高二年級4月月考理科數(shù)學(xué)試題(更新版)
【正文】 21已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函數(shù)f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；(2)對一切x∈(0，＋∞),2f(x)≥g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)證明：對一切x∈(0，＋∞)，都有l(wèi)n x＞－成立．?dāng)?shù)學(xué)試卷（理科）答題卡考生注意：考生務(wù)必用黑色簽字筆填寫試題答案，字體工整、筆記清楚。2(1)解：f′(x)＝ln x＋1，則當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增．①0＜t＜t＋2＜，沒有最小值；②0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜時(shí)，f(x)min＝f＝－；③≤t＜t＋2，即t≥時(shí)，f(x)在[t，t＋2]上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(t)＝tln t．所以f(x)min＝(2)解：2xln x≥－x2＋ax－3，則a≤2ln x＋x＋，設(shè)h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)，則h′(x)＝.①x∈(0,1)，h′(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減；②x∈(1，＋∞)，h′(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增．所以h(x)min＝h(1)＝4，對一切x∈(0，＋∞),2f(x)≥g(x)恒成立．所以a≤h(x)min＝4，即a的取值范圍是(－∞，4]．(3)證明：問題等價(jià)于證明xln x＞－(x∈(0，＋∞))，由(1)可知f(x)＝xln x(x∈(0，＋∞))的最小值是－，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取到．設(shè)m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，則m′(x)＝，易知m(x)max＝－，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取到，從而對一切x∈(0，＋∞)，都有l(wèi)n x＞－成立。保持卷面整潔，不得折疊、不要弄破。高二年級4月月考理科數(shù)學(xué)試題考生注意：本試卷設(shè)Ⅰ、Ⅱ卷和答題卡紙三部分，試卷所有答案都必須寫在答題紙上。答題前，請考生叫密封線內(nèi)的姓名、班級、考號
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