz。 求證：（ 1） EF∥平面 ABC； （ 2）平面 1AFD ? 平面 11BBCC . 【 解析 】 本小題主要考查直線與平面、平面與平面得位置關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力。ED ABC D E D E C? ? ?面 ?點 E39。 =1, 3 39。 , ∠ AEF=90176。 在 Rt△ ADE中， ?AD=a , DE= a? ， AE=a 12?? 。 所以 ME與 BN不共面，它們是異面直線。 過 M 作 MJ ∥ CD 交 SD 于 J ,作 SH AJ? 交 AJ 于 H ,作 HK AM? 交 AM 于 K ,則 JM ∥ CD , JM? 面 SAD ,面 SAD ? 面 MBA ,SH? 面 AMB ? SKH? 即為所求二面角的補(bǔ)角 . 法 二 ：利用二面角的定義。即 EF⊥ BE. 因為 BC? 平面 ABCD, BE? 平面 BCE, BC∩ BE=B 所以 EF BCE? 平 面 ???????????????? 6分 （ II） 取 BE的中點 N,連結(jié) CN,MN,則 MN 12ABPC ∴ PMNC為平行四邊形 ,所以 PM∥ CN. ∵ CN在平面 BCE內(nèi) ,PM不在平面 BCE內(nèi) , ∴ PM∥平面 BCE. ??????????????? ? 8分 （ III） 由 EA⊥ AB,平面 ABEF⊥平面 ABCD,易知 EA⊥平面 ABCD. 作 FG⊥ AB,交 BA的延長線于 G,則 FG∥ FG⊥平面 ABCD, 作 GH⊥ BD于 H,連結(jié) FH,則由三垂線定理知 BD⊥ FH. ∴ ∠ FHG為二面角 FBDA的平面角 . ∵ FA=FE,∠ AEF=45176。 如圖，取 AB 中點 D ，連結(jié) PD ,CD , 則 PD AB? ,CD AB? , 所以 AB? 平面 PDC , 所以 AB PC?