【正文】 擇題（每小題 2 分，共 20 分） 1．在切線斜率為 2x 的積分曲線族中，通過點(diǎn)（ 1, 4）的曲線為（ ）． 答 案： A A ． y = x2 + 3 B ． y = x2 + 4 C． 22 ??xy D． 12 ??xy 2．若 ? ?10 d)2( xkx= 2，則 k =（ ）． 答案： A A． 1 B． 1 C． 0 D． 21 3．下列定積分中積分值為 0的是 （ ）． 答案： A A ． xxx d2ee11???? B． xxx d2ee11???? C． xxx d)cos( 3?? ??? D． xxx d)sin( 2?? ??? 4．設(shè) )(xf 是連續(xù)的奇函數(shù)，則定積分 ??aa xxf d)(（ ） 答 案： D 5． ?? xxdsin22??（ ）． 答案： D A． 0 B． ? C．2? D． 2 6．下列無窮積分收斂的是（ ）．答 案： B A． ???0 de xx B． ??? ?0 de xx C． ???1 d1 xx D． ???1 d1 xx 7．下列無窮積分收斂的是（ ） ．答案： B A ． ? ??0 din xxs B ． ? ?? ?0 2 de xx C． ???1 d1 xx D． ???1 d1 xx 8．下列微分方程中，（ ）是線性微分方程． 答案： D A． yyyx ???ln2 B． xxyyy e2 ??? C． yyxy e????? D． xyyxy x lnesin ????? 9．微分方程 0??y 的通解為（ ）． 答案： C A ． Cxy? B ． Cxy ?? C ． Cy? D． 0?y 10．下列微分方程中為可分離變量方程的是（ ） 答案： B A. yxxy ??dd ； B. yxyxy ??dd ； C. xxyxy sindd ?? ； D. )(dd xyxxy ?? 三、計(jì)算題（每小題 7 分，共 56 分） 1 ． xxx d)e1(e 22ln0 ?? 解 2ln03x22ln022ln0 )1(31)ed( 1)e1(d)e1(e xxxx ex ?????? ?? 319]2)21[(31])11()1[(31 33332ln ???????? e 或 ? ? ? ? ? ?2l n 2 3 l n 200 1 1 91 1 133x x xe d e e? ? ? ? ? ?? 2 ． xx xdln51e1? ? 解 ? ? ? ? ? ? 2 111 1 71 5 l n 1 5 l n 1 5 l n5 1 0 2e ex d x x? ? ? ? ?? 3． xxexd10? 解 利用分部積分法 ? ? ???? v d xuuvdxvu ? ?11 110000 11x x x xx d e x e e d x e e e e? ? ? ? ? ? ? ??? 4． ??0 d2sin xxx 0 02 c o s 2 c o s 4 s in 42 2 2x x xx d x ?? ??? ? ? ? ?????? 5． ??20 dsin xxx 22 220210c o s c o s c o s 0 s in 1x d x x x x d x x?? ??? ? ? ? ? ? ??? 6．求微分方程 12 ???? xxyy 滿足初始條件 47)1( ?y 的特解． ? ? ? ? 21 ,1P x Q x xx? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?112l n 2 l n342 1 11 1 1 1 42P x dx P x dxdx dxxxxxy e Q x e dx ce x e dx ce x e dx cx x dx cxx x cx?????????????????? ? ???????? ? ?????? ? ?????? ? ?????????通 解 即通解 31142 cy x x x? ? ? 7．求微分方程 xxxyy 2sin2???的通解。 ( a1 )=2aa2128 y′ =0 得 2a=a2128 ∴ a3=64 ∴ a=4 ∴底面邊長(zhǎng)為 4， h=1632 =2 設(shè)矩形的周長(zhǎng)為 120厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。 2du= ? udusin2 =2(cos)+c = 2cos c?x ⒋計(jì)算定積分 xx xde210? u=x， v′ =ex,v= ex ∴ ?10uv′ dx=uv xvdu 1010| ?? 1)( 01010101010|||??????????? ??eeeeeeeexdxxdxxxxxxx ∴原式 =2 9152lim 223 ???? x xxx 34353lim)3)(3( )3)(5(3lim ??????? ??? xxxxx xxx xxxy cosln?? ，求 yd 解： xxxy xx c oslnc osln 2321 ????? y1=lncosx y1=lnu1,u=cosx ∴xxxuxuyc o ss in)s in(1)(c o s)(ln11????????? y1=xxx cossin23 21 ? ∴ dy=(xxx cossin23 21 ?)dx xx d)21( 9? ? 解： dxx? ? )21( 9 令 u=12x , u′ = 2 ∴ dudxxdu 212 ????? ccduduxuuu???????????????20212121)21()21( 101099? xx xde10? ? 解： u=x, ee xx vv ? ?? ??? ， )()(101101010 |xddxxdxxeeeeexxxx????????????????? = 1)11(1|101 ????? ?? eeee x 45 86lim224 ????? xxxxx 3212l im)4)(1( )4)(2(l im 44 ?????? ?? ?? xxxx xx xx xy x 3sin2 ?? ，求 yd y1=sin3x y1=sinu , u=3x , xy 3c os3x3s inu1 ?????? ）（）（ ∴ y′ =2xln2+3cos3x ∴ dy=(2xln2+3cos3x)dx xxx dcos? ? xdxxcos u=x , v′ =cosx , v=sinx ?? ???????cxxxx d xxxx d xx)c o s(s i ns i ns i nc o s xx xdln51e1? ? ?????????eeeedxxxdxxxxdxxxdxx11e111ln51ln5lnln1|令 u=lnx, u′ =x1 , du=x1 dx , 1≤ x≤ e 0≤ lnx≤ 1 ∴ 2121ln |102101 ??? ?? uududxx xe ∴原式 =1+5（ 2） = 2 (1試求矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，才能使圓柱體的體積最大。試求矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，才能使圓柱體的體積最大。答案： 32 ??? xy 或322 1633yx?? 4．若 ????? dxxx )235(11 3 ． 答案： 2 或 4 5．由定積分的幾何意義知， xxaa d0 22? ?= 。 a232= a2+a2128 y= a2+ a128 , y′ =2a+128 e2x+ x2123)dx ⒊計(jì)算不定積分 xxxdsin? 解：令 u= x21x? ,u′ =xx 2121 21 ?? ∴ dxxdu 21? ∴ ? usin e2x ∴ y′ = 2e2x+ x2123 ∴ dy=(2 ) =2 x2648 y′ =0得 2 = x2648 ∴ x2=324 ∴ x=18 ∴一邊長(zhǎng)為 18，一邊長(zhǎng)為 12時(shí)，用料最省 . 欲做一個(gè)底為正方形，容積為 32立方米的長(zhǎng)方體開口容器，怎樣做法用料最省？ 設(shè)底邊長(zhǎng)為 a ∴底面積為 a2 a2h=v=32 ∴ h=a232 ∴表面積為 a2+4ah= a2+4a 1． 解： 設(shè)矩形 ABCD 的一邊 AB x? 厘米，則60BC x??厘米， 當(dāng)它沿直線 AB 旋轉(zhuǎn)一周后，得到圓柱的體積 ? ? ? ?260 , 0 60V x x x?? ? ? ? 令 ? ? ? ?26 0 2 6 0 0V x x x? ??? ? ? ? ? ???得 20x? 當(dāng) ? ?0,20x? 時(shí)， 0V?? ；當(dāng) ? ?20,60x? 時(shí)， 0V?? . 20x?? 是函數(shù) V 的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn) . 此時(shí) 60 40x?? 答：當(dāng)矩形的邊長(zhǎng)分別為 20厘米和 40厘米時(shí)，才能使圓柱體的體積最大 . )(3 2 0 01 6 0 0204020)2060(20 22 立方厘米???? ???????V2． 欲用圍墻圍成面積為 216 平方米的一成矩 形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長(zhǎng)和寬選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最??？ 2. 解：設(shè)成矩形有土地的寬為 x 米，則長(zhǎng)為 216x米， 于是圍墻的長(zhǎng)度為 ? ?4323 , 0L x xx? ? ? 令243230L x?? ? ?得 ? ?12x ? 取 正 易知，當(dāng) 12x? 時(shí)， L 取得唯一的極小值即最小值，此時(shí) 216 18x ? 答：這塊土地的長(zhǎng)和寬分別為 18米和 12米時(shí)，才能使所用的建筑材料最省 . 五、證明題（本題 5 分） 1 函數(shù) xexxf ??)( 在（ )0,?? 是單調(diào)增加的． ? ?? ?? ? ? ?1 0 , 0 1 0 , 0 , 0 .xxxf x exex f xf x x e? ??? ? ??? ? ?? ? ??證 ：當(dāng) 時(shí)當(dāng) 時(shí)從 而 函 數(shù) 在 區(qū) 間 是 單 調(diào) 增 加 的 一、填空題（每小題 2 分，共 20 分） 1． .______d)2c os(s i n11 2 ???? xxxx答案： 32? 2． .______d)c os4(225 ????? xxxx??答案： 2? 或 2 3． 已知曲線 )(xfy? 在任意點(diǎn) x 處切線的斜率為 x ，且曲線過 )5,4( ，則該曲線的方程是 。 1． 解： 設(shè)矩形 ABCD 的一邊 AB x? 厘米，則60BC x??厘米， 當(dāng)它沿直線 AB 旋轉(zhuǎn)一周后，得到圓柱的體積 ? ? ? ?260 , 0 60V x x x?? ? ? ? 令 ? ? ? ?26 0 2 6 0 0V x x x? ??? ? ? ? ? ???得 20x? 當(dāng) ? ?0,20x? 時(shí)， 0V?? ；當(dāng) ? ?20,60x? 時(shí)， 0V?? . 20x